第十章 三角形 素养综合测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的概念、分类、性质及应用，通过选择、填空、解答题等题型将三角形的边、角关系，中线、角平分线、高的性质，面积计算及折叠、规律探究等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层设计（★☆☆到★★★）和新考向题（如规律探究、新定义“倍角三角形”），培养学生几何直观与推理意识，如通过折叠问题分析面积比，提升空间观念。这种设计让学生巩固知识，教师可精准教学，提高复习效率。

第十章　素养综合测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选 项是符合题意的) 1. (★☆☆)如图,以AB为边的三角形有 ( ) A. 3个　　    B. 4个　　    C. 5个　　    D. 6个 B 解析　以AB为边的三角形有△ABO,△ABC,△ABF,△ABE,共 4个,故选B. 初中同步培优卷 2. (★☆☆)三角形的一种分类如图所示,则A表示的是( ) A. 锐角三角形　　    B. 直角三角形 C. 钝角三角形　　    D. 三边都不相等的三角形 D 解析　三角形按边分为三边都不相等的三角形,等腰三角形 (包括底边与腰不相等的等腰三角形,等边三角形),故选D. 初中同步培优卷 3. (2025四川南充中考,★☆☆)如图,把含有60°角的直角三角 尺的斜边放在直线l上,则∠α的度数是 ( ) A. 120°　　    B. 130°　　    C. 140°　　    D. 150° D 解析　由题意得,α=90°+60°=150°,故选D. 初中同步培优卷 4. (2025海南中考,★☆☆)已知三角形三条边的长分别为3, 5,x,则x的值可能是 ( ) A. 2　　    B. 5　　    C. 8　　    D. 11 B 解析　由三角形的三边关系可得5-3<x<5+3,所以2<x<8,所以 观察四个选项,x的值可能是5.故选B. 初中同步培优卷 5. (2025河南南阳镇平期末,★☆☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是 ( ) A. BE是△ABD的中线　　    B. BD是△BCE的角平分线 C C. ∠1=∠2=∠3　　    D. BC是△BDE的高 初中同步培优卷 解析　因为AE=DE,所以BE是△ABD的中线,故A选项说法正 确;因为BD平分∠EBC,所以BD是△BCE的角平分线,故B选项 说法正确;因为BE是△ABD的中线,不是∠ABD的平分线,所以 ∠1不一定等于∠2,故C选项说法不正确;因为∠C=90°,所以 BC是△BDE的高,故D选项说法正确.故选C. 初中同步培优卷 6. (2025河北石家庄裕华模拟,★☆☆)利用一块含30°角的透 明直角三角尺过点A作△ABC的边BC的垂线,下列三角尺摆放 的位置正确的是 ( ) A B C D D 解析　过点A作BC边上的高,当含30°角的透明直角三角尺一 条直角边和高重合时,位置摆放正确,所以选项A,B,C中的摆放 均不正确,选项D中的摆放正确.故选D. 初中同步培优卷 7. (2025山东烟台经开区期末,★★☆)在下列条件中,能确定 △ABC是直角三角形的条件有 ( ) ①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2; ③∠A=90°-∠B;④∠A=2∠B=3∠C. A. 1个　　    B. 2个　　    C. 3个　　    D. 4个 C 初中同步培优卷 解析　因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以2∠C= 180°,解得∠C=90°,故△ABC是直角三角形,故①符合题意; 因为∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2,所以设∠A=5x,则∠B=3x,∠C =2x,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以5x+3x+2x=180°, 解得x=18°, 所以∠A=90°,故△ABC是直角三角形,故②符合题意; 因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B=90°,所以∠C=180°-90° =90°,故△ABC是直角三角形,故③符合题意; 因为∠A=2∠B=3∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+ ∠A+  初中同步培优卷 ∠A=180°,所以∠A= °,故△ABC不是直角三角形,故④不符合题意. 综上,能确定△ABC是直角三角形的条件是①②③,共3个,故 选C. 初中同步培优卷 8. (2024河北秦皇岛期末,★★☆)如图,在△ABC中,AD是∠BAC 的平分线,AE是高,若∠B=40°,∠C=60°,则∠DAE的度数 是 ( ) A. 5°　　    B. 10°　　    C. 20°　　    D. 30° B 初中同步培优卷 解析　因为∠B=40°,∠C=60°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°, 因为AD是∠BAC的平分线, 所以∠BAD=∠DAC= ∠BAC= ×80°=40°, 所以∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80°, 因为AE是BC边上的高,所以∠AEC=90°, 所以∠DAE=∠AEC-∠ADC=90°-80°=10°,即∠DAE的度数 是10°.故选B. 初中同步培优卷 9. (2025湖南衡阳九中月考,★★☆)已知三角形的三边长分别 为2,a-1,4,则化简|a-3|+|a-7|的结果为 ( ) A. 2a-10　　    B. 10-2a　　    C. 4　　    D. -4 C 解析　由三角形的三边关系得4-2<a-1<4+2,所以3<a<7, 所以a-3>0,a-7<0,所以原式=a-3+7-a=4.故选C. 初中同步培优卷 10. (2025河北廊坊安次期末,★★☆)如图,BD是△ABC的中 线,E,F分别为BD,CE的中点,若△AEF的面积为3,则△ABC的 面积为 ( ) A. 6　　    B. 9　　    C. 12　　    D. 15 C 初中同步培优卷 解析　因为F是CE的中点,S△AEF=3,所以S△ACE=2S△AEF=6, 因为E是BD的中点,所以S△ADE=S△ABE,S△CDE=S△BCE, 因为S△ACE=S△ADE+S△CDE,所以S△ACE= S△ABC,所以S△ABC=12.故选C. 初中同步培优卷 11. (2025河北沧州吴桥期末,★★☆)如图,在△ABC中,BD和 CD分别平分∠ABC和∠ACB,BE和CE分别平分∠CBD和 ∠BCD,∠A=60°,下列式子中正确的是 ( ) A. ∠A+∠D=∠E　　    B. 2∠D=3∠A C. ∠E=3∠A　　     D. 5∠D=4∠E D 初中同步培优卷 解析　因为BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB, 所以∠CBD= ∠ABC,∠BCD= ∠ACB, 所以∠CBD+∠BCD= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)= × (180°-60°)=60°. 所以∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)=180°-60°=120°. 因为BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD, 所以∠CBE+∠BCE= (∠CBD+∠BCD)= ×60°=30°. 所以∠E=180°-(∠CBE+∠BCE)=180°-30°=150°. 初中同步培优卷 A.因为∠A+∠D=60°+120°=180°,∠E=150°,所以∠A+∠D不等于∠E,所以A选项错误; B.因为2∠D=2×120°=240°,3∠A=180°,所以2∠D不等于 3∠A,所以B选项错误; C.因为∠E=150°,3∠A=180°,所以∠E不等于3∠A,所以C选项 错误; D.因为5∠D=600°=4∠E,所以D选项正确.故选D. 初中同步培优卷 12. 【新考向·规律探究题】(★★★)如图,AP1为△ABC的中 线,AP2为△AP1C的中线,AP3为△AP2C的中线,……,APn为△ APn-1C的中线.若△ABC的面积为S,则△APnC的面积为( )   A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   C 初中同步培优卷 解析　因为AP1为△ABC的中线,所以 = S△ABC= S, 因为AP2为△AP1C的中线,所以 =  = S, 因为AP3为△AP2C的中线,所以 =  = S, …… 所以△APnC的面积为 .故选C. 初中同步培优卷 二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分) 13. (2025河北承德平泉期末,★☆☆)如图所示,直线a∥b,∠1= 75°,∠2=25°,则∠3的度数为__________°.     50     初中同步培优卷 解析　如图, 因为直线a∥b,∠1=75°,所以∠4=∠1=75°, 所以∠3=∠4-∠2=75°-25°=50°,故答案为50. 初中同步培优卷 14. 【学科特色·教材变式P128T4】(2025江苏宿迁中考,★★ ☆)若等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则该等腰三角 形的周长为__________cm.     10     解析　①当腰长是2 cm,底边长是4 cm时,2+2=4,不能构成三 角形, ②当底边长是2 cm,腰长是4 cm时,2+4>4,能构成三角形,此时 这个三角形的周长=4+4+2=10(cm). 综上所述,这个三角形的周长是10 cm.故答案为10. 初中同步培优卷 15. (2025江苏徐州中考,★★☆)如图,将三角形纸片ABC沿CE 折叠,使点A落在边BC上的点D处,折痕为CE.若△ABC的面积 为8,△BCE的面积为5,则BD∶DC=___________.     2∶3     初中同步培优卷 解析　因为S△ABC=8,S△BCE=5,所以S△ACE=S△ABC-S△BCE=3, 因为将三角形纸片ABC沿CE折叠,使点A落在边BC上的点D处, 所以S△DEC=S△AEC=3,所以S△BDE=2, 所以BD∶DC=S△BDE∶S△DEC=2∶3. 故答案为2∶3. 初中同步培优卷 16. 【学科特色·双角平分·线模型】(2025福建泉州南安期末, ★★★)如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,△ ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D,与 △ABC的另一个外角的平分线相交于点E,则下列结论一定正 确的是________(只填序号). 　①②④     初中同步培优卷 解析　因为∠ABC,∠ACB的平分线交于点O, 所以∠ABD=∠OBC= ∠ABC,∠OCB=∠ACO= ∠ACB, 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 所以∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= ×(180°-∠A), 因为∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°, 所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- ×(180°-∠A)= 90°+ ∠A,故①正确; 初中同步培优卷 因为CD平分∠ACF,所以∠DCF= ∠ACF, 所以∠D=∠DCF-∠OBC= ∠ACF- ∠ABC= (∠ACF-∠ABC) = ∠A,故②正确; 如图, 初中同步培优卷 因为∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠ACB+∠A+ ∠ABC=180°, 所以∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A, 因为BE平分∠MBC,CE平分∠BCN, 所以∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠BCE, 所以∠EBC+∠BCE= (∠MBC+∠BCN)=90°+ ∠A, 所以∠E=180°-(∠EBC+∠BCE)=180°- = 90°- ∠A,故③错误; 初中同步培优卷 因为∠DCF=∠DBC+∠D, 所以∠E+∠DCF=90°- ∠A+∠DBC+ ∠A=90°+∠DBC, 因为∠ABD=∠DBC, 所以∠E+∠DCF=90°+∠ABD,故④正确.综上所述,正确的是 ①②④. ①∠BOC=90°+ ∠A;②∠D= ∠A;③∠E=∠A; ④∠E+∠DCF=90°+∠ABD. 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (2025河北唐山玉田月考,★☆☆)(10分)已知a,b,c是△ABC 的三边长.若a和b满足方程组 且c为偶数,求这个三 角形的周长. 初中同步培优卷 解析　解 得  根据三角形的三边关系得5-2<c<2+5,所以3<c<7, 因为c为偶数,所以c=4或6. 当c=4时,三角形的三边长为2,5,4,此时这个三角形的周长为2 +5+4=11; 当c=6时,三角形的三边长为2,5,6,此时这个三角形的周长为2 +5+6=13. 综上所述,这个三角形的周长是11或13. 初中同步培优卷 18. 【学科特色·教材变式P138T3】(2025河北石家庄裕华期 末,★☆☆)(12分)如图,在△ABC中,BE是角平分线,点D在边 AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O. (1)若CD是△ABC的中线,BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周 长差为______. (2)若∠ABC=62°,CD是△ABC的高,求∠BOC的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)1. 详解:因为CD是△ABC的中线,所以BD=AD, 因为BC=3,AC=2, 所以△BCD的周长=BC+BD+CD=3+AD+CD,△ACD的周长= AD+CD+AC=2+AD+CD, 所以△BCD的周长-△ACD的周长=3+AD+CD-(2+AD+CD)=1, 故答案为1. (2)因为CD是△ABC的高,所以∠CDB=90°, 因为∠ABC=62°,BE是∠ABC的平分线, 初中同步培优卷 所以∠ABE= ∠ABC= ×62°=31°, 所以∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+31°=121°. 初中同步培优卷 19. 