专项素养巩固训练卷(九) 三角形角度计算有关的模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

这是一份初中数学同步培优课件，聚焦三角形角度计算模型，包含“8”字型、“A”字型、“燕尾”型等六种专项模型训练，精选2025江苏南京、宿迁等地期末真题，通过例题解析构建学习支架，助力学生掌握角度计算方法。 资料特色突出核心素养培养，以模型教学为载体，通过“8”字型证明等例题发展推理能力，借助辅助线添加等解析步骤强化几何直观，真题应用渗透模型意识。能帮助九年级学生系统掌握解题模型应对升学考试，为教师提供丰富教学实例提升教学效率。

专项素养巩固训练卷(九) 三角形角度计算有关的模型 初中同步培优卷 模型一　“8”字型 (2025江苏南京期末,★☆☆)如图,∠A=60°,∠B=40°,∠C= 30°,则∠D+∠E=___________.       50°     初中同步培优卷 解析　如图,连接BC.设DC与BE交于点F.   因为∠A=60°,∠ABE=40°,∠ACD=30°,所以∠1+∠2=180°-∠A-∠ABE-∠ACD=180°-60°-40°-30°=50°.因为∠D+∠E+∠DFE=180°,∠1+∠2+∠BFC=180°,∠BFC=∠DFE, 所以∠D+∠E=∠1+∠2=50°. 初中同步培优卷 2. (2025江苏宿迁宿城期末,★★☆) (1)图①中的图形我们把它称为“8字型”,证明:∠A+∠B= ∠C+∠D. (2)如图②,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,∠D和∠B为任意角 时,其他条件不变,试写出∠P与∠D,∠B之间的数量关系. (3)在图③中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP= ∠CAB,∠CDP=  ∠CDB,则∠P=_______(用含x,y的代数式表示). 初中同步培优卷   (4)在图④中,直线BP平分∠ABC,DP平分∠ADC的邻补角 ∠ADE,猜想∠P与∠A,∠C的关系,直接写出结论. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:因为∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD =180°,∠AOB=∠COD,所以∠A+∠B=∠C+∠D. (2)因为AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,所以∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD.设∠BAP=∠PAD=x,∠BCP=∠PCD=y,则有  即 所以∠B-∠P= ∠P-∠D,所以2∠P=∠B+∠D. (3)设∠CAP=α,∠CDP=β,则∠PAB=3α,∠PDB=3β,易知  即  初中同步培优卷 所以4∠P=3∠ C+∠B,因为∠C=x,∠B=y,所以∠P= (3x+y). (4)如图,延长AB交PD于点J,因为DP平分∠ADE,所以∠ADP= ∠PDE,设∠PBJ=x,∠ADP=∠PDE=y.   易知∠A+∠ABC=∠C+∠ADC,即∠A+2x=∠C+180°-2y, 所以x+y=90°+ (∠C-∠A). 初中同步培优卷 因为∠P+∠PBJ+∠PJB=180°,即∠P+x+∠A+y=180°, 所以∠P=180°-∠A-(x+y)=90°- ∠C- ∠A. 初中同步培优卷 模型二　“A”字型 3. (★☆☆)如图,∠A=40°,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度 数为 ( )   A. 540°　　　    B. 500°　　　    C. 460°　　　    D. 420°     D     初中同步培优卷 解析　因为∠A=40°,所以∠1+∠2=180°-40°=140°,∠3+ ∠4=180°-40°=140°,∠5+∠6=180°-40°=140°.所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=140°+140°+140°=420°.故选D. 初中同步培优卷 模型三　“燕尾”型 4. (★☆☆)如图,在△CEF中,∠E=80°,∠F=50°,AB∥CF,AD∥ CE,连接BC,CD,求∠A的度数.   初中同步培优卷 解析　如图,连接AC并延长,交EF于点M. 因为AB∥CF, 所以∠3=∠1. 因为AD∥CE, 所以∠2=∠4, 所以∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE, 因为∠FCE=180°-∠E-∠F=180°-80°-50°=50°, 所以∠BAD=∠FCE=50°. 