第六章 二元一次方程组 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程（组）的概念、解法及应用，通过典型例题将定义辨析、代入法与加减法、实际问题建模等核心内容串联，构建从基础概念到解题方法再到实际应用的完整知识网络。 其亮点在于融入数学文化（如《九章算术》算筹图）培养数学眼光，设计新定义题（共轭方程组）发展推理能力，结合手工艺品制作等应用题强化模型意识。题目分层（★☆☆到★★★）满足不同学生需求，助力教师精准教学，有效提升学生知识巩固与核心素养。

第六章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选 项是符合题意的) 1. (2024河北张家口宣化期末,★☆☆)下列方程:①2x-3y=5;② xy=3;③x+ =3;④3x-2y+z=0;⑤x2+y=6.其中二元一次方程有  ( ) A. 1个　　    B. 2个　　    C. 3个　　    D. 4个 A 解析　根据二元一次方程的定义,可得①2x-3y=5是二元一次 方程,其余均不是.故选A. 初中同步培优卷 2. (2025河北邯郸期末,★☆☆)若方程组 是二元一次 方程组,则“……”可以是 ( ) A. 3x-m=8　　    B. xy=0 C. x2-1=0　　     D. x=y D 初中同步培优卷 解析    A.3x-m=8,构成的方程组中含有三个未知数,不能组成 二元一次方程组,不符合题意;B.xy=0是二元二次方程,不能组 成二元一次方程组,不符合题意;C.x2-1=0是一元二次方程,不 能组成二元一次方程组,不符合题意;D.x=y能组成二元一次方 程组,符合题意.故选D. 初中同步培优卷 3. (2025河北衡水安平二中期末,★☆☆)数学课堂上,老师让 大家用加减消元法解方程组 下面是四位同学 的求解过程,其中正确的是 ( ) A. 要消去y,可以将①×4-②×5 B. 要消去x,可以将①×4-②×3 C. 要消去y,可以将①×4+②×5 D. 要消去x,可以将①×5-②×3 B 初中同步培优卷 解析　要消去y,可以将①×5+②×4,故选项A,C错误;要消去x, 可以将①×4-②×3,故选项B正确,选项D错误.故选B. 初中同步培优卷 4. (2025浙江中考,★☆☆)手工社团的同学制作两种手工艺品 A和B,需要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如表. 　　　材料 类别　     彩色纸/张 细木条/捆 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 初中同步培优卷 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,问他们制作的这两 种手工艺品各有多少个?设手工艺品A有x个,手工艺品B有y 个,则x和y满足的方程组是 ( ) A.  　　    B.   C.  　　    D.   C 初中同步培优卷 解析　因为每个手工艺品A需要彩色纸5张,每个手工艺品B 需要彩色纸张2张,共用了17张彩色纸,故由此可得5x+2y=17, 因为每个手工艺品A需要细木条3捆,每个手工艺品B需要细 木条1捆,共用了10捆细木条,故由此可得3x+y=10,所以可列出 方程组 故选C. 初中同步培优卷 5. (2025河北保定师范附属学校模拟,★☆☆)已知数x,y满足方 程组 则x2-2y2的值为 ( ) A. -1　　    B. 1　　    C. 3　　    D. -3 A 解析     ①+②×2,得5x=5,解得x=1,把x=1代入②, 得1+y=2,解得y=1,所以x2-2y2=12-2×12=1-2=-1.故选A. 初中同步培优卷 6. 【新考向·数学文化】(2025四川泸州中考,★☆☆)《九章 算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记 载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整 数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解的个数是  ( ) A. 1　　    B. 2　　    C. 3　　    D. 4 C 解析　方程2x+3y=21的正整数解是   共3个, 故选C. 初中同步培优卷 7. (★★☆)已知二元一次方程组 且x+y=m,x-y=n,则 nm的值为 ( ) A. -1　　    B. 1　　    C. -3　　    D. 3 A 解析     ①+②,得3x+3y=9,所以x+y=3, 因为x+y=m,所以m=3. ②-①,得x-y=-1, 因为x-y=n,所以n=-1,所以nm=(-1)3=-1.故选A. 初中同步培优卷 8. (★★☆)已知x,y,z满足 且xyz≠0,则x∶y∶z 为 ( ) A. 2∶1∶3　　    B. 3∶2∶1 C. 1∶2∶3　　    D. 3∶1∶2 C 解析　因为  所以①×3+②×2,得2x=y,①×4+②×5,得3x=z, 所以x∶y∶z=x∶2x∶3x=1∶2∶3.故选C. 初中同步培优卷 9. (2025河北保定易县期末改编,★★☆)若关于x,y的方程组  与方程组 的解相同,则m+n的值为( ) A. -1　　    B. 1　　    C. 2　　    D. 3 D 初中同步培优卷 解析　因为关于x,y的方程组 与方程组  的解相同, 所以 与 的解相同, ①+②得,x=1, 把x=1代入①得,y=-1, 把x=1,y=-1代入③得,m=4, 把x=1,y=-1代入④得,n=-1, 所以m+n=3.故选D. 初中同步培优卷 10. 【新考向·新定义题】(2024山东德州期末,★★★)规定:形 如关于x,y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一 次方程,其中k≠1,由这两个方程组成的方程组 叫作 共轭方程组.若关于x,y的方程组 为共轭方 程组,则     ( ) A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   A 初中同步培优卷 解析　由题意可得 解得 故选A. 初中同步培优卷 11. (★★★)有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片,将它 们按如图所示的方式(不重叠)放置在大长方形ABCD中,根据 图中标出的数据,可得1张小长方形卡片的面积是 ( ) A. 72　　    B. 68　　    C. 64　　    D. 60 B 初中同步培优卷 解析　设小长方形卡片的长为x,宽为y, 根据题意得 解得  所以xy=17×4=68, 所以1张小长方形卡片的面积是68.故选B. 初中同步培优卷 12. 【新考向·数学文化】(2025河北张家口期末,★★★)《九 章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横 排,如图①,图②.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未 知数x,y的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用我们 现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是 在图2所 示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了,如果图②所表示的 方程组中x的值为3,则被墨水所覆盖的图形为 ( ) C 初中同步培优卷   A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   解析　设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a, 根据题意,得 把x=3代入,得 由①得y =5,把y=5代入②,得12+5a=27,所以a=3,故选C. 初中同步培优卷 二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分) 13. 【学科特色·教材变式P4T1】(★☆☆)已知 则y =_________(用只含x的代数式表示). 　-x+6     解析　因为x=m+4, 所以m=x-4,所以y=-m+2=-(x-4)+2=-x+6. 故答案为-x+6. 初中同步培优卷 14. (2025山东淄博高新区期末,★☆☆)若 是关于x,y的 二元一次方程ax+by=-2的一个解,则2a-b+2 025的值为______.     2 023 解析　把 代入二元一次方程ax+by=-2, 得2a-b=-2,所以2a-b+2 025=-2+2 025=2 023, 故答案为2 023. 初中同步培优卷 15. (2025河北唐山滦南期末,★★☆)某水果零售商店分两批 次从批发市场共购进杨梅40箱,已知第一、二次的进货价分 别为每箱50元、40元,且第二次比第一次多付款700元,若商店 对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱,剩下的按每箱35元全 部售完,则当x的值为__________时,商店才正好不亏本.     12     初中同步培优卷 解析　设第一次购进a箱,第二次购进b箱, 根据题意得 解得  所以第一次购进10箱,第二次购进30箱, 由题意可知60x+35(40-x)-10×50-30×40=0,解得x=12.故答案为 12. 初中同步培优卷 16. (2025安徽黄山期末,★★★)两位同学对问题“若方程组  的解是 求方程组 的解.”提 出各自的想法.甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解.”乙 说:“它们的系数有一定的规律,可以试试把第二个方程组的 两个方程的两边都除以3,然后通过整体换元替代的方法来解 决.”参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该是________. 初中同步培优卷 解析　方程组 可化为  因为方程组 的解是  所以 解得  所以方程组 的解为  初中同步培优卷 故答案为  初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (2025河北石家庄藁城期末,★☆☆)(10分)用指定的方法 解下列方程组: (1) (代入法)    (2) (加减法) 初中同步培优卷 解析    (1)  由②得,y=10-4x③, 把③代入①得,3x-2(10-4x)=13,解得x=3, 把x=3代入③得,y=10-4×3=-2, 所以原方程组的解为  (2)将原方程组变形为  ①×3-②得,-16y=8,解得y=- , 初中同步培优卷 把y=- 代入①得,x-6× =1,解得x=-2, 所以原方程组的解为  初中同步培优卷 18. (★★☆)(12分)甲、乙两人同时解方程组 甲 看错了m,解出的结果是 乙看错了n,解出的结果是  试求原方程组的解. 初中同步培优卷 解析　把 代入②得,7+2n=13,解得n=3,把 代入① 得,3m-7=5,解得m=4, 把m=4,n=3代入方程组得,  ③×3+④得,14x=28,解得x=2, 把x=2代入③得,y=-3, 所以原方程组的解为  初中同步培优卷 19. 【新考向·新定义题】(2025河南安阳期中,★★☆)(12分) 对于有理数x,y,定义新运算:x#y=ax+by,x⊕y=ax-by,其中a,b是 常数. 已知1#1=1,3⊕2=8. (1)求a,b的值. (2)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x+y=3,求m 的值. 初中同步培优卷 解析    (1)因为x#y=ax+by,x⊕y=ax-by,1#1=1,3⊕2=8, 所以 解得  (2)由(1)可得,x#y=2x-y,x⊕y=2x+y,所以  解得  因为x+y=3,所以m+1+3m-2=3, 解得m=1,即m的值为1. 初中同步培优卷 20. 【新课标·应用意识】(2025河北邢台月考,★★☆)(12分) 如图,A、B两地由公路和铁路相连,在这条路上有一家食品 厂,它到B地的距离是到A地距离的2倍,现该食品厂从A地购 买原料,全部制成食品(制作过程中有损耗)卖到B地,两次运输 (第一次:A地→食品厂,第二次:食品厂→B地)共支出公路运费 为15 600元,铁路运费为20 600元.已知公路运费为1.5元/(千米 ·吨),铁路运费为1元/(千米·吨). (1)求该食品厂到A地、B地的铁路距离分别是多少千米. 初中同步培优卷 (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨. 初中同步培优卷 解析    (1)设该食品厂到A地的铁路距离是x千米,到B地的铁 路距离是y千米, 根据题意得, 解得  答:该食品厂到A地的铁路距离是30千米,到B地的铁路距离是 70千米. (2)设该食品厂买进原料m吨,卖出食品n吨,由题意得   初中同步培优卷 解得  答:该食品厂买进原料220吨,卖出食品200吨. 初中同步培优卷 21. 【新考向·阅读理解题】(2025河北沧州盐山模拟,★★☆) (12分)阅读下列解方程组的方法,然后回答并解决有关问题: 解方程组 时,如果我们直接考虑消元,那会很 麻烦,而采用下面的解法求解会更方便. 解:②-①得,3x+3y=3,所以x+y=1③,将③×21,得21x+21y=21④, ①-④,得y=2,从而可得x=-1,所以原方程组的解为  (1)请你用上述方法解方程组  初中同步培优卷 (2)猜想关于x,y的方程组 (a,d是常 数,d≠0)的解,并说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)  ①-②,得6x+6y=6,所以x+y=1③, ③×2 018,得2 018x+2 018y=2 018④, ④-②,得2y=4,解得y=2, 把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1, 所以原方程组的解是  (2)关于x,y的方程组 的解为  初中同步培优卷 理由如下:  ②-①得,3dx+3dy=3d, 所以x+y=1③, ③×a,得ax+ay=a④, ①-④,得dy=2d,解得y=2, 把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1, 所以原方程组的解是  初中同步培优卷 22. 【新课标·几何直观】(2025河北衡水安平二中期末,★★ ★)(14分)某企业承接了一项制作长方体礼品盒的业务,为了 确保质量,该企业进行试生产.他们用规格是170 cm×40 cm的 标准板材作为原材料,每张标准板材再按照裁法一或裁法二 裁下A型,B型两种板材,如图①所示(单位: cm). (1)请你用列方程组的方法求图①中a与b的值. (2)在试生产阶段,若将m张标准板材用裁法一裁剪,n张标准板 材用裁法二裁剪,再将得到的A型与B型板材做侧面和底面,做 成如图②所示的横式无盖礼品盒(底面使用A型板). 初中同步培优卷 ①两种裁法共产生A型板材______张,B型板材______张.(用 含m,n的式子表示) ②当30≤m≤40时,所裁得的A型板材和B型板材恰好用完,则 做成的横式无盖礼品盒可能是______个.(写出所有可能的答 案) 初中同步培优卷 解析    (1)由题意得, 解得  (2)①由题意可知,两种裁法共产生A型板材(2m+n)张,B型板材 (m+2n)张,故答案为(2m+n);(m+2n). ②由题图可知,做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张,B型板 材2张. 因为所裁得的板材恰好用完, 所以 = ,整理得m=4n, 因为n,m均为整数,所以m为4的整数倍, 初中同步培优卷 又因为30≤m≤40,所以 或 或  所以可做成的横式无盖礼品盒的个数为 =24或  =27或 =30,故答案为24或27或30. 初中同步培优卷 $