【新考向·新定义题】(★★☆)(12分)定义:一个三角形的 一个角是另一个角的2倍,这样的三角形叫作“倍角三角形”. 若直角三角形ABC是“倍角三角形”,∠C=90°,∠A≤∠B,求 ∠A的度数. 初中同步培优卷 解析　①当∠C=2∠B时,因为∠C=90°,所以∠B=45°,所以 ∠A=45°,满足∠A≤∠B,符合题意. ②当∠C=2∠A时,因为∠C=90°,所以∠A=45°, 所以∠B=45°,满足∠A≤∠B,符合题意. ③当∠B=2∠A时,因为∠C=90°,所以∠B+∠A=90°,所以2∠A +∠A=90°,所以∠A=30°,所以∠B=60°,满足∠A≤∠B,符合题意. 综上所述,∠A的度数为45°或30°. 初中同步培优卷 20. (2025河北石家庄裕华期末,★★☆)(12分)已知∠AOB=90°,直线CD与OA交于点C,与OB交于点D,点C,D均不与点O重 合,CE平分∠DCO,DE平分∠CDO. (1)如图①,∠CED的度数为______. (2)如图②,延长CE与BO交于点F,过E作射线EG与CD交于 点G,且满足∠CFO-∠GED=45°.说明:GE∥DO. 初中同步培优卷 解析    (1)135°. (2)因为CE平分∠DCO,DE平分∠CDO, 所以∠DCE= ∠DCO,∠EDF= ∠CDO. 因为∠DCO+∠CDO=90°, 所以∠DCE+∠EDF=45°. 因为∠CFO=∠DCF+∠CDO=∠DCF+2∠EDF=∠EDF+45°, 所以∠EDF=∠CFO-45°. 因为∠CFO-∠GED=45°, 初中同步培优卷 所以∠GED=∠CFO-45°, 所以∠EDF=∠GED,所以GE∥DO. 初中同步培优卷 21. (2025河北衡水枣强月考,★★☆)(12分)如图,BE是△ABD 的边AD上的中线. (1)画出△BDE的边BD上的高EF. (2)若AD是△ABC的边BC上的中线,△ABC的面积为12,BD=2, 求EF的长. (3)若AD是△ABC的角平分线,∠ABC=40°,∠C=80°,求∠DEF 的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)如图,EF即为所作. (2)因为AD是△ABC的边BC上的中线, 所以BD=CD,所以S△ABD= S△ABC= ×12=6, 因为BE是△ABD的边AD上的中线,所以AE=DE, 初中同步培优卷 所以S△EBD= S△ABD= ×6=3, 所以 BD·EF=3,所以EF= =3. (3)因为∠ABC=40°,∠C=80°, 所以∠BAC=180°-40°-80°=60°, 因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD= ∠BAC=30°, 所以∠ADF=∠ABC+∠BAD=40°+30°=70°, 因为EF为△BDE的高,所以∠EFD=90°, 所以∠DEF=180°-90°-70°=20°. 初中同步培优卷 22. (2024河北石家庄新华期末,★★★)(14分)如图①,图②,图 ③,直线l与△ABC的边AC,AB分别相交于点D,E(都不与点A重合). (1)若∠A=64°. (i)求∠1+∠2的度数. (ii)如图②,直线m与边AB,AC相交得到∠3和∠4,直接写出∠3 +∠4的度数. (2)如图③,EO,DO分别平分∠BED和∠CDE,写出∠EOD和 ∠A的数量关系,并说明理由. 初中同步培优卷 (3)如图④,在四边形BCDE中,点M,N分别是线段DC,线段BE上 的点,NG,MG分别平分∠BNM和∠CMN,直接写出∠NGM与 ∠E,∠D的关系. 初中同步培优卷 解析    (1)(i)因为∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED, 所以∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A, 因为∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°, 所以∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°. (ii)由(i)的方法可得,∠3+∠4=∠A+180°=244°. (2)∠EOD=90°- ∠A. 理由:由(1)(i)可得∠BED+∠CDE=180°+∠A. 因为EO,DO分别平分∠BED和∠CDE, 初中同步培优卷 所以∠OED= ∠BED,∠EDO= ∠CDE, 所以∠OED+∠EDO= (∠BED+∠CDE)= ×(180°+∠A) =90°+ ∠A, 所以∠EOD=180°-(∠OED+∠EDO)=180°- =90° - ∠A. (3)∠E+∠D+2∠NGM=360°. 理由:由(1)易得,∠BNM+∠CMN=∠D+∠E, 因为NG,MG分别是∠BNM,∠CMN的平分线, 初中同步培优卷 所以∠BNG=∠MNG= ∠BNM,∠CMG=∠NMG= ∠CMN, 所以∠NGM=180°-(∠MNG+∠NMG) =180°- (∠BNM+∠CMN) =180°- (∠D+∠E),所以∠E+∠D+2∠NGM=360°. 初中同步培优卷 $