初中同步培优卷 模型四　两内角平分线型 5. (★☆☆)如图,在三角形ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=30°,BD 平分∠ABC,CD平分∠ACB,BD与CD相交于点D,则∠BDC= ( )   A. 100°　　　    B. 130°　　　    C. 140°　　　    D. 160°     C     初中同步培优卷 解析　因为∠ABC=50°,∠ACB=30°,BD平分∠ABC,CD平分 ∠ACB, 所以∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)= ×(50°+30°)=40°,     所以∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-40°=140°.故选C. 初中同步培优卷 模型五　两外角平分线型 6. (★★☆)如图,△ABC的两个外角平分线交于D点. (1)若∠D=65°,则∠B= ( __) A. 60°　　　    B. 70°　　　    C. 50°　　　    D. 40° (2)若∠B=60°,则∠D=_______. (3)探索∠D与∠B有怎样的数量 关系,并证明你的结论. 初中同步培优卷 解析    (1)因为∠EAC与∠ACF是△ABC的外角, 所以∠EAC=∠B+∠ACB,∠ACF=∠B+∠BAC. 因为AD平分∠EAC,CD平分∠ACF, 所以∠DAC= ∠EAC= (∠B+∠ACB),∠ACD= ∠ACF=  (∠B+∠BAC), 因为∠DAC+∠ACD+∠D=180°,∠B+∠ACB+∠BAC=180°, 所以 (∠B+∠ACB)+ (∠B+∠BAC)+∠D=180°, 所以 [∠B+(∠B+∠ACB+∠BAC)]+65°=180°, 初中同步培优卷 即 ∠B+90°=115°,解得∠B=50°.故选C. (2)因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°.所以∠EAC+∠ACF=360°-120°=240°,因为AD平分∠EAC,CD平分∠ACF,所以∠CAD+∠ACD= (∠EAC+∠ACF)= ×240°= 120°,在△ACD中,∠D=180°-(∠CAD+∠ACD)=180°-120° =60°.故答 案为60°. (3)∠D=90°- ∠B. 证明:由三角形外角的性质得∠EAC=∠B+∠ACB, 初中同步培优卷 ∠ACF=∠B+∠BAC, 因为AD平分∠EAC,CD平分∠ACF, 所以∠DAC= ∠EAC= (∠B+∠ACB),∠DCA= ∠ACF=  (∠B+∠BAC), 在△ACD中,因为∠D+∠DAC+∠DCA=180°, 所以∠D+ (∠B+∠ACB)+ (∠B+∠BAC)=180°, 所以2∠D+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°, 在△ABC中,∠ACB+∠B+∠BAC=180°, 所以2∠D+∠B=180°,所以∠D=90°- ∠B. 初中同步培优卷 模型六　内角与外角平分线型 7. (★☆☆)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角 平分线CD交于点D,∠A=50°,则∠D的度数为___________.       25°     初中同步培优卷 解析    因为BD平分∠ABC,所以∠CBD= ∠ABC.因为CD平 分△ABC的外角∠ACE,所以∠DCE= ∠ACE= (∠A+∠ABC) = ∠A+ ∠ABC.因为∠DCE=∠CBD+∠D= ∠ABC+∠D, 所以 ∠A+ ∠ABC= ∠ABC+∠D,所以∠D= ∠A= ×50° =25°. 初中同步培优卷 8. (★★★)好学的小红在学完三角形的角平分线后,遇到下列 4个问题,请你帮她解决.如图,在△ABC中,∠BAC=50°,点I是 ∠ABC,∠ACB平分线的交点. (1)∠BIC=_______°. (2)若点D是△ABC两条外角平分线的交点,则∠BDC=______°.     (3)在(2)的条件下,若点E是∠ABC,∠ACG的平分线的交点,试 探索∠BEC与∠BAC的数量关系,并说明理由. 初中同步培优卷 (4)在(3)的条件下,当∠ACB等于多少度时,CE∥AB? 初中同步培优卷 解析    (1)因为点I是∠ABC,∠ACB平分线的交点, 所以∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB) =180°- (∠ABC+∠ACB) =180°- (180°-∠BAC) =90°+ ∠BAC=115°.故答案为115. (2)由题意可知CD,BD为△ABC外角的平分线,易知∠DBI= 90°,∠DCI=90°. 初中同步培优卷 在四边形CDBI中,∠BDC=360°-∠DBI-∠DCI-∠BIC=360°- 90°-90°-115°=65°.故答案为65. (3)∠BEC= ∠BAC. 理由:由(2)知,在△BDE中,∠DBE=90°,∠BDE=65°, 所以∠BEC=25°, 因为∠BAC=50°, 所以∠BEC= ∠BAC. 初中同步培优卷 (4)因为CE∥AB,所以∠ACE=∠A=50°. 因为CE是∠ACG的平分线, 所以∠ACG=2∠ACE=100°, 所以∠ACB=180°-∠ACG=80°. 初中同步培优卷 $