8.4 第1课时 完全平方公式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件围绕完全平方公式展开，从整式乘法基础过渡，通过教材变式题、中考真题搭建学习支架，衔接公式推导与应用，帮助学生逐步掌握公式结构及运算规则。 其亮点在于融入数形结合（如图形验证公式）、换元法等学科特色方法，通过代数推理、规律探究题培养学生抽象能力与推理意识。多样化例题覆盖基础与提升，助力学生深化理解，教师可借助其丰富教学资源提升课堂效率。

第8章　整式乘法 8.4　乘法公式 第１课时　完全平方公式 初中数学培优课堂  　完全平方公式 1.【学科特色·教材变式P38例2】运用完全平方公式计算79.82 的最佳选择是 ( ) A.(79+0.8)2　　　　 B.(70+9.8)2 C.(80-0.2)2　　　     D.(100-20.2)2     C     解析    79.82=(80-0.2)2=802-2×80×0.2+0.22,运算更简单,故选C. 初中数学培优课堂 2.(2025江苏苏州工业园区期中)化简(x+2)2的结果为 ( ) A.x2+4　　　    B.x2+4x+4 C.x2-4　　　     D.x2-4x+4     B 解析　原式=x2+2·x·2+22=x2+4x+4. 初中数学培优课堂 3.(2025江苏盐城盐都月考)下列运算:①(3x+y)2=9x2+y2;②(a- 2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;④ =x2-2x+ .其中运算 错误的有     ( ) A.1个　　　    B.2个 C.3个　　　    D.4个     C     解析　①(3x+y)2=9x2+6xy+y2,故①运算错误;②(a-2b)2=a2-4ab+ 4b2,故②运算错误;③(-x-y)2=x2+2xy+y2,故③运算正确; ④ =x2-x+ ,故④运算错误.所以运算错误的有①②④, 共3个.故选C. 初中数学培优课堂 4.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏无锡锡山期中)将图 1中的阴影部分移动位置得到图2,根据两个图形中阴影部分 的关系,可以验证下列哪个公式 ( ) A.2(a+b)(a+b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2     C     C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)2=(a-b)2+4ab 初中数学培优课堂 解析　根据题图1可知阴影部分的边长为a-b,故阴影部分的 面积为(a-b)2,根据题图2可知阴影部分的面积为a2-2ab+b2,所 以可以得到(a-b)2=a2-2ab+b2. 初中数学培优课堂 5.(2025北京昌平期中)若(y+n)2=y2-my+9,则m的值为__________.     ±6     解析　由完全平方公式,得(y+n)2=y2+2ny+n2=y2-my+9=y2-my+ (±3)2,∴n=±3,∴-m=2×(±3)=±6,∴m=±6. 初中数学培优课堂 6.(2024四川乐山中考)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2=__________.     29     解析　∵a-b=3,ab=10,∴a2+b2=(a-b)2+2ab=9+20=29.故答案为 29. 初中数学培优课堂 7.小红将(5x+19)2展开后得到a1x2+b1x+c1,小芳将(5x-19)2展开后 得到a2x2+b2x+c2.若两人计算过程均无误,则b1+b2的值为_____.     0 解析　小红将(5x+19)2展开后得到a1x2+b1x+c1,小芳将(5x-19)2 展开后得到a2x2+b2x+c2,则b1与b2互为相反数,∴b1+b2=0. 初中数学培优课堂 8.计算:(1)a(1+a)-(a-1)2. (2)(2x+1)2-(4x+1)(x+1). 解析    (1)原式=a+a2-(a2-2a+1)=a+a2-a2+2a-1=3a-1. (2)原式=4x2+4x+1-(4x2+4x+x+1)=4x2+4x+1-4x2-4x-x-1=-x. 初中数学培优课堂 9.(2024陕西中考A卷)先化简,再求值:(x+y)2+x(x-2y),其中x=1,y =-2. 解析　原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2, 当x=1,y=-2时,原式=2×12+(-2)2=6. 初中数学培优课堂 10.设 是一个两位数,其中a是十位上的数字(1≤a≤9).例如, 当a=4时, 表示的两位数是45. 【尝试】 ①当a=1时,152=225=1×2×100+25; ②当a=2时,252=625=2×3×100+25; ③当a=3时,352=1 225=__________; …… 【归纳】 =__________. 【论证】请证明【归纳】中所得到的结论. 初中数学培优课堂 解析　【尝试】由①②可得352=1 225=3×4×100+25. 【归纳】通过观察可知, =a(a+1)×100+25=100a(a+1)+25. 【论证】证明:因为 =(10a+5)2=100a2+100a+25, 100a(a+1)+25=100a2+100a+25, 所以 =100a(a+1)+25. 初中数学培优课堂   11.【新考向·代数推理】(2025江苏南京外国语学校期中,★ ★☆)两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的  ( ) A.和　　　    B.差　　　    C.积　　　    D.商     A     解析　设这两个连续自然数分别为n,n+1,其中n≥0, 则|n2-(n+1)2|=|n2-n2-2n-1|=2n+1=n+n+1, 即两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和. 故选A. 初中数学培优课堂 12.【学科特色·换元法】(2025江苏南京联合体期中,★★☆) 已知(x-2 021)2+(x-2 025)2=34,则(x-2 023)2的值是 ( ) A.5　　　    B.9　　　    C.13　　　    D.17     C     解析　令t=x-2 023,则原式可化简为(t+2)2+(t-2)2=34,则t2+4t+4 +t2-4t+4=34,解得t2=13,即(x-2 023)2=13.故选C. 方法解读　对结构比较复杂的式子,若把其中某些部分看成 一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化. 初中数学培优课堂 13.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏徐州期末,★★☆) 若关于x的二次三项式4x2+mx+36是完全平方式,则m的值为 ________. ±24     解析　∵二次三项式4x2+mx+36是完全平方式,4x2+mx+36= (2x)2+mx+62,∴m=±2×2×6,∴m=±24.故答案为±24. 方法解读　互为相反数的两个数的平方相等,故完全平方式 中给出平方项求乘积项时应注意分类讨论. 初中数学培优课堂 14.【学科特色·代入法】(2025江苏宿迁宿城期中,★★★)已 知2a+b=6,则代数式4a2-b2+12b的值为__________.     36     解析　∵2a+b=6,∴b=6-2a, ∴4a2-b2+12b=4a2-(6-2a)2+12(6-2a)=4a2-4a2+24a-36+72-24a= 36.故答案为36. 方法解读　本题将条件中的等式2a+b=6进行变形,转化成用 含a的式子表示b的形式,代入待求代数式中消掉字母b,从而化 简代数式. 初中数学培优课堂 15.【新考向·规律探究题】(2025安徽合肥四十五中三模,★ ★☆)观察下列等式: ① =1+1;② =1+2; ③ =1+3;④ =1+4; ⑤ =1+5;…… 初中数学培优课堂 (1)请按以上规律写出第⑥个等式:_________. (2)猜想并写出第 个等式:_________,并证明猜想的正确性. (3)利用上述规律,计算: + + +…+  =_______. 初中数学培优课堂 解析    (1) =1+6. (2)第 个等式为 =1+n.证明如下: ∵ = = =1+n, ∴等式成立. (3)4 950. 详解:原式=(1+1-1)+(1+2-1)+(1+3-1)+…+(1+99-1)=1+2+3+… +99= =4 950. 初中数学培优课堂   16.【新课标·抽象能力】(2025江苏连云港东海期中)【阅读思考】 我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思 想,其中谈到“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百 般好,隔离分家万事休.”请你利用“数形结合”的思想解决 以下问题:图1是一个长为4b,宽为a的长方形,沿图中虚线用剪 刀平均分成四个小长方形,然后用四个小长方形拼成如图2所 示的图形. 初中数学培优课堂        【归纳证明】观察图2中阴影部分面积的不同计算方法,请你 写出(a+b)2,(a-b)2,ab三者之间的一个等量关系式:___ _____,并说明理由. 【理解内化】应用【归纳证明】中的结论,尝试解决以下问题: 已知2m+n=10,mn=7,求(n-2m)2的值. 初中数学培优课堂 【迁移应用】我市某公园有一块空地,如图3所示,其中四边形 ABCD,四边形MEDQ,四边形MFNP,四边形DGNH都是正方形, 为了改善环境,增加绿化效果,吸引更多的市民前来观光游览, 公园管理员决定在每块区域都种上不同的花草.经测量,AE= 50 m,CG=150 m,正方形MFNP的面积=30 000 m2,求图中阴影区 域的面积. 初中数学培优课堂 解析　【归纳证明】(a+b)2=(a-b)2+4ab. 理由:题图2从整体上看是一个边长为a+b的正方形,面积为(a+ b)2,中间阴影小正方形的边长为a-b,面积为(a-b)2,4个小长方形 的面积和为4ab,所以有(a+b)2=(a-b)2+4ab. 【理解内化】∵2m+n=10,mn=7, ∴(n-2m)2=(n+2m)2-4n·2m=(n+2m)2-8mn=100-56=44. 【迁移应用】设DE=a m,EF=b m,则阴影区域的面积为 2ab m2,正方形MFNP的面积为(a+b)2=30 000 m2, 初中数学培优课堂 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=DC,即50+a=150+b, ∴a-b=100, ∵(a+b)2=(a-b)2+4ab,∴30 000=10 000+4ab, ∴2ab=10 000, ∴阴影区域的面积为10 000 m2. 初中数学培优课堂 $