期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：7～9章 幂的运算+整式乘法+图形的变换全部内容）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

期中重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：7 ~ 9章（幂的运算+整式乘法+图形的变换全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：选项A：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求． 选项B：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求． 选项C：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求． 选项D：该图形是轴对称图形，同时是中心对称图形，符合要求． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先拆分指数，再逆用积的乘方解答，然后合并同指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26七年级下·无锡·期末）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，同底数幂相乘，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将多个相同数的和与积转化为乘法和乘方形式，再利用等式性质求出的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：∵2025个相加可表示为，2026个相乘可表示为， ∴根据题意得， 又∵， 等式两边同时除以，得， 将代入，得， 故选：B． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据折叠的性质以及平角的定义列方程求解即可． 【详解】解：如图， 设， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， ，即， 图2中的度数为． 6．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，则，即可得到图中阴影部分的周长．利用平移的性质求解即可 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ，， ， 图中阴影部分的周长为： （）． 故选：B． 7．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律有如下几个结论：展开式有项，系数和为的结果是展开式中，系数最大为． 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据规律分析即可． 【详解】解：当时，项数为一项，系数和为；当时，项数为两项，系数和为；当时，项数为三项，系数和为；当时，项数为四项，系数和为；当时，项数为五项，系数和为；当时，项数为六项，系数和为；当时，项数为七项，系数和为；……， 由此规律得：展开式的项数为项，系数和为，故①错误； 由，则， 所以，故②正确； 当时，展开式中，系数最大为，故③正确， 综上，正确的有②③． 8．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形， ∴2（m-3）+2（n-3）=32， ∴m+n=22， ∵mn=120， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484， ∴m2+n2=244， ∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4， ∵m＞n， ∴m-n=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26七年级下·四川雅安·开学考试）已知，则=____________ 【答案】16 【分析】先根据已知等式得到的值，再利用同底数幂的乘法法则化简后代入计算即可． 【详解】解：由可得. ∴． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可得到常数的值． 【详解】解：完全平方公式的结构为，将多项式变形可得，对比完全平方公式的结构，可得， ， 11．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）若，则的值为_____．若，则_____． 【答案】 30 250 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘法，逆用幂的乘方，进行计算即可，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：30，250 12．（25-26七年级下·甘肃平凉·月考）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 【答案】/100度 【分析】根据旋转的性质得到，，进而求出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到， ，， ． 13．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到江苏扬州各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 【答案】14 【分析】根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数． 本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元． 由题意得． 参考数据：，，． 计算得， ， 故，． 故答案为：14． 14．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）添加适当的数，使下列等式成立． （1）     ，括号内应填入：______． （2），括号内应依次填入：______、______． （3），括号内应依次填入：______、______． （4），括号内应依次填入：______、______． 【答案】 9 81 9 64 8 / / 【分析】根据完全平方公式的特征处理即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片ABCD的两个直角和分别沿直线EN，EM折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，．若，的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、几何图形中角度计算，首先根据折叠的性质确定，，并解得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， 由折叠可知，，， 且， ∴． 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26七年级下·江苏徐州·周测）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了用尺规作线段的垂直平分线，掌握作图步骤是关键；根据用尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P、M，连接，交于点，交于点，则直线为所求． 20．（25-26八年级上·四川广安·期末）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 21．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 22．（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中作出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图中作出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可； （2）根据平移的性质找出点、的对应点、，顺次连接、、即可． 【详解】（1）解：如图1，线段即所求． （2）解：如图，三角形即所求． 23．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； ② 直接写出代数式的最小值为 ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)①9；②6 (2)0 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用完全平方公式将变形为，求出和，再代入计算即可． 【详解】（1）解：①，故填； ②解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 25．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕顶点O顺时针旋转得到，画出； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—旋转变换，中心对称，掌握旋转及中心对称的性质是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定，然后顺次连接即可完成作图； （2）先确定三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点，然后顺次连接即可完成作图． 【详解】（1）解：如图，即为所作的图形； （2）解：如图，即为所作的图形． 26．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． (1)【类比探究】若满足，求的值； (2)【联系拓展】若满足，则________．；（直接写出结果，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)100 (2) (3)平方单位 【分析】（1）根据题目提供的方法进行计算即可； （2）设，则，，然后运用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意得，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为120得，设，则，，然后运用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：设， 则，， ∴． （2）解：设， 则，， ∴． （3）解：由题意得，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为120， ∴ ∴， 设， 则，， ∴， ∴阴影部分的面积和为平方单位． 27．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：7 ~ 9章（幂的运算+整式乘法+图形的变换全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·无锡·期末）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律有如下几个结论：展开式有项，系数和为的结果是展开式中，系数最大为． 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26七年级下·四川雅安·开学考试）已知，则=____________ 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 11．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）若，则的值为_____．若，则_____． 12．（25-26七年级下·甘肃平凉·月考）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 13．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到江苏扬州各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 14．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）添加适当的数，使下列等式成立． （1）     ，括号内应填入：______． （2），括号内应依次填入：______、______． （3），括号内应依次填入：______、______． （4），括号内应依次填入：______、______． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片ABCD的两个直角和分别沿直线EN，EM折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，．若，的度数为_________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26七年级下·江苏徐州·周测）计算． (1)； (2)． 18．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）先化简，再求值：，其中． 19．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 20．（25-26八年级上·四川广安·期末）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 22．（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中作出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图中作出三角形． 23．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 24．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； ② 直接写出代数式的最小值为 ； (2)已知，求的值． 25．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕顶点O顺时针旋转得到，画出； 26．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． (1)【类比探究】若满足，求的值； (2)【联系拓展】若满足，则________．；（直接写出结果，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 27．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 学科网（北京）股份有限公司 $