高一数学下学期期中模拟卷（湘教版必修第二册：平面向量及其应用+三角恒等变换+复数）

2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，.故选：B. 2．已知，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】因为，所以.故选：C. 3．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可知，.故选：C 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，得，即，又， 所以，即，解得.故选：D 5．若，则在复平面内所对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设有，则， 所以在复平面内所对应的点的坐标为．故选：B 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，所以-20，即，所以，即.故选：C 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，因为，则，两式相加可得，则，又，所以，即，代入可得，，则，即，所以，则.故选：B 8．在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】由题意，得，，， 设与夹角为，则，可得， 可得该四边形的面积为.故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A． B．若，则与的夹角是钝角 C．向量能作为平面内所有向量的一个基底 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AD 【详解】，A正确；当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确；因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确； 在上的投影向量为，D正确.故选：AD. 10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得，，所以，即，故A正确；对于B，由余弦定理得，化简得，故为等腰三角形，故B正确；对于C，由余弦定理，因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确；故选：ABD. 11．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知，复数，则______. 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为：. 13．已知，则向量在向量方向上的投影向量为______． 【答案】 【详解】由题意，，，∴向量在向量方向上的投影向量为： ，故答案为：. 14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为______；设，，若，则______． 【答案】 4 / 【详解】由题意，设，则，，由，则，解得， 因为，所以向量在上的投影向量即为在上的投影向量，即为，则在上的投影向量的模为；由 ，则，所以，则.故答案为：4；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，求： (1)若﹐求； (2)若，求的值． 【详解】（1）因为， 所以，，所以.........3分 又因为，所以，解得........6分 所以..........7分 （2）因为，所以，........9分 又，所以，........11分 即，所以........13分 16．（15分）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，所以；.......2分 （2）（i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或，.......4分 当时，，当时，，.......6分 所以方程的两个根为和，.......7分 所以，；.......8分 （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为，，且，.......10分 所以，解得或，.......12分 所以，或，，.......14分 所以，........15分 17．（15分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 【详解】（1）连接，由题意可得，，，.......1分 因为，，故为等边三角形，.......3分 所以，.......4分 在中，，，， 由余弦定理可得，故，.......6分 所以乙船的速度为（海里/小时）；.......7分 （2）分别延长、交于点，由（1）得， 所以. 故，.......9分 则，所以. .......11分 则在中，，， 由正弦定理可得，故，.......13分 因为，， 所以两船会相遇，且甲船从到相遇所用时间为小时........15分 18．（17分）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【详解】（1）由分别为的中点，则，，.......2分 由图可得，则，.......4分 所以........5分 （2）由（1）可知，，由，则，.......7分 ，.......9分 可得，解得........10分 （3）由图可得，.......12分 ，.......14分 ，.......16分 由，则........17分 19．（17分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，.......1分 所以， 所以，所以，.......2分 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去）， 又，所以；.......5分 （2）①因为，所以，又，，所以，........6分 如图，设，，.......7分    则在中，由正弦定理，得，所以 在中，由正弦定理，得，所以， ，.......10分 因为，所以， 故当，即时，；.......11分 ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，，. 都有，.......13分 由题意，是定值，所以，是定值，对于所有满足题意的，成立， 故有,.......14分 因为，从而，即，.......15分 因为，为的内角，所以，从而，........17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D B C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 4 / 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【详解】（1）因为， 所以，，所以.........3分 又因为，所以，解得........6分 所以..........7分 （2）因为，所以，........9分 又，所以，........11分 即，所以........13分 16．（15分）【详解】（1）因为为纯虚数，所以，所以；.......2分 （2）（i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或，.......4分 当时，，当时，，.......6分 所以方程的两个根为和，.......7分 所以，；.......8分 （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为，，且，.......10分 所以，解得或，.......12分 所以，或，，.......14分 所以，........15分 17．（15分）【详解】（1）连接，由题意可得，，，.......1分 因为，，故为等边三角形，.......3分 所以，.......4分 在中，，，， 由余弦定理可得，故，.......6分 所以乙船的速度为（海里/小时）；.......7分 （2）分别延长、交于点，由（1）得， 所以. 故，.......9分 则，所以. .......11分 则在中，，， 由正弦定理可得，故，.......13分 因为，， 所以两船会相遇，且甲船从到相遇所用时间为小时........15分 18．（17分）【详解】（1）由分别为的中点，则，，.......2分 由图可得，则，.......4分 所以........5分 （2）由（1）可知，，由，则，.......7分 ，.......9分 可得，解得........10分 （3）由图可得，.......12分 ，.......14分 ，.......16分 由，则........17分 19．（17分）【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，.......1分 所以， 所以，所以，.......2分 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去）， 又，所以；.......5分 （2）①因为，所以，又，，所以，........6分 如图，设，，.......7分    则在中，由正弦定理，得，所以 在中，由正弦定理，得，所以， ，.......10分 因为，所以， 故当，即时，；.......11分 ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，，. 都有，.......13分 由题意，是定值，所以，是定值，对于所有满足题意的，成立， 故有,.......14分 因为，从而，即，.......15分 因为，为的内角，所以，从而，........17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版必修第二册第1~3章（平面向量及其应用+三角恒等变换+复数） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 3．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．若，则在复平面内所对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B．5 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A． B．若，则与的夹角是钝角 C．向量能作为平面内所有向量的一个基底 D．若，则在上的投影向量为 10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 11．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，复数，则______. 13．已知，则向量在向量方向上的投影向量为______． 14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为_____；设，，若，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，求： (1)若﹐求； (2)若，求的值． 16．（15分）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 17．（15分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 18．（17分）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 19．（17分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版必修第二册第1~3章（平面向量及其应用+三角恒等变换+复数） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 3．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．若，则在复平面内所对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B．5 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A． B．若，则与的夹角是钝角 C．向量能作为平面内所有向量的一个基底 D．若，则在上的投影向量为 10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 11．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，复数，则______. 13．已知，则向量在向量方向上的投影向量为______． 14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为_____；设，，若，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，求： (1)若﹐求； (2)若，求的值． 16．（15分）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 17．（15分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 18．（17分）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 19．（17分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $