第10章 二元一次方程组 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程（组）的概念、解法及应用，通过知识框架图将方程定义、消元解法（代入法、加减法）、实际问题模型等核心内容串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于设计“基础巩固-变式拓展-素养提升”的分层练习，如通过“塑料凳叠放高度”“洛书幻方”等问题培养数学抽象与几何直观能力，新定义“镜像方程”题发展推理意识。这种设计兼顾不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生解决实际问题的能力。

第10章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共24分.每小题只有一个选项是符合 题意的) 1. (2025江苏常州溧阳月考,★☆☆)下列各方程中,是二元一 次方程的是 ( ) A. x-2y=4　　　    B. xy=4　　　     C. 3y-1=4　　　    D. x2-4x=3     A     解析　含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是1的方程 是二元一次方程.故选A. 初中同步培优卷 2. (★☆☆)解方程组:① ② ③  ④ 比较适宜的方法是 ( ) A. ①②用代入消元法,③④用加减消元法 B. ①③用代入消元法,②④用加减消元法 C. ②③用代入消元法,①④用加减消元法 D. ②④用代入消元法,①③用加减消元法     D     初中同步培优卷 解析　②④每个方程组中的一个未知数很容易用含另一个未 知数的代数式表示出来,所以比较适宜的方法是代入法;①方 程组中两个方程含未知数y的项的系数互为相反数,所以比较 适宜用加减法;③方程组中两个方程含未知数x的项的系数成 倍数关系,所以比较适宜的方法是加减法.故选D. 初中同步培优卷 3. (★☆☆)若关于x,y的二元一次方程组 的解满 足x+y=2,则 ( ) A. m=8　　　    B. m=-4 C. -8≤m<4　　    D. -8<m<4     B     解析     由①+②,得4x+4y=4-m,解得x+y=1- . 因为x+y=2,所以1- =2,解得m=-4.故选B. 初中同步培优卷 4. (2025江苏扬州中学文昌教育集团期中,★☆☆)有苹果x个, 分给y个人,若每人7个,则多出3个;若每人8个,则不足5个,求苹 果个数和人数.根据题意,列出的方程组正确的是 ( ) A.  　　　    B.  　　　     C.  　    　    D.       C     解析　由题意可列方程组为 故选C. 初中同步培优卷 5. (★★☆)老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌 子的高度,首先按照图①所示的方式放置,再交换两木块的位 置,按照图②所示的方式放置,测量的数据如图所示,则桌子的 高度是 ( )   A. 77 cm　　　    B. 78 cm　　　    C. 79 cm　　　    D. 80 cm     B     初中同步培优卷 解析　设桌子的高度是x cm,题图中阴影长方形的长是a cm, 宽是b cm. 根据题意得  ①+②,得2x=156,解得x=78. 所以桌子的高度是78 cm.故选B. 初中同步培优卷 6. (2025江苏无锡滨湖期末,★★☆)小明到某文具店购买若干 笔记本和中性笔共花费198元,已知笔记本每本5元,中性笔每 支3元,设购买笔记本x本,购买中性笔y支,x,y均为正整数,则满 足条件的购买方案有 ( ) A. 10种　　　    B. 11种　　　    C. 12种　　　    D. 13种     D     初中同步培优卷 解析　根据购买若干笔记本和中性笔共花费198元,得5x+3y= 198, 整理,得y=66- x. 因为x,y均为正整数, 所以x的值可以为3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,所以满 足条件的购买方案有13种.故选D. 初中同步培优卷 7. (2025江苏连云港期中,★★☆)如果 的解是整数, 那么a可能的值是 ( ) A. 1　　　    B. 2　　　    C. 3　　　    D. 4     C     解析      由①得x=y+a,③ 将③代入②,得3y+3a+2y=4,解得y= , 初中同步培优卷 将y= 代入③,得x= +a= , 所以方程组的解为  由题中选项可知a的取值为1,2,3,4,只有a取值为3时能使x,y的 值是整数.故选C. 初中同步培优卷 8. (2025江苏连云港赣榆初级中学月考,★★★)已知关于x,y的 方程组 给出下列说法:(1)当a=0时,方程组的解 也是方程 x+y=0的一个解;(2)当x与y互为相反数时,a=-3;(3) 无论a取何值,7x+2y的值始终不变;(4)若a=1,则x2+4y=0.其中正 确的是 ( ) A. (1)(2)　　　     B. (1)(3)　　　     C. (1)(2)(3)　　　     D. (1)(3)(4)     B     初中同步培优卷 解析    (1)当a=0时,原方程组为 解得  则 x+y=0,故(1)说法正确; (2)当x与y互为相反数时,x+y=0, 联立,得  ②+③,得2x=3a+5,④ ①+②,得3x=2a+6,⑤ ④×3-⑤×2,得3(3a+5)-2(2a+6)=0, 初中同步培优卷 解得a=- ,故(2)说法错误; (3)  ①×3+②,得7x+2y=8,故(3)说法正确; (4)当a=1时,原方程组为  解得 则x2+4y= - ≠0,故(4)说法错误. 综上所述,(1)(3)说法正确.故选B. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. 【学科特色·教材变式P88习题T3】(★☆☆)已知二元一次 方程2x-3y=-4,用含x的代数式表示y为y=_________. 解析　移项,得-3y=-4-2x. 系数化为1,得y= .故答案为 . 初中同步培优卷 10. (★☆☆)已知 是关于x,y的二元一次方程组,则5 (x+y)=__________.     15     解析      ①+②,得3x+3y=9,所以x+y=3, 所以5(x+y)=5×3=15. 初中同步培优卷 11. (2025江苏扬州期末,★☆☆)已知(2-a)x+y|a|-1=3是关于x,y的 二元一次方程,则a的值是_______. 　-2     解析　根据二元一次方程的定义可得|a|-1=1且2-a≠0,所以a= -2. 初中同步培优卷 12. (★☆☆)已知 是方程组 的解,则(a+b)(a -b)的值是_________.     5     解析　把 代入 得  所以(a+b)(a-b)=1×5=5. 初中同步培优卷 13. (2025江苏南通期中,★☆☆)甲和乙两人同解方程组  甲因抄错了a,解得 乙因抄错了b,解得  则a+b的值为_________.     4     解析　由题意可知 是方程bx-2y=12的解, 是方程x +ay=5的解, 所以6b-6=12,3+2a=5, 解得b=3,a=1,所以a+b=1+3=4. 初中同步培优卷 14. (2025江苏南通海门期中,★★☆)如图,把塑料凳整齐地叠 放在一起,根据图中的信息计算20张同样的塑料凳整齐地叠 放在一起时的高度是__________cm.       80     初中同步培优卷 解析　设塑料凳面的厚度为x cm,腿高h cm. 根据题意得 解得  所以20张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×20= 80(cm).故答案为80. 初中同步培优卷 15. 【学科特色·换元法】(2025江苏泰州泰兴期中,★★☆)已 知m,n均不为0,且关于x,y的方程组 的解为  若a,b满足 则a-b=__________.     ±3     解析　整理  得  初中同步培优卷 因为关于x,y的方程组 的解为 所以   所以(a-b)2=a2-2ab+b2 =24-15 =9, 所以a-b=±3. 初中同步培优卷 方法解读　观察题中两个方程组的结构规律,将a2+b2整体看 作原方程组的x,将2ab整体看作原方程组的y,故原方程组的解 仍然成立. 初中同步培优卷 16. 【新课标·中华优秀传统文化】(2025江苏泰州靖江一模, ★★★)如图①所示,“洛书”是中国重要的文化遗产,可转为 如图②所示的三阶幻方,每行、每列、每条对角线上的三个 数之和相等.图③是一个不完整的三阶幻方,结合图中信息可 得x+y=_______. 　-2     初中同步培优卷 解析　由第一行和第一列上的三个数的和相等,得第三行第 一个方格中的数为x-1+6-x-7=-2. 由两对角线上的三个数的和相等,得第三行第三个方格中的 数为6-2-x=4-x. 补充部分数据,如图所示. x -1 6 7 y -2 4-x 初中同步培优卷 根据题意得 解得  所以x+y=1-3=-2. 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (2025江苏苏州期中,★☆☆)(8分)解方程组: (1)  (2)  初中同步培优卷 解析    (1)原方程组可化为  ①×3-②,得y=53, 把y=53代入①,得x=226. 所以原方程组的解是  初中同步培优卷 (2)原方程组可化为  ①×2+②,得11x=22,解得x=2, 把x=2代入①,得8-y=5,解得y=3. 所以原方程组的解是  初中同步培优卷 18. (2024江苏常州钟楼期末,★☆☆)(6分)已知关于x,y的方程 组 与方程组 有相同的解,求m, n的值. 解析　因为关于x,y的方程组 与方程组  有相同的解, 所以这两个方程组的解也是方程组 和 初中同步培优卷  的解, 解方程组 得  把 代入 得  解得  初中同步培优卷 19. (★☆☆)(8分)小明在拼图时,发现8个大小完全相同的小 长方形恰好可以拼成一个大的长方形,如图①所示,小红看见 了,说:“我来试一试.”结果小红拼成了如图②所示的大正方 形,中间还留了一个边长为2 cm的小正方形.试求图②中大正 方形的面积. 初中同步培优卷 解析　设每个小长方形的宽为x cm,长为y cm. 根据题意得 解这个方程组,得  所以2x+y=2×6+10=22,所以大正方形的边长为22 cm,所以大 正方形的面积是22×22=484(cm2). 方法归纳　解题关键是准确得出题图中给出的等量关系:5个 小长方形的宽=3个小长方形的长,2个小长方形的宽-1个小长 方形的长=2.另外也可使用等量关系“大长方形面积+4=大正 方形的面积”计算大正方形的面积. 初中同步培优卷 20. (★☆☆)(8分)已知关于x,y的方程组  (1)当a=0时,该方程组的解是_______. (2)x与y的数量关系是_______(用不含字母a的式子表示). (3)是否存在有理数a,使得|x+3|+y2=0?若存在,请求出有理数a 的值;若不存在,请说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)把a=0代入方程组,得  ②-①,得3y=3,解得y=1, 把y=1代入①,得x-1=-3,解得x=-2. 则方程组的解为  (2)用不含字母a的式子表示x与y的数量关系即为消去a, 方程组  ①×5+②×4,得9x+3y=-15, 初中同步培优卷 化简,得3x+y=-5. (3)不存在,理由如下: 因为|x+3|+y2=0,所以x+3=0,y=0, 解得x=-3,y=0, 代入方程组,得  方程组无解, 故不存在有理数a,使得|x+3|+y2=0. 初中同步培优卷 21. (2025江苏淮安期末,★☆☆)(10分)某旅行团到景区游玩, 景区只有两种游览方式,一种是全程缆车,一种是全程步行,具 体费用如下表,旅行团每个人皆从这两种方式中选择一种,选 择缆车人数的2倍比选择步行人数的3倍多5,若旅行团在游览 方面的总费用为4 200元,求旅行团的总人数. 游览方式 费用 全程缆车 120元 全程步行 80元 初中同步培优卷 解析　设选择缆车的人数为x,选择步行的人数为y, 根据题意可得  解方程组得  所以x+y=25+15=40. 答:旅行团的总人数为40. 初中同步培优卷 22. (2025江苏淮安期末,★★☆)(10分)文海中学开设校本课 程,购买了A,B两种型号的机器人模型,已知A型机器人模型单 价比B型机器人模型单价多300元,购买3台A型机器人模型的 费用比购买4台B型机器人模型的费用多400元. (1)请问A型,B型机器人模型的单价分别是多少元? (2)现在学校要求购买A,B两种型号的机器人模型,计划将一万 元全部用完,那么有几种购买方案呢? 初中同步培优卷 解析    (1)设A型机器人模型的单价是x元,B型机器人模型的 单价是y元. 根据题意得 解得  答:A型机器人模型的单价是800元,B型机器人模型的单价是5 00元. (2)设学校购买m台A型机器人模型,n台B型机器人模型. 根据题意得800m+500n=10 000. 整理,得n=20- m. 初中同步培优卷 因为m,n均为正整数,所以 或  所以有2种购买方案:①购买5台A型机器人模型,12台B型机器 人模型;②购买10台A型机器人模型,4台B型机器人模型. 初中同步培优卷 23. 【新考向·新定义题】(★★☆)(10分)阅读下面文字,然后 回答问题. 给出定义:关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c),若 将x的系数a与常数c互换,则称得到的新方程cx+by=a为原方 程ax+by=c的“镜像方程”.例如方程5x+6y=8的“镜像方 程”为8x+6y=5. (1)写出3x-2y=-1的“镜像方程”:_______,它们组成的方程 组的解为_______. 初中同步培优卷 (2)若关于x,y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成 的方程组的解为 求mn的值. (3)若关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且 与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x,y的二元 一次方程mx-ny=p(m≠n)的一个解,请直接写出代数式m(n-m)+ p(p-n)+52的值. 初中同步培优卷 解析    (1)方程3x-2y=-1的“镜像方程”是-x-2y=3, 联立,得  ①-②,得4x=-4,解得x=-1. 将x=-1代入②,得1-2y=3,解得y=-1. 所以方程组的解为  故答案为-x-2y=3;  (2)关于x,y的二元一次方程7x+my=9与它的“镜像方程”组成 初中同步培优卷 的方程组为  ①-②,得-2x=2,解得x=-1, 所以x=m=-1. 将x=m=-1代入①,得-7-y=9,解得y=-16, 所以y=n=-16, 所以mn=(-1)×(-16)=16. (3)m(n-m)+p(p-n)+52=52. 详解:关于x,y的二元一次方程ax+by=c与它的“镜像方程”组 初中同步培优卷 成的方程组为  ①-②,得(a-c)x=c-a,解得x=-1. 将x=-1代入①,得-a+by=c,解得y= , 因为a+b+c=0,所以a+c=-b,所以y=-1, 所以方程组的解为  将 代入mx-ny=p,得-m+n=p, 所以n-m=p,所以p-n=-m, 所以m(n-m)+p(p-n)+52=pm-pm+52=52. 初中同步培优卷 24. (★★★)(12分)综合与实践. 素材1:七年级(1)班班委选定一家商店采购商品.该商店每个 钥匙扣售价为4元,每个玩偶售价为2元. 素材2:商店推出两种优惠方案: 方案一 购买钥匙扣超过30个时,超过 部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个,立减10元 初中同步培优卷 问题1:当不使用优惠方案时,若班委购买钥匙扣和玩偶各40 个,一共花费多少元? 问题2:班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个,其中钥匙扣超过 30个,一共花费244元,求钥匙扣和玩偶各购买了多少个. 问题3:现有班费266元全部用于购买商品,且同时享受两种优 惠方案,通过计算设计购买方案. 初中同步培优卷 解析　问题1:根据题意不能使用优惠方案,故共花费4×40+2× 40=240(元). 问题2:因为钥匙扣超过30个,所以按照优惠方案一购买, 设购买钥匙扣x个,玩偶y个. 根据题意得  解得  答:钥匙扣购买了50个,玩偶购买了30个. 问题3:设购买钥匙扣a(a>30)个,玩偶b(b≥50)个, 初中同步培优卷 根据题意得4×30+4×0.8(a-30)+2b-10=266, 所以b=126- a. 又因为a,b均为正整数,且a>30,b≥50, 所以 或 或  所以共有3种购买方案: 方案1:购买钥匙扣35个,玩偶70个; 方案2:购买钥匙扣40个,玩偶62个; 方案3:购买钥匙扣45个,玩偶54个. 初中同步培优卷 $