第8章 整式乘法 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式运算、乘法公式（完全平方公式、平方差公式）及应用，通过基础题（如幂的运算、公式辨析）到综合题（如规律探究、代数推理）的梯度设计，结合教材变式题建立知识网络，清晰呈现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“基础巩固-能力提升-素养拓展”分层模式，如第21题代数推理验证平方差性质培养推理意识，第23题数形结合用面积证公式发展几何直观，第24题杨辉三角规律探究提升抽象能力。这种设计既帮助学生巩固知识，又让教师精准把握学情，提升复习效率。

第8章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共24分.每小题只有一个选项是符合 题意的) 1. (2025黑龙江龙东地区中考,★☆☆)下列运算正确的是  ( ) A. a4·a3=a6　　　     B. 2a+3b=6ab C. (-2a2b3)3=-8a6b9　　　  D. (-a+b)(a+b)=a2-b2     C     初中同步培优卷 解析    a4·a3=a7,故A不符合题意; 2a与3b不是同类项,无法合并,故B不符合题意; (-2a2b3)3=-8a6b9,运算正确,故C符合题意; (-a+b)(a+b)=b2-a2,故D不符合题意.故选C. 初中同步培优卷 2. (2025江苏南京秦淮期末,★☆☆)下列计算正确的是 ( ) A. (a-b)2=a2-b2　　　     B. (a-b)2=a2-2ab-b2 C. (-a-b)2=a2+2ab+b2　　 D. (-a-b)2=a2-2ab-b2     C 解析    (a-b)2=a2-2ab+b2,故A,B不符合题意; (-a-b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2,故C符合题意,D不符合题意.故选C. 初中同步培优卷 3. (★☆☆)若(2xy2)3· (xmyn)2=2x7y8,则 ( ) A. m=4,n=2　　　    B. m=3,n=3 C. m=2,n=1　　　    D. m=3,n=1     C     解析　因为(2xy2)3· (xmyn)2=8x3y6· x2my2n=2x2m+3y2n+6=2x7y8,     所以2m+3=7,2n+6=8. 解得m=2,n=1.故选C. 初中同步培优卷 4. 【学科特色·教材变式P30T3】(★☆☆)已知M·4x2y3=8x4y6, 则整式M= ( ) A. 4x2y2　　　    B. 2x2y2　　　    C. 4x2y3　　　    D. 2x2y3     D     解析　因为2x2y3·4x2y3=8x4y6,所以M=2x2y3.故选D. 初中同步培优卷 5. (2025江苏盐城亭湖期中,★☆☆)设M=2 0252-2 024×2 026, N=2 0252-4 050×2 026+2 0262,则M与N的关系是 ( ) A. M>N　　　    B. M=N　　　    C. M<N　　　    D. M=±N     B     解析　因为M-N=2 0252-2 024×2 026-(2 0252-4 050×2 026+2 0 262)=2 0252-(2 025-1)×(2 025+1)-(2 0252-2×2 025×2 026+2 026 2)=2 0252-2 0252+1-(2 025-2 026)2=1-(-1)2=0, 所以M=N.故选B. 初中同步培优卷 6. (2025江苏连云港海州期中,★★☆)已知(x+a)(x+b)=x2+mx- 6,若a,b都是整数,则m的值不可能是 ( ) A. 1　　　    B. -1　　　    C. -5　　　    D. -7     D     初中同步培优卷 解析　因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx-6, 所以m=a+b,ab=-6, 因为a,b都是整数,所以a,b为-6的两个因数, 当ab=1×(-6)时,m=a+b=-5; 当ab=2×(-3)时,m=a+b=-1; 当ab=3×(-2)时,m=a+b=1; 当ab=6×(-1)时,m=a+b=5, 故m的值不可能是-7.故选D. 初中同步培优卷 7. (2025江苏南京一中二模,★★☆)两个连续自然数的平方差 的绝对值等于这两个数的 ( ) A. 和　　　    B. 差　　　    C. 积　　　    D. 差的平方     A     解析　设两个连续的自然数为n,n+1, 则|(n+1)2-n2|=|n2+2n+1-n2|=|2n+1|, 因为n为自然数,所以2n+1>0,所以|2n+1|=2n+1=n+(n+1), 即两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和. 故选A. 初中同步培优卷 8. (2025江苏扬州梅岭中学教育集团期中,★★★)小吉是一个 爱好数学的好学生,一天他将三个正方形以如图所示的方式 相连,然后将数字0~8填入图中的9个顶点处,使得每个正方形 四个顶点上的数字的和都等于16.每个正方形四个顶点上的 数字的平方和分别记为A,B,C,且A+B+C=260.如 果将三个正方形交点处填入的三个数字分别记 为x,y,x+y,那么xy的值为 ( ) A. 0　　　    B. 6　　　    C. 7　　　    D. 8     D     初中同步培优卷 解析　因为每个正方形四个顶点上的数字的和都等于16, 所以三个正方形顶点上的数字之和为16×3=48, 因为0~8这9个数字之和为0+1+2+3+4+5+6+7+8=36,且三个正 方形交点处的三个数字x,y,x+y都加了两次, 所以x+y+x+y=48-36=12,即2x+2y=12,所以x+y=6, 因为02+12+22+32+42+52+62+72+82=204,A+B+C=260,三个正方形 交点处的三个数字的平方都加了两次, 所以x2+y2+(x+y)2=260-204=56, 初中同步培优卷 所以x2+y2+x2+y2+2xy=2x2+2y2+2xy=56, 因为x+y=6,所以(x+y)2=x2+y2+2xy=36, 所以2x2+2y2+2xy+2xy=36×2=72, 所以2xy=72-56=16,所以xy=8.故选D. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. (★☆☆)4a3b5·(-5a2b-2)=____________. 　-20a5b3     解析    4a3b5·(-5a2b-2)=4×(-5)·(a3·a2)·(b5·b-2)=-20a5b3. 初中同步培优卷 10. (2025江苏宿迁宿豫期中,★☆☆)已知mn=2m+2n,则(m-2) (n-2)=_________.     4     解析　因为mn=2m+2n, 所以(m-2)(n-2) =mn-2m-2n+4 =2m+2n-2m-2n+4 =4. 故答案为4. 初中同步培优卷 11. (2025江苏南京秦淮二模,★☆☆)计算(2a2)3·a的结果是______.     8a7     解析    (2a2)3·a=8a6·a=8a7.故答案为8a7. 初中同步培优卷 12. (2025江苏连云港东海期中,★☆☆)由于我们把(a+b)2=a2+ 2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2叫作完全平方公式,所以我们常把多 项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式.若x2+mxy+4y2是完 全平方式,则m的值为__________.     ±4     解析　因为x2±4xy+4y2=(x±2y)2,所以m=±4. 初中同步培优卷 13. (2025江苏苏州吴江实验初级中学教育集团月考,★☆☆) 在长为3a+2、宽为2a+3的长方形铁皮上剪去一个边长为a-1 的小正方形,则剩余部分的面积为_________________.     5a2+15a+5     解析　由题意可得(3a+2)(2a+3)-(a-1)2 =6a2+9a+4a+6-a2+2a-1 =5a2+15a+5. 故答案为5a2+15a+5. 初中同步培优卷 14. (2025江苏苏州高新区期末,★☆☆)小明在计算(x-2)(x+n) 时,小亮告诉他结果中的一次项系数为5,则n的值为________.     7     解析    (x-2)(x+n) =x2+nx-2x-2n =x2+(n-2)x-2n, 因为结果中的一次项系数为5,所以n-2=5, 解得n=7.故答案为7. 初中同步培优卷 15. (2025江苏无锡凤翔实验学校月考,★★☆)已知2n+2-n=k,则 4n+4-n=____________.(用含k的代数式表示)     k2-2     解析　因为2n+2-n=k, 所以(2n+2-n)2 =22n+2-2n+2×2n×2-n =22n+2-2n+2×20 =4n+4-n+2=k2, 所以4n+4-n=k2-2. 初中同步培优卷 16. (2025江苏徐州月考,★★☆)如图,小敏同学在计算机软件 上设计了一个图案,画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下 方,使其重叠部分是长方形,面积记为S3,两个颜色较浅的四边 形都是正方形,面积分别记为S1,S2.已知BE=6,DF=10,且S1+S2=1 20,则S3=__________.     52     初中同步培优卷 解析　设正方形ABCD的边长为x, 因为BE=6,DF=10,所以EC=x-6,FC=x-10, 所以S1+S2=(x-6)2+(x-10)2 =x2-12x+36+x2-20x+100 =2x2-32x+136, S3=(x-6)(x-10)=x2-16x+60, 因为S1+S2=2x2-32x+136=120,整理得x2-16x=-8, 所以S3=x2-16x+60=-8+60=52. 