专题06矩形专项训练(11大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题06矩形专项训练 题型01.矩形的性质与应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.添条件使四边形是矩形 题型04.证明四边形是矩形 题型05.由矩形的性质与判定求角度 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 题型07.由矩形的性质与判定求面积 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 题型09.矩形与折叠问题 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与最值问题 解答题6题 题型01.矩形的性质与应用 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，对角线和相交于点O，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 3．如图，在矩形中，点E在的延长线上，与交于点G，点F是的中点，若要知道的面积，则需要知道（   ） A．的长 B．矩形的面积 C．梯形的面积 D．的度数 4．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图在矩形中，，则的度数为_____． 6．如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 7．如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 8．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________． 9．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 10．如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从如图所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型03.添条件使四边形是矩形 11．如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 12．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC 上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是___．(写出一个即可) 13．如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型04.证明四边形是矩形 14．如图，在中，，相交于点，请你添加一个条件，使是矩形，以下条件符合的是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在中，直线以每秒1个单位的速度从的边位置出发，沿方向平移，交的角平分线于点E，交的角平分线于点F．若，则当运动了______秒时，四边形是矩形．    16．如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 题型05.由矩形的性质与判定求角度 17．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E， F分别在AD，BC上，连接BE，DF，若四边形BFDE是菱形，则S菱形BFDE=_______． 19．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 20．如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 21．如图，矩形中，，，点在上，且，点在对角线上，作点关于的对称点，当点恰好落在矩形的边上时，的长为______． 22．如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型07.由矩形的性质与判定求面积 23．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为________． 24．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 25．如图，D是内部一点，，且，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ）    A． B．12 C．24 D．48 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 26．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 27．如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为_______． 28．如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型09.矩形与折叠问题 29．如图，折叠矩形，让点B落在对角线上，若，，则线段______． 30．如图，矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 31．如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 32．已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 题型10.矩形与动点问题 33．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 34．如图，矩形纸片中，，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 35．如图，在矩形中，点为边上靠近的三等分点，点为边上的动点，将矩形左侧沿翻折得到，点从运动到的过程中，设点的轨迹为，点的轨迹为，与交于，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型11.矩形与最值问题 36．如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 37．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 38．如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 39．如图，在直角三角形中，，点是边上一点（不与点重合），作于点于点，若点是的中点，则长度的最小值是（   ） A． B． C．4 D．5 40．如图，在矩形中，．点E在边上，且分别是边上的点，且是线段上的动点，连接． （1）当点P为的中点时，________； （2）的最小值为________． 解答题 41．如图，四边形中，对角线.相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 42．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 43．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 44．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且．求的面积． 45．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 46．如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形专项训练 题型01.矩形的性质与应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.添条件使四边形是矩形 题型04.证明四边形是矩形 题型05.由矩形的性质与判定求角度 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 题型07.由矩形的性质与判定求面积 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 题型09.矩形与折叠问题 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与最值问题 解答题6题 题型01.矩形的性质与应用 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，四边形是矩形，对角线和相交于点O，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质． 根据矩形的性质，即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线和相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 3．如图，在矩形中，点E在的延长线上，与交于点G，点F是的中点，若要知道的面积，则需要知道（   ） A．的长 B．矩形的面积 C．梯形的面积 D．的度数 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由矩形的性质、三角形的面积公式推出． 连接，由矩形的性质以及三角形的面积公式推出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴， ∴要知道的面积，则需要知道矩形的面积． 故选：B． 4．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 5．如图在矩形中，，则的度数为_____． 【答案】/60度 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据矩形的对角线相等且互相平分得到，进而得到，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算；由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为S， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：． 7．如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 8．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，轴，轴，则可求点D坐标． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ， 且轴， 轴，轴， ， 点C横坐标为3，点A纵坐标为2， 点D坐标为， 【点睛】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练运用矩形性质是本题的关键． 9．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从如图所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，每秒的速度顺时针旋转，故，故8秒完成一个循环，进而得到旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标与旋转1秒时相同，根据旋转1秒时，恰好落在x轴的正半轴上，且，即可求解． 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，坐标规律题，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，每秒的速度顺时针旋转，故，故8秒完成一个循环， ，即旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标与旋转1秒时相同， 对角线在第一象限的角平分线上， 得到旋转1秒时，恰好落在x轴的正半轴上， 根据矩形的性质，得， 故点所对应的点的坐标为． 故选：B． 题型03.添条件使四边形是矩形 11．如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键； 根据矩形的判定定理即可解答． 【详解】四边形为平行四边形，， 四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC 上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是___．(写出一个即可) 【答案】∠DFG=90°（答案不唯一） 【分析】由三角形中位线定理得DEBC，再由DFEG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：∠DFG=90°，理由如下： ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵DFEG， ∴四边形DFGE是平行四边形， 又∵∠DFG=90°， ∴平行四边形DFGE是矩形， 故答案为：∠DFG=90°（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 13．如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 添加，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断； 【详解】解：根据题意可得， ∴， 添加， 则， 即可得四边形为矩形， 故选：B． 题型04.证明四边形是矩形 14．如图，在中，，相交于点，请你添加一个条件，使是矩形，以下条件符合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得，但四边形不一定是矩形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理等知识，正确理解矩形与菱形之间的联系与区别是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，，相交于点， ，但四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 15．如图，在中，直线以每秒1个单位的速度从的边位置出发，沿方向平移，交的角平分线于点E，交的角平分线于点F．若，则当运动了______秒时，四边形是矩形．    【答案】3 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，，求得，，得到，根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，推出平行四边形是矩形，于是得到结论． 【详解】解：当运动了3秒时，四边形是矩形，理由如下： 记交于点O，如图所示：    ∵交的平分线于点E，交的外角平分线于点F， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴当运动了3秒时，四边形是矩形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握有三个角是直角的四边形是矩形． 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，结合对顶角相等得到，同理可得，，进而可证明四边形是矩形． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别平分，， ， ． 同理可得，， 四边形是矩形． 故选：C． 题型05.由矩形的性质与判定求角度 17．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E， F分别在AD，BC上，连接BE，DF，若四边形BFDE是菱形，则S菱形BFDE=_______． 【答案】 【分析】设菱形的边长为x，则AE=AD-x，由菱形的性质可知BE=AD，在Rt△ABE中利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出S菱形BFDE． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∵四边形BFDE是菱形， ∴BE=DE， 菱形的边长为x，则AE=AD-x=4-x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即32+（4-x）2=x2， 解得：x=， ∴S菱形BFDE=AB•DE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及勾股定理的运用，熟记特殊四边形的各种性质是解题关键． 19．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 20．如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 21．如图，矩形中，，，点在上，且，点在对角线上，作点关于的对称点，当点恰好落在矩形的边上时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，连接，由轴对称的性质可得，再分两种情况，分别画出图形，根据矩形的性质和勾股定理解答即可求解，正确画出图形解答是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点为， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴当时，点和点重合， ∴； 当点在上时，如图，过点作于， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 22．如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作点E关于BC的对称点E＇，连接FE＇，GE＇，当G、F、E＇共线时，平行四边形EFGH周长最小，过G作GG＇⊥AB于G＇，证明△AHE≌△CFG（AAS）得AE=CG，根据矩形的性质和对称性质可证得G＇E＇=AB=8，GG＇=BC=4，由勾股定理求得GE＇的长即可解答． 【详解】解：∵四边形EFGH是平行四边形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴平行四边形EFGH的周长为2（GF+EF）， 作点E关于BC的对称点E＇，连接FE＇，GE＇，则EF=FE＇，BE=BE＇， ∴GF+EF=GF+FE＇≥GE＇， ∴当G、F、E＇共线时，平行四边形EFGH周长最小，最小值为2GE＇， 过G作GG＇⊥AB于G＇，则四边形BCGG＇是矩形， 则GG＇=BC=4，CG=BG＇， ∵HE∥GF，EF=FE＇， ∴∠AEH=∠E＇=∠FGC， 在△AHE和△CFG中， ， ∴△AHE≌△CFG（AAS）， ∴AE=CG， ∴G＇E＇=BE＇+BG＇=BE+AE=AB=8， 在Rt△GG′E′中，GG＇=4，G＇E＇=8， ∴， ∴平行四边形EFGH周长最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、对称性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型07.由矩形的性质与判定求面积 23．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为________． 【答案】20 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 24．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 25．如图，D是内部一点，，且，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ）    A． B．12 C．24 D．48 【答案】B 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， 则四边形的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 26．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 27．如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为_______． 【答案】3 【分析】根据三角形的中位线定理求得的长，然后根据是直角斜边上的中线，求得的长，则即可求得． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，D为中点， ∵，， ∴， ∴． 28．如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质、直角三角形的性质和判定、勾股定理和平行线的判定和性质，解题的关键是找到比值的转化和菱形的性质． 过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，则，设菱形的边长为，则，进一步求得和，通过题意判定为直角三角形，则和，在中，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，如图， 则， 设菱形的边长为，则， ∵， ∴，， 则，， ∵E是的中点，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 则， 故选：C． 题型09.矩形与折叠问题 29．如图，折叠矩形，让点B落在对角线上，若，，则线段______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，由折叠得，，，，求出，设，则，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴． 30．如图，矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出，可得，设，则．根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则． 在中，由勾股定理得： ． 解得：， ． 31．如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质和折叠性质，得出，利用勾股定理求出的长度，设，并表示出，在中，再利用勾股定理表示出三边关系列出方程，解出方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质和勾股定理，根据性质找到相等线段及一些关系，并利用直角三角形的三边关系列出方程是解题关键． 32．已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据折叠得出，根据已知证明得出，等量代换即可得证； （2）过点作于点，证明得出，同（1）可得，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分三种情况讨论，①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，得出方程无解，故此情形不存在；②时，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，得出；③当时，过点作于点，同（1）可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵点在上，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时， ∴， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 题型10.矩形与动点问题 33．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】2.5或10 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理．根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 34．如图，矩形纸片中，，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键；当点F与点D重合时，的长最小，由矩形的性质得，，，由折叠得，则，所以，当点E与点B重合，的长最大，由，且，求得，然后可得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点F与点D重合， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 由折叠得， ∴， ∴， 如图2，点E与点B重合， ∵，且， ∴， ∴的取值范围是． 35．如图，在矩形中，点为边上靠近的三等分点，点为边上的动点，将矩形左侧沿翻折得到，点从运动到的过程中，设点的轨迹为，点的轨迹为，与交于，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，折叠得到，进而得到点的轨迹与点的轨迹为以为圆心的同心圆，进而得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，点为边上靠近的三等分点，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴点的轨迹与点的轨迹为以为圆心，半径分别为4和5的同心圆， ∵与交于， ∴， ∴； 故选A． 题型11.矩形与最值问题 36．如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，取的中点G，连接，，根据题意证明出，得到，点F在射线上运动，当时，有最小值，如图所示，过点A作于点H，勾股定理求出，，得到，证明出四边形是矩形，即可得到的最小值为． 【详解】如图所示，取的中点G，连接， ∵矩形中，， ∴ ∴， ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点F在射线上运动 ∴当时，有最小值 如图所示，过点A作于点H ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 37．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等内容，将转化为是解题的关键．先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】如图，连接，作点关于点的对称点，连接 四边形是矩形 ， ∵ ， 的最小值为 故选：D． 38．如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 39．如图，在直角三角形中，，点是边上一点（不与点重合），作于点于点，若点是的中点，则长度的最小值是（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，证出四边形为矩形，利用矩形的性质得出，当的值最小时，的值最小，当时，的值最小，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为直角三角形，且，， ∴四边形为矩形， 又点是的中点， 所以矩形对角线相交于点, , 当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 由勾股定理得, 由等面积法可得， ∴此时， 故选：B． 40．如图，在矩形中，．点E在边上，且分别是边上的点，且是线段上的动点，连接． （1）当点P为的中点时，________； （2）的最小值为________． 【答案】 4 【分析】（1）如图1，过点P作于点H，作于点，根据，，根据点P是的中点，得出，证明是等腰直角三角形，得出，根据，得出，，，证明四边形是矩形，得出，求出，再根据勾股定理求出，即可求解． （2）如图2，作点N关于对称的点，根据，得出点落在边上，连接交于点，即当点P与点重合时，最小，由作图可知，，证明四边形是矩形，得出，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于点H，作于点， 在矩形中，， ， ， 点P是的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ． （2）如图2，作点N关于对称的点， ， 点落在边上，连接交于点， 即当点P与点重合时，最小， 由作图可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的最小值为4． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 解答题 41．如图，四边形中，对角线.相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和已知条件可证明，得到，则可证明，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形的周长． 42．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 43．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解； （2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的中点， ， ∵分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； （2）解：∵和互余， ， ， ∵为的中点，， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ． 44．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且．求的面积． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 45．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是5 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，由，证得四边形是平行四边形，再根据，即可证得平行四边形是矩形； （2）根据角的关系得到，从而推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平行四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的长是5． 46．如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先说明，再根据旋转性质得，即可得，，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论； 对于（2），先根据“边角边”证明，再说明四边形是矩形，即可得出答案； 对于（3），分两种情况：当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，由（2）得是等腰直角三角形，四边形是矩形，可根据勾股定理求出，然后根据得出答案； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，仿照上述根据求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 根据旋转，得， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：或． 当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 所以的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $