专项素养巩固训练卷(四) 平行线中常见的四种几何模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦平行线中铅笔、猜踪、靴子、鹰嘴四种几何模型，通过例题解析、模型解读构建学习支架，涵盖基础到综合难度题目，精选各地月考及期末试题，助力学生系统掌握几何模型应用。 资料特色突出，以模型为核心整合知识，通过作辅助线（如过点作平行线）推导角度关系，培养数学眼光中的几何直观与空间观念，结合教材变式题和地方期末真题，强化数学思维的推理能力与模型观念，帮助学生提升解题技巧以应对期末及升学考试，为教师提供结构化教学资源，高效开展期末复习。

专项素养巩固训练卷(四)　 平行线中常见的四种几何模型 初中同步培优卷 模型1 铅笔模型 1. (★☆☆)如图,已知AB∥CD,∠AEC=90°,则∠A与∠C的度 数和为     ( )   A. 180°　　    B. 210° C. 270°　　    D. 300° C 初中同步培优卷 解析　如图,过点E作EF∥AB, 因为EF∥AB,所以∠A+∠AEF=180°, 因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD, 所以∠C+∠CEF=180°, 所以∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°, 即∠A+∠AEC+∠C=360°, 因为∠AEC=90°,所以∠A+∠C=270°.故选C. 初中同步培优卷 模型解读 如图,如果AB∥CD,那么∠A+∠E+∠C=360°. 初中同步培优卷 2. (2024河北沧州青县月考,★★★)如图,已知AB∥CD,若按图 中规律继续下去,则∠1+∠2+…+∠n的度数为 ( )   A. n·180°　　     B. 2n·180° C. (n-1)·180°　　    D. (n-1)2·180° C 初中同步培优卷 解析　第1个图形中∠1+∠2=180°,第2个图形中∠1+∠2+∠3 =2×180°,第3个图形中∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°,……,在 最后一个图形中∠1+∠2+…+∠n=(n-1)·180°.故选C. 初中同步培优卷 模型2 猪蹄模型 3. 【学科特色·教材变式P72T16】(★★☆)如图,AB∥CD,且 ∠BAP=60°-α,∠APC=45°+α,∠DCP=30°-α,则α= ( ) A. 10°　　    B. 15°　　    C. 20°　　    D. 30° B 初中同步培优卷 解析　如图,过点P作PM∥AB, 所以AB∥PM∥CD,所以∠BAP=∠APM,∠DCP=∠MPC, 所以∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP, 所以45°+α=(60°-α)+(30°-α), 解得α=15°.故选B. 初中同步培优卷 4. (2025湖北恩施州期末,★★☆)如图,已知AB∥CD,BE和DF 分别平分∠ABF和∠CDE,若∠ABF=60°,∠CDE=50°,则∠E 和∠F的大小关系为 ( )   A. ∠E>∠F　　    B. ∠E<∠F C. ∠E=∠F　　    D. 无法判断 B 初中同步培优卷 解析　因为BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,∠ABF=60°, ∠CDE=50°,所以∠ABE=∠FBE= ∠ABF=30°,∠CDF= ∠EDF= ∠CDE=25°, 如图,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥AB, 初中同步培优卷 因为AB∥CD,所以EG∥FH∥AB∥CD,所以∠BEG=∠ABE= 30°,∠BFH=∠ABF=60°,∠CDF=∠HFD=25°,∠CDE= ∠DEG=50°,所以∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,∠BFD=∠BFH+∠HFD=85°,所以∠BED<∠BFD.故选B. 初中同步培优卷 模型解读 如图,如果AB∥CD,那么∠E=∠A+∠C. 初中同步培优卷 5. (2025湖北天门期末,★★☆)如图,AB∥CD,∠1= ∠FDE,∠2=  ∠ABE,则∠E∶∠F等于 ( ) A. 2∶1　　    B. 3∶1　　    C. 3∶2　　    D. 4∶3 B 初中同步培优卷 解析　如图,过点F作FN∥CD,过点E作EM∥CD, 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥FN∥EM, 所以∠DFN=∠1,∠BFN=∠2,∠3=∠CDE,∠4=∠ABE, 所以∠DFB=∠DFN+∠BFN=∠1+∠2,∠DEB=∠3+∠4= 初中同步培优卷 ∠ CDE+∠ABE, 因为∠1= ∠FDE,所以∠1= ∠CDE, 所以∠DFB=∠1+∠2= ∠CDE+ ∠ABE= (∠CDE+∠ABE) = ∠DEB, 所以∠DEB=3∠DFB,即∠DEB∶∠DFB=3∶1. 初中同步培优卷 6. (2024山东潍坊期中,★★★)如图,已知AB∥CD,线段EF分 别与AB,CD相交于点E,F. (1)如图①,已知∠A=30°,∠APC=80°,求∠C的度数. (2)如图②,当动点P在线段EF上运动时(不与E,F两点重合), ∠A,∠APC与∠C之间有何数量关系?并说明理由. (3)当动点P在射线EF(线段EF除外)上运动时,(2)中的结论是 否仍然成立?如果不成立,请直接写出∠A,∠APC与∠C之间 的数量关系. 初中同步培优卷  ①     ② 初中同步培优卷 解析    (1)如图①,过P作PO∥AB, 因为AB∥CD,所以AB∥PO∥CD, 所以∠APO=∠A=30°,∠C=∠CPO, 因为∠APC=80°,所以∠C=∠CPO= ∠APC-∠APO=80°-30°=50°. 图① 初中同步培优卷 图② (2)∠A+∠C=∠APC. 理由:如图②,过P作PQ∥AB, 因为AB∥CD,所以AB∥PQ∥CD, 初中同步培优卷 所以∠APQ=∠A,∠C=∠CPQ, 所以∠APC=∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C. (3)不成立,∠A-∠C=∠APC. 理由:如图③,过P作PM∥AB,   图③ 初中同步培优卷 因为AB∥CD,所以AB∥PM∥CD, 所以∠APM=∠A,∠C=∠CPM, 所以∠A-∠C=∠APM-∠CPM=∠APC, 即∠A-∠C=∠APC. 初中同步培优卷 模型3 靴子模型 7. (2024山东临沂期末,★★☆)如图,已知CD∥BE,则∠2+∠3- ∠1的度数为 ( )   A. 90°　　    B. 120°　　    C. 150°　　    D. 180° D 初中同步培优卷 解析　如图,过点A作AF∥BE, 所以∠BAF=∠3, 因为∠CAF=∠BAF-∠1,所以∠CAF=∠3-∠1, 因为CD∥BE,AF∥BE, 所以AF∥CD,所以∠CAF+∠2=180°, 所以∠3-∠1+∠2=180°,即∠2+∠3-∠1=180°,故选D. 初中同步培优卷 模型解读 如图,如果AB∥CD,那么∠E=∠A-∠C. 初中同步培优卷 模型4 鹰嘴模型 8. (2025四川达州期末,★★☆)如图,AB∥CD,∠DCE的平分 线CG的反向延长线和∠ABE的平分线BF交于点F,∠F=40°, 则∠E的度数为_________. 　100°     初中同步培优卷 解析　如图,过点E作EP∥AB,过点F作FH∥AB, 因为AB∥CD,所以EP∥FH∥AB∥CD, 因为BF平分∠ABE,CG平分∠ECD, 所以设∠ABF=∠EBF=α,∠DCG=∠ECG=β, 初中同步培优卷 因为EP∥FH∥AB∥CD, 所以∠ABF=∠BFH,∠DCG=∠CFH,∠ECD=∠CEP, 所以∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β=40°, 所以∠BEC=∠BEP+∠CEP=180°-∠ABE+∠ECD=180°-2α+ 2β=180°-2(α-β)=180°-2×40°=100°.故答案为100°. 初中同步培优卷 9. (★★★)已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上. (1)如图①,点P在AB的上方,问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何 数量关系?请说明理由. (2)如图②,在(1)的条件下,已知∠EPF=60°,∠PEA的平分线EG 与∠PFC的平分线FG交于点G,直接写出∠G的度数. ① ② 初中同步培优卷 解析    (1)∠PFC=∠PEA+∠EPF. 理由:如图①,过P点作PN∥AB, 图① 因为AB∥CD,所以AB∥PN∥CD, 初中同步培优卷 所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC, 所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF. (2)30°.详解:如图②,过点G作AB的平行线GH, 图② 初中同步培优卷 因为GH∥AB,AB∥CD,所以GH∥AB∥CD, 所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG, 因为∠PEA的平分线EG与∠PFC的平分线FG交于点G, 所以∠HGE=∠AEG= ∠AEP,∠HGF=∠CFG= ∠PFC, 由(1)可知,∠PFC=∠EPF+∠AEP, 所以∠HGF= (∠EPF+∠AEP), 所以∠EGF=∠HGF-∠HGE= (∠EPF+∠AEP)- ∠AEP=  初中同步培优卷 ∠EPF, 因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°. 模型解读 如图,如果AB∥CD,那么∠E=∠C-∠A. 初中同步培优卷 $