8.4 第3课时 乘法公式的综合运用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦整式乘法中乘法公式的综合运用，通过教材变式题、实际问题导入，衔接平方差、完全平方公式基础，构建从公式直接应用到综合变形的学习支架。 其亮点在于融合几何直观（如“算两次”原理通过图形面积推导公式）、运算能力（多步骤化简求值）和模型意识（新定义“恒定差多项式”题），实例丰富且分层设计。助力学生提升公式灵活运用能力与创新意识，为教师提供素养导向的分层教学资源。

第8章　整式乘法 8.4　乘法公式 第3课时　乘法公式的综合运用 初中数学培优课堂  　乘法公式及其综合运用 1.【学科特色·教材变式P42例6(2)】(2025江苏扬州江都期中) 为了运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z),下列变形正确的是  ( ) A.[x-(3y+z)]2 B.[(x-3y)+z][(x-3y)-z] C.[x-(3y-z)][x+(3y-z)] D.[(x+3y)-z][(x-3y)+z]     C     解析　运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z),应变形为[x+(3y- z)][x-(3y-z)].故选C. 初中数学培优课堂 2.(2025江苏无锡宜兴外国语学校月考)一个长方形(长大于 宽)的长增加2,宽减少2,得到的新长方形与原长方形相比面积  ( ) A.增加了　　　    B.减少了 C.不变　　 　    D.无法确定     B     解析　设原长方形的长为x,宽为y,则新长方形的长为x+2,宽 为y-2,由题意得(x+2)(y-2)-xy=xy-2x+2y-4-xy=2y-2x-4. ∵x>y,∴2y-2x<0,∴2y-2x-4<0, ∴新长方形与原长方形相比面积减少了.故选B. 初中数学培优课堂 3.(2025江苏扬州仪征期中)若(x+3)(x2+9)(x-3)=xn-81,则n=_____.     4 解析    (x+3)(x2+9)(x-3)=(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81,则 n=4.故答案为4. 初中数学培优课堂 4.计算: (1)(3x-2y)2-(3x-2y)(3x+2y).(2)(2x-1)2-(x-2)2. (3)(2x+y-3)(2x-y+3).(4)(2a-1)2(2a+1)2. 解析    (1)原式=9x2-12xy+4y2-9x2+4y2=-12xy+8y2. (2)原式=(2x-1+x-2)(2x-1-x+2)=(3x-3)(x+1)=3x2+3x-3x-3=3x2-3. (3)原式=[2x+(y-3)][2x-(y-3)]=4x2-(y-3)2=4x2-(y2-6y+9)=4x2-y2+6y -9. (4)原式=[(2a-1)(2a+1)]2=(4a2-1)2=16a4-8a2+1. 初中数学培优课堂 5.(2025江苏无锡滨湖期末)先化简,再求值:(2x-1)2-(3x+1)(3x- 1)+4x(x-1),其中x2+8x-3=0. 解析    (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+4x(x-1) =4x2-4x+1-9x2+1+4x2-4x=-x2-8x+2, ∵x2+8x-3=0,∴x2+8x=3, ∴原式=-(x2+8x)+2=-3+2=-1. 初中数学培优课堂   6.(2025浙江温州期中,★★☆)在化简(1-3x)2-(-3x-1)(1-3x)的过 程中,小明有以下两种方法: 解法一:原式=1-6x+9x2-9x2-1(第一步) =-6x.(第二步) 解法二:原式=1-9x2-(9x2-1)(第一步) =1-9x2-9x2+1(第二步) =2-18x2.(第三步) 初中数学培优课堂 小明发现两种解法的结果不同,请你帮小明判断上述解法是 否正确,如果错误,请指出小明是从哪一步开始出现错误的.若 两种解法都错误,请你写出正确的解答过程. 解析　解法一中,从第一步开始出现错误, 解法二中,从第一步开始出现错误, 正确的解答过程:原式=1-6x+9x2+(1-9x2)=1-6x+9x2-9x2+1=2-6x. 初中数学培优课堂 7.【新考向·新定义题】(2025江苏扬州广陵期中,★★☆)我们 定义:如果两个多项式M与N的差为常数,则称M与N互为恒定 差多项式,这个常数称为它们的恒定差值,如2x2+2x+1与2x2+2x +5互为恒定差多项式,它们的恒定差值为-4. (1)下列各组多项式互为恒定差多项式的是_______(填序号). ①(x-1)2与(-x-1)2;②2(x-1)与(x-1)(x+1);③(x-1)2与(x-3)(x+1). (2)多项式(x-a)2与多项式-2bx2+2x+b(a,b为常数)互为恒定差多 项式,求a,b的值,并写出恒定差值. 初中数学培优课堂 解析    (1)①(x-1)2-(-x-1)2=x2-2x+1-x2-2x-1=-4x,∴该组多项式不 互为恒定差多项式. ②2(x-1)-(x-1)(x+1)=2x-2-x2+1=-x2+2x-1,∴该组多项式不互为 恒定差多项式. ③(x-1)2-(x-3)(x+1)=x2-2x+1-x2+2x+3=4,∴该组多项式互为恒 定差多项式.故答案为③. (2)(x-a)2-(-2bx2+2x+b)=x2-2ax+a2+2bx2-2x-b=(1+2b)x2+(-2a-2)x+ a2-b. 初中数学培优课堂 ∵两个多项式互为恒定差多项式, ∴1+2b=0,-2a-2=0,∴a=-1,b=- . ∴a2-b= ,∴恒定差值为 . 初中数学培优课堂   8.【新课标·几何直观】(2025江苏宿迁泗阳期中)数学家波利 亚说过:“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不 同的方法表示出来,即将一个量算两次,从而建立相等关系.” 这就是“算两次”原理.“算两次”原理也称富比尼原理,它 是一种重要的数学思想.换句话说,“算两次”的思想是对一 个具体的量用方法甲来计算,得到的答案是A,而用方法乙计 算得到的答案是B,那么等式A=B成立. 初中数学培优课堂 例如:计算图1的面积,把图1看作一个大长方形,它的面积是c(a +b),如果把图1看作是由两个长方形组成的,那么它的面积为 ac+bc,由此可得到公式:c(a+b)=ac+bc. 除此之外,在“整式乘法”的学习探究中,我们还利用“算两 次”的思想探索得到了三个公式: 公式①:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 公式②:(a+b)2=a2+2ab+b2. 公式③:(a+b)(a-b)=a2-b2. 初中数学培优课堂 (1)请根据图2、图3、图4从上述三个公式中选出对应的序号 填空: 图2对应公式______,图3对应公式______,图4对应公式______. (2)将三边长分别为a,b,c的两个直角三角形和一个两条直角 边的长都是c的直角三角形拼成如图5所示的图形,请利用 “算两次”的方法,探究a,b,c之间的数量关系. (3)请利用图6,通过构图表示(a-2b)2(在图中用阴影部分表示), 并利用“算两次”的方法说明(a-2b)2的计算结果.(要求:构图 时请标注出相应的数据) 初中数学培优课堂              　　      初中数学培优课堂 解析    (1)②;①;③. (2)∵ ab+ ab+ c2= (a+b)(a+b), ∴2ab+c2=a2+2ab+b2,∴c2=a2+b2. (3)(a-2b)2=a2-4ab+4b2,如图所示(构图不唯一). 初中数学培优课堂 $