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (2025江苏盐城东台月考,★☆☆)(8分)计算: (1)(a+3)2-(a+1)(a-1).　    (2)(x+y-3)(x+y+3). 解析    (1)原式=a2+6a+9-a2+1=6a+10. (2)原式=(x+y)2-9=x2+2xy+y2-9. 初中同步培优卷 18. (2025江苏扬州中学教育集团树人学校期末,★☆☆)(6分) 先化简,再求值:(x-y)(x+y)-(y-4)2+x(y-x),其中x= ,y=2. 解析　原式=x2-y2-(y2-8y+16)+xy-x2 =x2-y2-y2+8y-16+xy-x2 =-2y2+xy+8y-16. 当x= ,y=2时,原式=-8+1+16-16=-7. 初中同步培优卷 19. (2025江苏扬州宝应期中,★☆☆)(8分)完全平方公式(a±b)2 =a2±2ab+b2通过适当的变形,可以解决很多的数学问题. 例:若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解:因为a+b=3,ab=1,所以(a+b)2=9,2ab=2, 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=9,所以a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法,解决下列问题. (1)若x+y=8,xy=12,求x2+y2的值. (2)若x+y=4,x2+y2=10,求xy的值. 初中同步培优卷 解析    (1)因为x+y=8,xy=12, 所以(x+y)2=64,2xy=24, 所以(x+y)2=x2+2xy+y2=64, 所以x2+y2=64-24=40. (2)由题意可得(x+y)2=16, 所以(x+y)2=x2+2xy+y2=16, 所以2xy=16-10=6,所以xy=3. 初中同步培优卷 20. (★☆☆)(8分)在学习多项式乘多项式时,我们知道  ·(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式,并且最高次项为 x·2x·3x= 3x3,常数项为4×5×(-6)=-120,那么一次项是什么呢?要解决这 个问题,就是要确定一次项的系数.通过观察,我们发现一次项 的系数就是 ×5×(-6)+2×4×(-6)+3×4×5=-3,即一次项为-3x. 请你参考上面的方法,解答下列问题. (1)求计算(x+1)(3x+2)(5x-3)所得多项式的一次项的系数. 初中同步培优卷 (2)如果计算(x+5)(-2x+a)(3x-3)所得的多项式中不含一次项,求 常数a的值. 解析    (1)一次项的系数为1×2×(-3)+3×1×(-3)+5×1×2= -6+(-9)+10=-5. (2)一次项的系数为1×a×(-3)+(-2)×5×(-3)+3×5×a=-3a+30 +15a=12a+30, 因为多项式中不含一次项, 所以12a+30=0,解得a=- . 初中同步培优卷 21. 【新考向·代数推理】(2025江苏宿迁宿城期末,★★☆)(10分) 发现:比任意一个奇数大5的数与此奇数的平方差能被5整除. 验证: (1)82-32=_______=_______×5. (2)设奇数为2n+1(n为整数),试说明:比2n+1大5的数与2n+1的 平方差能被5整除. 延伸: (3)请利用整数k说明“比任意一个整数大5的数与此整数的 平方差被10除的余数为5”. 初中同步培优卷 解析    (1)82-32=(8+3)×(8-3)=11×5. (2)比2n+1大5的数与2n+1的平方差为(2n+6)2-(2n+1)2 =(2n+6+2n+1)(2n+6-2n-1)=5(4n+7). 因为n为整数,所以5(4n+7)是5的倍数, 即比2n+1大5的数与2n+1的平方差能被5整除. (3)易知比整数k大5的数为k+5, 则(k+5)2-k2 初中同步培优卷 =(k+5+k)(k+5-k) =10k+25 =10k+20+5 =10(k+2)+5. 因为k为整数,所以10(k+2)+5被10除余5, 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数 为5. 初中同步培优卷 22. 【新考向·规律探究题】(★★☆)(10分)特殊两位数乘法 的速算——如果两个两位数的十位数字相同,个位数字相加 的结果为10,那么能立刻说出这两个两位数的乘积.如果这两 个两位数分别记作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为 B和C,B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数 是A和A+1的乘积,后两位数是B和C的乘积(如果B×C的结果是 一位数,那么添加0作为后两位数的十位数字).如47×43=2 021, 61×69=4 209. 初中同步培优卷 (1)请你直接写出84×86的值. (2)应用规律计算时,若设一个两位数的十位上的数字为m,个 位上的数字为n,则另一个两位数的个位上的数字为_______. 用含m,n的等式表示以上两位数相乘的规律:__________ ____________. (3)请用所学知识证明(2)中的规律. 初中同步培优卷 解析    (1)84和86满足题中的条件,十位数字都是8,且个位数 字之和为10,所以它们的乘积是一个四位数,前两位数是8和9 的乘积,后两位数是4和6的乘积,所以84×86=7 224. (2)一个两位数的十位上的数字为m,个位上的数字为n,则另一 个两位数的个位上的数字为10-n,用含m,n的等式表示两位数 相乘的规律为(10m+n)[10m+(10-n)]=100m(m+1)+n(10-n). 初中同步培优卷 (3)证明:(10m+n)[10m+(10-n)] =(10m+n)(10m-n+10) =100m2-10mn+100m+10mn-n2+10n =(100m2+100m)+(10n-n2) =100m(m+1)+n(10-n), 所以(10m+n)[10m+(10-n)]=100m(m+1)+n(10-n). 初中同步培优卷 23. 【学科特色·数形结合思想】(2025江苏徐州期末,★★☆) (10分)如图①,用不同的方法表示阴影部分的面积,可以得到 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2. (1)如图②,用不同的方法表示阴影部分的面积,可得公式_____ _________.     (2)利用完全平方公式,解决下列问题: ①若(x-2 025)2+(x-2 026)2=2 031,则(x-2 025)·(x-2 026)的值为 _______. 初中同步培优卷 ②如图③,在线段CE上取一点D,分别以CD,DE为边作正方形 ABCD和正方形DEFG,连接BG,CG,EG.若图中两个阴影部分 的面积之和为6,且△CDG的面积为4,求CE的长.   初中同步培优卷 解析    (1)由题图可知阴影部分的面积为(a-b)2,还可表示为a2- 2ab+b2, 所以(a-b)2=a2-2ab+b2. 故答案为(a-b)2=a2-2ab+b2. (2)①设x-2 025=a,x-2 026=b, 则a2+b2=2 031,a-b=x-2 025-(x-2 026)=1. 因为(a-b)2=a2-2ab+b2, 所以1=2 031-2ab,所以ab=1 015, 初中同步培优卷 即(x-2 025)(x-2 026)=1 015. 故答案为1 015. ②设CD=x,DE=y, 由题意得S△CDG= CD·GD= xy=4, 所以xy=8. 因为S△ABG= AB·AG= x(x-y),S△EFG= EF·GF= y2, 所以S阴影=S△ABG+S△EFG= x(x-y)+ y2= x2+ y2- xy= x2+ y2-4=6, 初中同步培优卷 整理,得x2+y2=20, 所以(x+y)2=x2+y2+2xy=20+2×8=36, 所以x+y=6或x+y=-6(舍去), 所以CE=CD+DE=6. 初中同步培优卷 24. 【学科特色·教材变式P44阅读】(2025安徽安庆潜山期末, ★★★)(12分)如图,我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九 章算法》中记载的“杨辉三角”揭示了(a+b)n(n为非负整数) 的展开式的项数及各项系数的有关规律.如(a+b)3=a3+3a2b+3 ab2+b3;(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 初中同步培优卷 (1)请你写出(a+b)5的展开式. (2)用此规律解决实际问题:若今天是星期五,再过7天还是星 期五,则再过215天是星期_______. (3)设(x+1)17=a17x17+a16x16+…+a1x+a0,小明发现通过赋值法可求 解系数间的关系,例如令x=1,则a17+a16+…+a1+a0=(1+1)17=217.聪 明的你能不能求出a17+a16+…+a2+a1的值?若能,请写出过程. (4)你能在(3)的基础上求出a1+a3+a5+…+a15+a17的值吗?若能, 请写出过程. 初中同步培优卷 解析    (1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. (2)六. 详解:因为215=(23)5=(7+1)5=75+5×74×1+10×73×12+10×72×13 +5×7×14+15, 所以215除以7余1. 因为今天是星期五,再过7天还是星期五, 所以再过215天是星期六. 初中同步培优卷 (3)能.当x=1时,a17+a16+…+a1+a0=(1+1)17=217, 当x=0时,a0=(0+1)17=1, 所以a17+a16+…+a1=217-1. (4)能. 当x=-1时,-a17+a16-a15+a14-…-a1+a0=(-1+1)17=0, 所以a17+a16+…+a1+a0-(-a17+a16-a15+a14-…-a1+a0)=2(a17+a15+…+a 5+a3+a1)=217-0=217, 所以a1+a3+a5+…+a15+a17= = . 初中同步培优卷 $