专项突破3 平行线中拐点问题的常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

这是一份初中数学培优课件，聚焦平行线中拐点问题，包含M模型（猪蹄型）、铅笔模型（子弹头型）、鹰嘴模型等常见模型，通过例题解析、多解法呈现及模型解读与变形，为学生提供系统的学习支架，助力期末专项突破。 资料特色突出，融入滑雪姿势、抖空竹等生活情境实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过作平行线等多种解法培养推理思维，模型总结（如角度关系公式）强化数学语言表达，帮助学生掌握解题方法，也为教师教学提供丰富实例支撑。 九年级学生面临升学考试，需重点关注几何模型的综合应用，本资料通过专项突破提升学生解题能力，助力应对期末及升学考试中的几何难点。

专项突破3　平行线中拐点问题的常见模型 初中数学培优课堂  　平行线间的“M”模型(猪蹄型) 1.【学科特色·多解法】滑雪运动深受年轻人的喜欢,滑雪时 正确的滑雪姿势尤为重要.如图1,正确的滑雪姿势是上身挺直 略向前倾,与小腿平行,使脚的根部处于微微受力的状态.图2 是其示意图,已知FG∥AC,BD∥EF,当∠CBD=120°时,上身与 水平线的夹角∠EFG的度数为 ( )     B     初中数学培优课堂 图1 图2 初中数学培优课堂 A.50°　　    B.60° C.70°　　    D.80° 初中数学培优课堂 解析　【解法一】如图,延长FE交AC于M,   ∵BD∥EF,∠CBD=120°, ∴∠FMB=180°-∠CBD=60°, ∵FG∥AC, ∴∠EFG=∠FMB=60°.故选B. 初中数学培优课堂 【解法二】如图,过点E作MN∥FG,过点D作PQ∥AC,∵FG∥ AC,∴FG∥MN∥PQ∥AC,∴∠CBD+∠BDP=180°,∠GFE=∠ FEM,∠MED=∠EDP, ∵EF∥BD,∴∠FED=∠EDB,∴∠FEM=∠BDP=∠EFG,∵∠ CBD=120°,∴∠EFG=∠BDP=180°-120°=60°.故选B.   初中数学培优课堂 2.已知直线AB∥CD,点P,Q分别在直线AB,CD上. (1)如图1,当点E在直线AB,CD之间时,连接PE,QE.探究∠PEQ 与∠BPE+∠DQE之间的数量关系,并说明理由. (2)如图2,在(1)的条件下,PF平分∠BPE,QF平分∠DQE,交点 为F.求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系,并说明理由.   图1 初中数学培优课堂       图2 初中数学培优课堂 解析    (1)∠PEQ=∠BPE+∠DQE. 理由如下:如图所示,过点E作EM∥AB,   则∠BPE=∠PEM, ∵AB∥CD,∴EM∥CD, ∴∠DQE=∠QEM, 初中数学培优课堂 ∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE, 即∠PEQ=∠BPE+∠DQE. (2)∠PFQ= (∠BPE+∠DQE). 理由如下: ∵PF平分∠BPE,QF平分∠DQE, ∴∠BPF= ∠BPE,∠DQF= ∠DQE, 由(1)可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE, 同理可得∠PFQ=∠BPF+∠DQF, 初中数学培优课堂 ∴∠PFQ= ∠BPE+ ∠DQE= (∠BPE+∠DQE),即∠PFQ=  (∠BPE+∠DQE). 初中数学培优课堂 模型解读　如图,AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C(过拐点P作AB (CD)的平行线可证). 初中数学培优课堂   初中数学培优课堂  　平行线间的“铅笔”模型(子弹头型) 3.(2025河北石家庄期中)如图,AB∥CD,那么∠1+∠2+∠3+∠ 4=_______.   540° 初中数学培优课堂 解析　如图,过点H作HE∥AB,过点F作FG∥AB,   ∵AB∥CD, ∴AB∥HE∥FG∥CD, ∴∠1+∠AHE=180°,∠EHF+∠HFG=180°, 初中数学培优课堂 ∠GFC+∠4=180°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4 =∠1+∠AHE+∠EHF+∠HFG+∠GFC+∠4 =540°. 初中数学培优课堂 4.如图1,∠EFH=90°,点A,C分别在射线FE和FH上,AB∥CD. (1)在图1中,若∠FAB=150°,则∠HCD=_____°. (2)嘉嘉同学发现:无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始 终为定值,并给出了一种证明这个发现的辅助线作法如图2,过 点A作AM∥FH,交CD于点M,请你根据嘉嘉同学提供的辅助 线作法,确定该定值,并说明理由. (3)如图3,把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=120°”,其他条件 保持不变,直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系. 　     