专项素养巩固训练卷(八) 三角形的内角与外角的常考模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

这是一份初中数学同步培优课件，聚焦三角形内角与外角常考模型，包含内角平分线与外角平分线夹角、飞镖、8字三大模型，通过例题解析和模型解读构建学习支架，助力期末专项巩固。 资料特色突出，以模型为核心，通过飞镖模型求角度、8字模型证角度关系等实例，培养几何直观与推理能力，渗透模型意识，帮助学生掌握解题规律，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率与学生解题能力。初中学生处于几何推理发展关键期，九年级学生需重点掌握模型应用应对升学考试，该资料可针对性提升其逻辑推理与问题解决能力。

专项素养巩固训练卷(八)　三角形的内角与外角的常考模型 初中同步培优卷 模型1 内角平分线与外角平分线的夹角模型 1. (2024河北保定曲阳期末,★★☆)如图,BE,CF都是△ABC的 角平分线,且∠BDC=130°,则∠A= (         ) A. 50°　　    B. 60°　　    C. 70°　　    D. 80° D 初中同步培优卷 解析　因为BE,CF都是△ABC的角平分线, 所以∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠DBC+∠BCD), 因为∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD), 所以∠A=180°-2(180°-∠BDC)=2∠BDC-180°=2×130°- 180°=80°,故选D. 初中同步培优卷 2. 【学科特色·教材变式P141T11】(2025河北秦皇岛卢龙期 末,★★☆)如图,∠EBC和∠FCB的平分线相交于点D,设∠BDC =α,那么∠A等于 (         )   A. 90°-α　　 B. 90°- α　　   C. 180°- α　　  D. 180°-2α D 初中同步培优卷 解析　因为∠EBC和∠FCB的平分线相交于点D,所以∠DBC +∠DCB= (∠CBE+∠BCF)= (∠A+∠ACB+∠BCF)= (∠A+ 180°),所以α=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (180°+∠A)= 90°- ∠A,所以∠A=180°-2α.故选D. 初中同步培优卷 3. (2025河北廊坊三河期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=α. ∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC与∠A1CD 的平分线相交于点A2,得∠A2,……,∠A2 011BC与∠A2 011CD的平 分线相交于点A2 012,得∠A2 012,则∠A2 012=_________. 初中同步培优卷 解析　因为∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1, 所以∠A1BC= ∠ABC,∠A1CD= ∠ACD, 因为∠A+∠ABC=∠ACD,∠A1+∠A1BC=∠A1CD, 所以∠A1+∠A1BC=∠A1+ ∠ABC= (∠A+∠ABC), 整理得,∠A1= ∠A= , 同理可得,∠A2= ∠A1= × = ,……, 所以∠A2 012= .故答案为 . 初中同步培优卷 模型解读 与三角形内外角平分线有关的常见模型如下表(表中的三个 图中均有∠1=∠2,∠3=∠4). 初中同步培优卷 名称 图形 结论 两内角平分线模型   ∠I=90°+ ∠A 两外角平分线模型   ∠O=90°- ∠A 内外角平分线模型   ∠P= ∠A 初中同步培优卷 模型2 飞镖模型 4. (★☆☆)如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等 于 (         ) A. 120°　　    B. 115°　　    C. 110°　　    D. 105° B 解析　因为∠AFB=∠AEB+∠B,∠AEB=∠A+∠C,所以∠AFB =∠A+∠B+∠C=115°,所以∠DFE=∠AFB=115°.故选B. 初中同步培优卷 模型解读 飞镖模型如下:   结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C. 初中同步培优卷 5. (★★☆)如图,∠BGF=140°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F的度数为____________.     