专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，直线，则 度． 例2（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 例5（24-25下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例6（24-25七年级下·江西南昌·期中）（1）【问题发现】①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 1．（2025·山西·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，图案和学生举手的姿势十分相似，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，．若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则 ．    11．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，，则 度． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）同一平面内的两条直线相交或平行，下面我们就来研究其中某种位置关系中角所存在的几种数量关系． (1)问题探究1：如图①，若，点在、之外，则有，又因为是的外角，所以，所以，将点移到、之间，如图②，以上结论是否成立？请说明理由． (2)问题探究2：如图③，直线与相交于点，则、、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (3)根据（2）的结论直接写出图④中______． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线． (1)如图，求证：． (2)如图，点在、之间，连接、，平分，平分，，求与之间的数量关系． (3)如图，点为直线，之间一点，且在内部，点为直线上一点，连接，，，当恒成立时， ______． 14．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，直线经过点A，，你能说明三角形的内角和是吗？ 【方法运用】 （2）①如图2，已知，，交于点E，，求的度数． ②如图3，若，点P在，的外部，请直接写出之间的关系． 15．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在内部，探究的关系．的数量关系是　　　　　　． (2)如图2，若，点P在外部，之间存在什么样的数量关系？请你补全下面的证明过程． 过点P作．　　　　　　． ，∴　　　　　　　　　　　　． ，∴　　　　　　． (3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：已知：如图3，在三角形中，试说明：． 16．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）（1）如图①②③，，点E分别在和之间，的上方，的下方，三个图中和之间的数量关系分别是什么？请直接写在下面的横线上：图①中__________；图②中__________；图③中__________． （2）如图④，，请猜想图中和之间的数量关系，并补充完成如下的证明过程． 猜想：______________． 证明：过点E作． （3）如图⑤⑥，，平分，平分，设，请分别直接写出两个图中α和的数量关系：图⑤中__________；图⑥中__________． 17．（24-25七年级下·四川成都·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】（1）若，在 ，，中，的“2系数补角”是________； 【初步认识】（2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】②如图2，连接 ．若H为平面内一动点（点H不在直线上）， 与两个角的三等分线（靠近）交于点M．若，，是 的“3系数补角”，直接写出 的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 18．（24-25下·内蒙古·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．    ①读下列过程，并填写理由． 解：猜想． 理由：过点作．∴．（___________） ∵（已知），（辅助线的作法）．∴．（___________） ∴．∴．∴． ②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵，∴，∴，故选：D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，直线，则 度． 【答案】 【详解】解：如图，∵直线，∴， ∵是三角形的外角，∴，故答案为： 例2（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，， ，，，故选：C． 例3（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，， ，，，故选：B． 例4（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 【答案】图①：结论：；图②，结论：；图③：结论：；图④，结论：.证明见解析 【详解】解：如图①，结论：，理由如下： 过点P作，∵， ∴， ∴，，∴，∴； 如图②，结论：，理由如下： 如图，过点P作，∵， ∴， ∴，，∴； 如图③：结论：，理由如下： 如图，过点P作，∵， ∴， ∴，，∴； 如图④，结论：，理由如下： 如图，过点P作，∵， ∴，∴，， 例5（24-25下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于F，如图所示：    ∵，，∴， ∵，∴， ∴，故选：C． 例6（24-25七年级下·江西南昌·期中）（1）【问题发现】①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【详解】（1）①证明：过点作，则， ，，，，． ②过点作，则， ，，，．故答案为：． （2）如图， 的角平分线与的角平分线交于点设，， 则，，，，， ，，即， ，由（1）知， ． （3）        由（1）可得， ，， 设，，则，， ∴，，， ∴，． 1．（2025·山西·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，∴， ∵，∴，故选：D ． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，图案和学生举手的姿势十分相似，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点，如图所示： 已知，，， ，， ，故答案为：A． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∴，故选：C． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，．若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴，故选：C． 5．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，∴．故选：C 6．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴．故选：C 7．（25-26七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 8．（25-26上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，， ∴．故选：B 9．（2025·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 10．（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则 ．    【答案】/度 【详解】解： 是的外角， 故答案为： 11．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，，则 度． 【答案】30 【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示： ∵，∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°， 又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，∴∠BCD=75°-45°=30°，故答案：30． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）同一平面内的两条直线相交或平行，下面我们就来研究其中某种位置关系中角所存在的几种数量关系． (1)问题探究1：如图①，若，点在、之外，则有，又因为是的外角，所以，所以，将点移到、之间，如图②，以上结论是否成立？请说明理由． (2)问题探究2：如图③，直线与相交于点，则、、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (3)根据（2）的结论直接写出图④中______． 【答案】(1)不成立，理由见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）解：不成立，理由如下：过点作． ∵，∴．∴，． ∴，即，∴原结论不成立． （2）解：，证明如下：连接并延长到． ∵是的外角，∴． ∵是的外角，∴． ∴，即． （3）解：根据（2）得， ∵，， ∴，故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线． (1)如图，求证：． (2)如图，点在、之间，连接、，平分，平分，，求与之间的数量关系． (3)如图，点为直线，之间一点，且在内部，点为直线上一点，连接，，，当恒成立时， ______． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：过作，如图： ，，，，； （2）解：延长交于，交于，如图：，， ，， ， ，， 平分，平分，，， ， ，； （3）解：设交于，如图： ，，，， ， ，，， ，， ，，．故答案为：． 14．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，直线经过点A，，你能说明三角形的内角和是吗？ 【方法运用】 （2）①如图2，已知，，交于点E，，求的度数． ②如图3，若，点P在，的外部，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【详解】（1），，， ； （2）①如图，过点作，则， ，，， 即 ； ②， ． 15．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在内部，探究的关系．的数量关系是　　　　　　． (2)如图2，若，点P在外部，之间存在什么样的数量关系？请你补全下面的证明过程． 过点P作．　　　　　　． ，∴　　　　　　　　　　　　． ，∴　　　　　　． (3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：已知：如图3，在三角形中，试说明：． 【答案】(1)(2)；；；(3)见解析 【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为．    ∵，，∴，∴，． ∵，∴．故答案为：； （2）证明：过点P作，． ，， ． ，． 故答案为：，，，； （3）证明：过点作，∴，． ∵，∴． 16．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）（1）如图①②③，，点E分别在和之间，的上方，的下方，三个图中和之间的数量关系分别是什么？请直接写在下面的横线上：图①中__________；图②中__________；图③中__________． （2）如图④，，请猜想图中和之间的数量关系，并补充完成如下的证明过程． 猜想：______________． 证明：过点E作． （3）如图⑤⑥，，平分，平分，设，请分别直接写出两个图中α和的数量关系：图⑤中__________；图⑥中__________． 【答案】（1）；；；（2），证明见解析；（3）； 【详解】解：图①中过点E作，如图所示：则， ∵，，∴，∴，∴； 图②中，∵，∴，∵，∴； 图③中，∵，∴，∵，∴； （2）猜想：； 证明：过点E作，如图所示：则， ∵，，∴，∴， ∴； （3）图⑤中，根据解析（1）可知：，， ∵平分，平分，∴，， ∴，∵，∴； 图⑥中，根据解析（1）可知：， ∵平分，平分，∴，， ∴，根据解析（2）可知：， ∴，∵，∴． 17．（24-25七年级下·四川成都·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】（1）若，在 ，，中，的“2系数补角”是________； 【初步认识】（2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】②如图2，连接 ．若H为平面内一动点（点H不在直线上）， 与两个角的三等分线（靠近）交于点M．若，，是 的“3系数补角”，直接写出 的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）①；②或或或 【详解】解：（1） 设 的“2系数补角”是， ∵ ，∴ ，即 ，解得，∴的“2系数补角”是； （2）设 ，如图 设与相较于点 ∵， ∴， 即 ∵是的“6系数补角”∴，即 联立 得 解得： 即 ②∵是的“3系数补角”∴∴ 如图；与两个角的三等分线交于点M ∴， ∵ 过点作 ∵∴则 ∴ ∴ ∴ 如图：过点作 ∵∴则 ∴ ∴ 如图：过点作 ∵∴则 ∴∴ ∴ 如图；过点作 ∵∴ 则 ∴ ∴ 如图：过点作 ∵∴ 则∴ ∴ 如图；过点作 ∵∴ 则 ∴ ∴ 综上所述，的大小为或或或． 18．（24-25下·内蒙古·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．    ①读下列过程，并填写理由． 解：猜想． 理由：过点作．∴．（___________） ∵（已知），（辅助线的作法）．∴．（___________） ∴．∴．∴． ②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由． ③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由． 【答案】①两直线平行，同旁内角互补；平行线公理的推论②，理由见详解③ 【详解】解：①猜想． 理由：过点作．∴．（两直线平行，同旁内角互补）    ∵（已知），（辅助线的作法）．∴．（平行线公理的推论） ∴．∴．∴． ②，理由：过点作． ∵，∴．∴，．∴． ③如图（3），    理由：∵，∴，∵，∴，即． 如图（4），， 理由：∵，∴，∵，∴，即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $