第九章 因式分解 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的核心知识，包括定义、提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、分组分解法及应用，通过不同题型串联知识点，构建从基础到综合的逻辑脉络。 其亮点在于融入新定义题、多解法及阅读理解题，如“☆”运算因式分解培养抽象能力，密码编译问题提升应用意识，分层设计让学生逐步掌握方法，助力教师精准教学，有效巩固知识。

第九章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选 项是符合题意的) 1. (2025河北秦皇岛抚宁期末,★☆☆)下列各式中,是因式分 解的是 ( ) A. x2+1=x 　　     B. (x-y)2=x2-2xy+y2 C. x2-16y2=(x+4y)(x-4y)　　    D. x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1 C 初中同步培优卷 解析    A.x2+1=x ,等式的右边 不是整式,不是因式分 解,不符合题意; B.(x-y)2=x2-2xy+y2,是整式乘法,不是因式分解,不符合题意; C.x2-16y2=(x+4y)(x-4y),是因式分解,符合题意; D.x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1,等式右边不是整式乘积的形式,不是因 式分解,不符合题意.故选C. 初中同步培优卷 2. (2025贵州贵阳南明模拟,★☆☆)一个多项式因式分解后的 一个因式为x-2,这个多项式可能是 ( ) A. x2-4　　     B. x2-2 C. x2+2x　　    D. x2+4x+4 A 解析    A.x2-4=(x+2)(x-2),故A选项符合题意; B.x2-2在有理数范围内无法因式分解,故B选项不符合题意; C.x2+2x=x(x+2),不含有因式x-2,故C选项不符合题意; D.x2+4x+4=(x+2)2,不含有因式x-2,故D选项不符合题意.故选A. 初中同步培优卷 3. (2025河北石家庄月考,★☆☆)课堂上老师在黑板上布置了 四道用平方差公式分解因式的题目:(1)a2-b2,(2)49x2-y2z2,(3)-x2- y2,(4)16m2n2-25p2,小华发现其中有一道题目错了,你知道是哪 一道吗? ( ) A. 第(1)道题　　    B. 第(2)道题 C. 第(3)道题　　    D. 第(4)道题 C 解析    (1)a2-b2=(a+b)(a-b),(2)49x2-y2z2=(7x+yz)(7x-yz),(3)-x2-y2 不能因式分解,(4)16m2n2-25p2=(4mn+5p)(4mn-5p),故第(3)道题 错了.故选C. 初中同步培优卷 4. (★☆☆)代数式x4-81,x2-9与x2-6x+9的公因式为 ( ) A. x+3　　    B. (x+3)2 C. x-3　　     D. x2+9 C 解析    x4-81=(x2+9)(x2-9)=(x2+9)(x+3)(x-3). x2-9=(x+3)(x-3). x2-6x+9=(x-3)2. 因此3个多项式的公因式是x-3.故选C. 初中同步培优卷 5. (★☆☆)把多项式2(a-2)+6x(2-a)分解因式,结果是( ) A. (a-2)(2+6x)　　     B. (a-2)(2-6x) C. 2(a-2)(1+3x)　　    D. 2(a-2)(1-3x) D 解析　原式=2(a-2)-6x(a-2)=(a-2)(2-6x)=2(a-2)(1-3x).故选D. 初中同步培优卷 6. 【新考向·新定义题】(★☆☆)对于数a,b,现用“☆”定义 新运算:a☆b=a3-ab,那么将多项式a☆4因式分解,其结果为  ( ) A. a(a+2)(a-2)　　    B. a(a+4)(a-4) C. (a+4)(a-4)　　     D. a(a2+4) A 解析　因为a☆b=a3-ab,所以a☆4=a3-4a=a(a+2)(a-2),故选A. 初中同步培优卷 7. (2025河北衡水阜城期末,★★☆)小强是一位密码编译爱好 者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2 -b2分别对应六个字“华”“爱”“我”“中”“游” “美”,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息 可能是 ( ) A. 我爱美　　     B. 中华游 C. 爱我中华　　    D. 美我中华 C 解析　原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b),所以呈现的密 码信息可能是爱我中华,故选C. 初中同步培优卷 8. (2025河北廊坊香河期末,★★☆)若4x2+kx+25=(2x+a)2,则k+ a的值可以为 ( ) A. -25　　    B. -15　　    C. 15　　    D. 20 A 解析　由题意得4x2+kx+25=(2x)2+kx+52=(2x±5)2=4x2±20x+25, 所以k=20,a=5或k=-20,a=-5,所以k+a=25或-25,故选A. 初中同步培优卷 9. 【学科特色·多解法】(2024河北沧州南皮模拟,★★☆)若n 为任意整数,如果(n+2)2-kn2的值总能被4整除,则整数k不能取  ( ) A. -3　　    B. 1　　    C. 2　　    D. 5 C 初中同步培优卷 解析　【解法一】(n+2)2-kn2=n2+4n+4-kn2=(1-k)n2+4(n+1). 因为(n+2)2-kn2的值总能被4整除,n为任意整数, 所以1-k总能被4整除. 所以整数k为-3,1,5时均满足条件,故选项A,B,D不符合题意, 整数k为2时,1-k=-1,不满足条件,故选C. 【解法二】当k=-3时,(n+2)2-kn2=(n+2)2+3n2 =4n2+4n+4=4(n2+n+1),能被4整除; 初中同步培优卷 当k=1时,(n+2)2-kn2=(n+2)2-n2=4n+4=4(n+1),能被4整除; 当k=2时,(n+2)2-kn2=(n+2)2-2n2=-n2+4n+4,不能被4整除; 当k=5时,(n+2)2-kn2=(n+2)2-5n2=-4n2+4n+4=4(-n2+n+1),能被4整 除.故选C. 初中同步培优卷 10. (2025河北邯郸模拟,★★☆)已知xy=-1,x+y=2,则 x3y+x2y2+  xy3= ( ) A. -2　　    B. 2　　    C. -4　　    D. 4 A 解析　因为xy=-1,x+y=2,所以 x3y+x2y2+ xy3= xy(x2+2xy+y2)=  xy(x+y)2= ×(-1)×22=-2.故选A. 初中同步培优卷 11. (2025河北沧州期末,★★☆)已知a,b,c是三角形的三边长, 那么代数式(a-b)2-c2的值 ( ) A. 大于零　　  B. 小于零　　  C. 等于零　　  D. 不能确定 B 解析　因为a,b,c是三角形的三边长,所以a+c>b,b+c>a, 所以a+c-b>0,a-c-b<0.所以(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)=(a+c-b)(a-c -b)<0.故选B. 初中同步培优卷 12. (★★★)在多项式16x2+1中添加一个单项式,使得到的多 项式能运用完全平方公式分解因式,则针对下列三人的做法, 说法正确的是 ( ) 嘉琪:添加±8x,16x2+1±8x=(4x±1)2. 陌陌:添加64x4,64x4+16x2+1=(8x2+1)2. 嘟嘟:添加-1,16x2+1-1=16x2=(4x)2. A. 嘉琪和陌陌的做法正确 B. 嘉琪和嘟嘟的做法正确 A 初中同步培优卷 C. 陌陌和嘟嘟的做法正确 D. 三位同学的做法都不正确 解析    16x2+1±8x=(4x±1)2,故嘉琪的做法正确;64x4+16x2+1=(8 x2+1)2,故陌陌的做法正确;16x2+1-1=16x2,化简后不是多项式, 故嘟嘟的做法错误.故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分) 13. (2024河北石家庄新华期末,★☆☆)整式a2-a和(a-1)2的公 因式为___________.     a-1     解析    因为a2-a=a(a-1),所以a2-a和(a-1)2的公因式为a-1. 初中同步培优卷 14. (2025山东烟台中考,★☆☆)因式分解:2x2-12xy+18y2=_____ ___________. 2(x-3y)2     解析    2x2-12xy+18y2=2(x2-6xy+9y2)=2(x-3y)2,故答案为2(x-3y)2. 初中同步培优卷 15. (★★☆)已知数x,y满足x+2y=2,则x2-4y2+8y=_________.     4     解析　因为x+2y=2,所以x2-4y2+8y=(x+2y)(x-2y)+8y=2(x-2y)+8y =2x-4y+8y=2x+4y=2(x+2y)=2×2=4,故答案为4. 初中同步培优卷 16. 【新考向·阅读理解题】(2025重庆模拟,★★★)如果一个 四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0,且千位与十 位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差,则称M为“等 差数”,将M千位上的数字与十位上的数字对调,百位上的数 字与个位上的数字对调,得到一个新的四位数M',记D(M)=  ,若D(M)为正数且能表示为两个连续偶数的平方差,则 满足条件的最小“等差数”M是_____________.     5 612     初中同步培优卷 解析　设M=1 000a+100b+10c+d,则M'=1 000c+100d+10a+b, 因为M为“等差数”,所以a-c=b-d. 所以D(M)=  =  =  =  =9(a-c), 因为D(M)为正数且能表示为两个连续偶数的平方差, 初中同步培优卷 所以a-c为4的倍数,因为a,c均为一位数, 所以a-c=4或8, 因为要求满足条件的最小“等差数”M, 所以a-c=4,所以a=5,c=1,b-d=4. 若要求满足条件的最小“等差数”M,则b应最小, 因为一个四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0, 所以b=6,d=2. 所以满足条件的最小“等差数”M是5 612.故答案为5 612. 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (2025河北邢台任泽期末,★☆☆)(10分)分解因式: (1)3mx-6my. (2)a2(x-y)+4b2(y-x). 解析    (1)3mx-6my=3m(x-2y). (2)a2(x-y)+4b2(y-x) =(x-y)(a2-4b2) =(x-y)(a+2b)(a-2b). 初中同步培优卷 18. 【学科特色·教材变式P116T4】(★☆☆)(12分)用简便方 法计算: (1)(-2)2 023+(-2)2 024. (2)8502-1 700×848+8482. (3) × ×…× . 初中同步培优卷 解析    (1)(-2)2 023+(-2)2 024=(-2)2 023+(-2)2 023×(-2)=(-2)2 023×(1-2)= -22 023×(-1)=22 023. (2)原式=8502-2×850×848+8482=(850-848)2=4. (3)原式= × × × ×…× ×  = × × × ×…× × = . 初中同步培优卷 19. (2025湖南长沙浏阳期末改编,★★☆)(12分)先分解因式, 再求值: (1)4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3. (2)(m2+n2)2-4m2n2,其中m=-3,n=2. 初中同步培优卷 解析    (1)4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3). 当a=-5,x=3时, 原式=(3+7)×[4×(-5)2-3]=10×97=970. (2)(m2+n2)2-4m2n2 =(m2+n2)2-(2mn)2 =(m2+2mn+n2)(m2-2mn+n2) =(m+n)2(m-n)2, 当m=-3,n=2时,m-n=-5,m+n=-1, 所以原式=(m+n)2(m-n)2=(-1)2×(-5)2=25. 初中同步培优卷 20. 【学科特色·教材变式P124T8】(2025河北石家庄期末,★ ★☆)(12分)根据结论“两个连续奇数的平方差是8的倍数”, 回答下列问题: 【验证】求1012-992的结果是8的几倍. 【说理】设n为整数,用含n的式子写出两个连续奇数的平方 差,并说明其是8的倍数. 初中同步培优卷 解析    【验证】1012-992=(101+99)×(101-99)=200×2=400, 400÷8=50. 答:1012-992的结果是8的50倍. 【说理】两个连续奇数的平方差为(2n+1)2-(2n-1)2. (2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-(4n2-4n+1)=8n, 因为n为整数, 所以8n是8的倍数, 所以两个连续奇数的平方差是8的倍数. 初中同步培优卷 21. (2024河北唐山滦南期末,★★★)(12分)材料1:将一个形如 x2+px+q的二次三项式因式分解,如果能满足q=mn且p=m+n,则 可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).示例如下: ①x2+4x+3=(x+1)(x+3);②x2-4x-12=(x-6)(x+2). 材料2:分解因式(x+y)2+2(x+y)+1. 解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2, 再将“A”还原可得,原式=(x+y+1)2. 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”,“整体思想” 初中同步培优卷 和“换元思想”是数学解题中常见的两种思想方法. 结合材料1和材料2,完成下面小题. (1)分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3. (2)分解因式:(m+2)(m+2-6)+5. 初中同步培优卷 解析    (1)将“x-y”看成一个整体,令x-y=A, 则原式=A2+4A+3 =(A+1)(A+3), 再将“A”还原可得,原式=(x-y+1)(x-y+3). (2)将“m+2”看成一个整体,令m+2=A, 则原式=A(A-6)+5 =A2-6A+5 =(A-1)(A-5), 再将“A”还原可得,原式=(m+2-1)(m+2-5)=(m+1)·(m-3). 初中同步培优卷 22. 【新考向·阅读理解题】(2025河北石家庄四十八中月考, ★★★)(14分)七年级兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 将2a-3ab-4+6b因式分解. 【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法: 解法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2); 解法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b). 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我 们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达 到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解 初中同步培优卷 法在代数式的化简、求值及方程等学习中起着重要的作用. (温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止) 【类比】 (1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解. 【挑战】 (2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解. 【应用】 (3)已知△ABC的一边长c为4,另外两边长a,b满足2a2+b2-4a-8b +18=0,求△ABC的周长. 初中同步培优卷 解析    (1)x2-a2+x+a =(x2-a2)+(x+a) =(x-a)(x+a)+(x+a) =(x+a)(x-a+1). (2)ax+a2-2ab-bx+b2 =(ax-bx)+(a2-2ab+b2) =x(a-b)+(a-b)2 =(a-b)(x+a-b). 初中同步培优卷 (3)因为2a2+b2-4a-8b+18=0, 所以2a2-4a+2+b2-8b+16=0, 所以2(a-1)2+(b-4)2=0, 所以a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4, 因为c=4,所以△ABC的周长是4+4+1=9. 初中同步培优卷 $