8.4乘法公式（第1课时完全平方公式）（教学课件）数学新教材苏科版七年级下册

8.4.1 乘方公式 ——完全平方公式 第八章 整式乘法 学 习 目 标 1 2 理解完全平方公式的几何背景和推导过程 能借助口诀牢记完全平方公式，并熟练运用于计算 完全平方公式 新知探究 如何计算右图的面积？ 问 题 如果把图中看成1个大正方形，那么它的面积为( a + b )2。 如果把图中看成是由2个小长方形和2个小正方形组成的，那么它的面积为a2 + 2ab + b2。 由此得到( a + b )2 = a2 + 2ab + b2。 a b a b 新知探究 一般地，对于任意的a，b，可以得到 ( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 多项式乘多项式法则 合并同类项 新知探究 ( a - b )2 = [ a + ( - b )2 ] = a2 + 2 · a · ( - b ) + ( - b )2 = a2 - 2ab + b2 新知探究 知识要点 完全平方公式： ( a +b )2 = a2 + 2ab + b2； ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2。 口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中央(符号随中央)。 如何记忆 平方 平方 积的2倍 符号跟随 新知探究 完全平方公式有什么特点？ 讨 论 解：① 左边是两个数的和(或差)的平方； ② 右边是一个三项式，其中首尾两项分别是两数的平方，都为正， 中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同。 典例分析 解：( 1 ) ( 5 + 3p )2 = 52 + 2 × 5 · 3p + ( 3p )2 = 25 + 30p + 9p2； ( 2 ) ( 2x - 7y )2 = ( 2x )2 - 2 · 2x · 7y + ( 7y )2 = 4x2 - 28xy + 49y2； 典例1 用完全平方公式计算： ( 1 ) ( 5 + 3p )2； ( 2 ) ( 2x - 7y )2； ( 3 ) ( - 2a - 5 )2。 ( 5 + 3p )2 ( a + b )2 典例分析 ( 3 ) ( - 2a - 5 )2 = [ ( - 2a ) + ( - 5 ) ]2 = ( -2a )2 + 2 · ( -2a ) · ( -5 ) + ( -5 )2 = 4a2 + 20a + 25。 典例1 用完全平方公式计算： ( 1 ) ( 5 + 3p )2； ( 2 ) ( 2x - 7y )2； ( 3 ) ( - 2a - 5 )2。 方法技巧 解题关键： 牢记完全平方公式。 新知探究 知识要点 注意： 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式。 新知探究 1. ( a + 1 )2 = a2 + 2a + 1， ( a - 1 )2 = a2 - 2a + 1； 2. ( a + 2 )2 = a2 + 4a + 4，( a - 2 )2 = a2 - 4a + 4； 3. ( a + 3 )2 = a2 + 6a + 9，( a - 3 )2 = a2 - 6a + 9； 4. ( a + 4 )2 = a2 + 8a + 16，( a - 4 )2 = a2 - 8a + 16； …… 练 习 a2 + 2a + 1 a2 - 2a + 1 a2 + 4a + 4 a2 - 4a + 4 a2 + 6a + 9 a2 - 6a + 9 a2 + 8a + 16 a2 - 8a + 16 典例分析 解：1992 = ( 200 - 1 )2 = 2002 - 2 × 200 × 1 + 12 = 40 000 - 400 + 1 = 39 601。 典例2 用完全平方公式计算：1992。 方法技巧 解题关键： 将一个数的平方，转化成两个数的和或差的平方。 新知探究 1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由。 2. 计算( a + b + c )2。 探 究 解：( 1 ) 一定是奇数，理由如下： 设奇数为2k + 1，其中k为整数， 则( 2k + 1 )2 = ( 2k )2 + 2 · 2k · 1 + 12 = 4k2 + 4k + 1， ∵k为整数，∴4k2 + 4k为偶数， ∴4k2 + 4k + 1为奇数，即( 2k + 1 )2为奇数。 新知探究 1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由。 2. 计算( a + b + c )2。 探 究 ( 2 ) 法一：几何法： 如图，大正方形的面积为( a + b + c )2， 3个小正方形与6个小长方形的面积之和为a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca， ∴( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 a c a c b b 新知探究 1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由。 2. 计算( a + b + c )2。 探 究 ( 2 ) 法二：多项式乘多项式的运算法则： 原式 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 新知探究 1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由。 2. 计算( a + b + c )2。 探 究 ( 2 ) 法三：公式法： 原式 = [ ( a + b ) + c ]2 = ( a + b )2 + 2 · ( a + b ) · c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 新知探究 知识要点 拓展公式： ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 题型探究 完全平方公式的几何背景 题型一 【例1】如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（　　） A．a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) B．a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 C．a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 D．( a + b )2 - ( a - b )2 = 4ab 解：甲图中阴影部分的面积为：a2 - 2ab + b2， 图乙中阴影部分的面积为：( a - b )2， ∴a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2。 C 题型探究 【例2-1】下列计算正确的是（　　） A．a + a2 = a3 B．( a - 5 )2 = a2 - 10a + 25 C．a8 ÷ a4 = a2 D．( -2ab2 )3 = 8a3b6 利用完全平方公式计算 题型二 B 题型探究 【例2-2】计算： ( 1 ) ( -3x - 4y )2； ( 2 ) ( x - y - z )2。 利用完全平方公式计算 题型二 解：( 1 ) ( -3x - 4y )2 = ( 3x + 4y )2 = ( 3x )2 + 2 · ( 3x ) · ( 4y ) + ( 4y )2 = 9x2 + 24xy + 16y2。 题型探究 【例2-2】计算： ( 1 ) ( -3x - 4y )2； ( 2 ) ( x - y - z )2。 利用完全平方公式计算 题型二 ( 2 ) ( x - y - z )2 = [ x + ( -y ) + ( -z ) ]2 = x2 + ( -y )2 + ( -z )2 + 2 · x · ( -y ) + 2 · ( -y ) · ( -z ) + 2 · ( -z ) · x = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx。 题型探究 【例3】计算： ( 1 ) 1 0032； ( 2 ) 9 9982。 利用完全平方公式巧算 题型三 解：( 1 ) 1 0032 = ( 1 000 + 3 )2 = 10002 + 2 × 1000 × 3 + 32 =1 000 000 + 6 000 + 9 =1 006 009； ( 2 ) 9 9982 = ( 10 000 - 2 )2 = 10 0002 - 2 × 10 000 × 2 + 22 = 100 000 000 - 40 000 + 4 = 99 960 004。 题型探究 【例4-1】已知( 3x + a )2 = 9x2 + bx + 4，则b的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 根据完全平方公式求参 题型四 解：∵( 3x + a )2 = 9x2 + 6ax + a2 = 9x2 + bx + 4， ∴a2 = 4，b = 6a， ∴a = ±2，b = ±12。 D 题型探究 【例4-2】若4y2 - my + 16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．-8 B．±8 C．16 D．±16 根据完全平方公式求参 题型四 解：∵4y2 - my + 16可以配成一个完全平方公式， ∴- my = ± 2 · ( 2y ) · 4， 解得：m = ±16。 D 题型探究 【例5】先化简，再求值：( a + b )2 - ( a - b)2 + 5a ( a - b )，其中a = 3，b = 2。 根据完全平方公式化简求值 题型五 解：( a + b )2 - ( a - b)2 + 5a ( a - b ) = a2 + 2ab + b2 - ( a2 - 2ab + b2 ) + 5a2 - 5ab = 4ab + 5a2 - 5ab = 5a2 - ab， 当a = 3，b = 2时，原式 = 5 × 9 - 3 × 2 = 39。 【小结论】 ( a + b )2 - ( a - b)2 = 4ab。 课堂小结 完全平方公式： ( a +b )2 = a2 + 2ab + b2；( a - b )2 = a2 - 2ab + b2。 口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中央(符号随中央)。 注意：公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式。 拓展公式： ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 感谢聆听! $