专项突破9 与三角形内角、外角有关的模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

这是一份初中数学培优课件，聚焦三角形内角、外角相关模型专项突破，包含“A”字模型及其变形、“8”字模型、“飞镖”模型等内容，通过期末真题例题、多解法解析及模型解读，为学生搭建从基础到培优的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过“A”字模型角度关系推导培养几何直观，“飞镖”模型多解法（延长线、连接辅助线）发展推理能力，结合期末真题归纳模型结论（如∠BDC=∠A+∠B+∠C），帮助学生用数学语言表达规律，为教师提供可直接应用的教学案例，提升课堂效率与学生解题能力。初中学生处于逻辑推理与空间观念发展关键期，该资料通过模型化学习帮助学生构建知识体系，应对期末复习中的几何综合题，提升分析与解决问题的能力。

专项突破9　与三角形内角、外角有关的模型 初中数学培优课堂  　“A”字模型及其变形 1.(2024辽宁抚顺期中)如图,点E,D分别在AB,AC上,若∠B=28 °,∠C=61°,则∠1+∠2的度数为( )   A.88°　　　B.89°　　　C.90°　　　D.91° 　B     初中数学培优课堂 解析　∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠1+∠2=180°, ∴∠1+∠2=∠B+∠C,∵∠B=28°,∠C=61°,∴∠1+∠2=28°+6 1°=89°.故选B. 初中数学培优课堂 2.探索归纳:   图1 图2 图3 初中数学培优课堂 (1)如图1,已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线 剪去∠A,则∠1+∠2=______. (2)如图2,已知△ABC中,∠A=40°,若沿图中虚线剪去∠A,则 ∠1+∠2=______. (3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程,归纳猜想∠1+∠2与∠A的 初中数学培优课堂 关系是_______. (4)若没有剪掉∠A,而是把它折成如图3所示形状,试探究∠1+ ∠2与∠A的关系,并说明理由. 初中数学培优课堂 解析    (1)270°. (2)220°. (3)∠1+∠2=180°+∠A. (4)∠1+∠2=2∠A. 理由:∵△EFP是由△EFA折叠得到的, ∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF, ∴∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF, 初中数学培优课堂 ∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF), 又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A, ∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 初中数学培优课堂 模型解读     初中数学培优课堂  　“8”字模型 3.(2024四川成都期末)如图,AB与CD相交于点O,若∠A=∠D= 90°,则下列结论错误的是( )   　C     初中数学培优课堂 A.∠1=∠2 B.∠1+∠C=90° C.∠1+∠2=90° D.∠B=∠C 初中数学培优课堂 解析　由对顶角相等知∠1=∠2,故A正确;∵∠A=90°,∴∠1 +∠C=90°,故B正确;根据已知条件不能得出∠1+∠2=90°,故C 错误;∵∠A=∠D=90°,∠1=∠2,∠C=180°-∠A-∠1,∠B=180°- ∠D-∠2, ∴∠C=∠B,故D正确.故选C. 初中数学培优课堂 4.(2025河北石家庄联邦外国语学校月考)已知:如图1,线段 AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把形如图1的图形称为 “8字形”,试解答下列问题: (1)在图1中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:____ ____________. (2)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线 AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于M,N,利用(1)的 结论,试求∠P的度数. 初中数学培优课堂 (3)如果图2中∠D和∠B为任意角,其他条件不变,问:∠P与∠ D,∠B之间存在着怎样的数量关系?并说明理由. 图1 图2     初中数学培优课堂 解析    (1)∠A+∠D=∠C+∠B. (2)如图,由(1)知∠1+∠D=∠P+∠3①, ∠4+∠B=∠2+∠P②, ∵∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, 由①+②得∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P, ∴2∠P=∠D+∠B, ∵∠D=40°,∠B=36°, ∴2∠P=40°+36°=76°, 初中数学培优课堂 ∴∠P=38°.   (3)2∠P=∠D+∠B. 理由:由(1)知∠1+∠D=∠P+∠3①,∠4+∠B=∠2+∠P②,∵∠ DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,∴∠1=∠2,∠3= ∠4,由①+②得∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P,∴2∠ P=∠D+∠B. 初中数学培优课堂 模型解读     初中数学培优课堂  　“飞镖”模型 5.【学科特色·多解法】(2024福建泉州期末)如图,∠A=40°,∠ B=55°,∠C=25°,则∠ADC的度数是( )   A.115°　　　B.120°　　　C.125°　　　D.130° 　B     初中数学培优课堂 解析　【解法一】借助三角形的外角求解: 如图,延长AD交BC于点E,   ∵∠ADC是△CDE的一个外角, ∴∠ADC=∠C+∠CED, ∵∠CED是△ABE的一个外角, 初中数学培优课堂 ∴∠CED=∠A+∠B, ∴∠ADC=∠C+∠A+∠B, ∵∠A=40°,∠B=55°,∠C=25°, ∴∠ADC=25°+40°+55°=120°.故选B. 【解法二】借助三角形的内角和求解: 如图,连接AC, 初中数学培优课堂   ∵∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°, ∴∠DAC+∠ACD=180°-∠ADC, ∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠DAC+∠ACD=180°, ∴∠BAD+∠B+∠BCD+180°-∠ADC=180°, ∴∠ADC=∠BAD+∠B+∠BCD=40°+55°+25°=120°.故选B. 初中数学培优课堂 6.(2025吉林长春汽开区期末)【问题呈现】如图①,四边形 ABDC形似“飞镖”,我们形象地称它为“飞镖图”.它实际 上是凹四边形,通过探究发现:∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【探究推理】方法一:如图②,连接BC. ∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180°. ∵在△BDC中,∠1+∠2+∠BDC=180°, ∴∠1+∠2=180°-∠BDC, ∴∠A+∠3+∠4+180°-∠BDC=180°, 初中数学培优课堂 ∴∠BDC=∠A+∠3+∠4, 即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. 方法二:如图③,连接AD并延长至点F. ∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角, …… (1)“方法一”主要依据的是_____________. (2)根据“方法二”中辅助线的添加方式,写出余下的推理过 程. 【迁移应用】 初中数学培优课堂 (3)如图④,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______. (4)如图⑤所示的是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交 点为C,且∠CAB,∠CBA,∠D的大小保持不变.为了舒适,需调 整∠E的大小,使∠EFD=110°,则图中∠E应________(填 “增加”或“减少”)的大小为______度.   图① 图② 图③ 初中数学培优课堂     图④    图⑤ 初中数学培优课堂 解析    (1)三角形的内角和等于180°. (2)余下的推理过程:∴∠3=∠B+∠1,∠4=∠2+∠C, ∴∠3+∠4=∠B+∠1+∠2+∠C, ∵∠3+∠4=∠BDC,∠1+∠2=∠BAC, ∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. (3)180°.详解:如图,延长BE交AC于点F, 初中数学培优课堂 ∵∠A+∠B=∠2,∠D+∠DEB=∠1,∠1+∠2+∠C=180°,∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠DEB=∠2+∠C+∠1=180°. (4)减少;10.详解:当∠EFD=110°时,如图,延长EF交CD于点G,   ∵∠ACB=180°-50°-60°=70°, ∴∠ECD=∠ACB=70°. 初中数学培优课堂 ∵∠EFD=110°,∠EFD=∠DGF+∠D,∠D=20°, ∴∠DGF=110°-20°=90°. ∵∠DGF=∠DCE+∠E,∴∠DGF=70°+∠E=90°,∴∠E=20°. ∴∠E应减少30°-20°=10°. 初中数学培优课堂 模型解读     初中数学培优课堂 $