280°     解析　易得∠A+∠B+∠F=∠BGF,∠C+∠D+∠E=∠EGC,因 为∠BGF=∠EGC=140°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 140°×2=280°.故答案为280°. 初中同步培优卷 6. (★★☆)如图,∠ABC=100°,∠DEF=130°,则∠A+∠C+∠D +∠F的度数为____________.     230°     初中同步培优卷 解析　如图,连接AD,   易得∠ABC=∠3+∠5+∠6,∠DEF=∠1+∠2+∠4,所以∠BAF +∠C+∠CDE+∠F=∠4+∠5+∠6+∠2+∠3+∠1=(∠3+∠5+ ∠6)+(∠1+∠2+∠4)=∠ABC+∠DEF=100°+130°=230°. 初中同步培优卷 7. (2025江苏镇江丹阳期末,★★☆)【模型认识】如图①,该 图形长得像一个飞镖,故叫作“飞镖”模型. 【初步探索】如图①,已知∠1=40°,∠2=25°,∠3=33°,求∠4 的度数. 方法借鉴:不妨延长BC交AD于点E,将飞镖分解成△ABE和 △CDE,… 初中同步培优卷 请你根据方法借鉴求∠4的度数.(可标注∠5,∠6等) 【归纳结论】∠1,∠2,∠3和∠4的数量关系是_______. 【深入探究】如图②,若∠5=46°,∠6=96°,∠1=∠2且∠3=∠4, 求∠7的度数. 初中同步培优卷 解析　【初步探索】如图,延长BC交AD于点E,   因为∠CED是△ABE的外角,∠4是△CDE的外角, 所以∠CED=∠1+∠2,∠4=∠CED+∠3, 所以∠4=∠1+∠2+∠3=40°+25°+33°=98°. 【归纳结论】∠4=∠1+∠2+∠3. 初中同步培优卷 【深入探究】根据【归纳结论】可知,∠6=∠5+∠1+∠3,所 以∠1+∠3=∠6-∠5=96°-46°=50°,因为∠1=∠2,∠3=∠4, 所以∠ABD+∠ACD=2(∠1+∠3)=100°,所以∠7=∠5+∠ABD+∠ACD=46°+100°=146°. 初中同步培优卷 模型3     8字模型 8. (2025河北沧州黄骅月考,★★☆)8字模型是初中数学中常 见模型之一,掌握了这种模型,给同学们解答几何题带来很大 的便捷.(参考知识:四边形的内角和为360°) (1)初识模型:如图①所示的是我们常见的8字模型图,它的结 论是∠A+∠B=∠D+∠E,请你说明理由. (2)模型求解:如图②,线段EF在四边形ABCD内部,连接BE,CF 相交于点O,请借助8字模型的结论求∠A+∠ABE+∠DCF+ ∠D+∠E+∠F的度数. 初中同步培优卷 (3)构造模型:如图③所示的是我们常见的“五角星”,请你添 加辅助线,借助8字模型的结论求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. (4)模型应用:我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类 似于“五角星”“六角星”“七角星”“八角星”等,如图 ④,“七角星ABCDEFG”的七个内角和:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=______°;猜测“n角星”的n个内角的和为_________.(用含n的式子表示) 初中同步培优卷 解析    (1)因为∠A+∠ACB+∠B=180°,∠D+∠E+∠DCE= 180°,∠DCE=∠ACB,所以∠A+∠B=∠D+∠E. (2)由(1)可得,∠E+∠F=∠EBC+∠FCB, 所以∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F=∠A+∠ABE+∠ DCF+∠D+∠EBC+∠FCB=360°. (3)如图1,连接CD, 图1 初中同步培优卷 由(1)可得,∠B+∠E=∠1+∠2, 因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°, 所以∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°. (4)如图2,连接CF, 图2 初中同步培优卷 由(1)可得,∠FCE+∠CFD=∠FDE+∠CED, 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =∠1+∠ACF+∠AFC+(∠2+∠7+∠4+∠5+∠FDE+∠CED) =540°, 因为“五角星”的内角和=180°,“七角星”的内角和=3× 180 °, 所以“n角星”的n个内角的和=(n-4)×180°=(180n-720)°, 故答案为540;(180n-720)°. 初中同步培优卷 模型解读 条件:如图所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.   结论:∠A+∠D=∠B+∠C. 初中同步培优卷 $