初中数学培优课堂   图1 图2 图3 初中数学培优课堂 解析    (1)过点F作FG∥AB,如图. ∵FG∥AB, ∴∠AFG+∠FAB=180°, ∵∠FAB=150°, ∴∠AFG=180°-∠FAB=180°-150°=30°, ∵∠EFH=90°, ∴∠CFG=∠EFH-∠AFG=90°-30°=60°, ∵AB∥CD,∴FG∥CD, ∴∠HCD=∠CFG=60°.故答案为60. 初中数学培优课堂   (2)∠FAB-∠HCD=90°. 理由:∵AM∥FH, ∴∠EFH+∠FAM=180°,∠HCD=∠AMC, ∵∠EFH=90°, ∴∠FAM=180°-∠EFH=180°-90°=90°, 初中数学培优课堂 ∵AB∥CD,∴∠BAM=∠AMC=∠HCD, ∴∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°, ∴无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为90°. (3)∠FAB-∠HCD=60°. 详解:过点A作AN∥FH与CD相交于点N,如图, ∵AN∥FH, ∴∠HCD=∠ANC, ∠EFH+∠FAN=180°, ∵∠EFH=120°, 初中数学培优课堂 ∴∠FAN=180°-∠EFH=180°-120°=60°, ∵AB∥CD, ∴∠BAN=∠ANC=∠HCD, ∴∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=60°, 即∠FAB-∠HCD=60°.   初中数学培优课堂 模型解读　如图,AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°(过拐点E 作AB(CD)的平行线可证). 初中数学培优课堂   初中数学培优课堂  　平行线间的“鹰嘴”模型 5.(2025河北秦皇岛昌黎四中月考)为增强学生体质,感受中国 传统文化,某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入 阳光特色大课间.图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间,小玲 把它抽象成图2的数学问题:已知BC∥DE,∠ADE=80°,∠ABC =110°,则∠A的度数是 ( )     B     初中数学培优课堂       图1 图2 A.40°　　　B.30°　　    C.20°　　    D.10° 初中数学培优课堂 解析　如图,过点A作AF∥DE, ∵∠ADE=80°,∴∠FAD=∠ADE=80°, ∵BC∥DE,∴AF∥BC,∴∠FAB=∠ABC=110°, ∴∠BAD=∠FAB-∠FAD=30°.故选B.   初中数学培优课堂 6.(2025河北邯郸临漳期中)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠ CDE=140°,则∠BCD=_____.   40° 初中数学培优课堂 解析　如图,过点C作CF∥AB,   ∵∠ABC=80°,∴∠BCF=∠ABC=80°, ∵AB∥DE,∴DE∥CF,∴∠DCF+∠CDE=180°, ∵∠CDE=140°, ∴∠DCF=180°-140°=40°, ∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°. 初中数学培优课堂 7.(2025河北张家口宣化期末)如图,已知AB∥CD,EF交CD于 点E,∠A=22°,∠DEF=50°,那么∠F的度数为_______.   28° 初中数学培优课堂 解析　如图,过点F作FG∥AB,   ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥FG, ∴∠EFG=180°-∠DEF=130°, ∠AFG=180°-∠A=158°, ∴∠AFE=∠AFG-∠EFG=28°. 初中数学培优课堂 8.(2025河北秦皇岛昌黎四中期中)已知直线AB∥CD,BE,DE 相交于点E. (1)如图1,求∠E与∠ABE,∠CDE之间的数量关系. (2)如图2,求∠E与∠ABE,∠CDE之间的数量关系.   图1 图2 初中数学培优课堂 (3)直接写出图3、图4中,∠E与∠ABE,∠CDE的数量关系.(不 需说明理由) (4)如图5,点E,F在AB上方,AF平分∠BAE,CF平分∠DCE. ①∠AEC和∠AFC有什么数量关系? ②若∠AEC的 倍比∠AFC大40°,则∠AEC=_______°. 初中数学培优课堂   图3 图4 图5 初中数学培优课堂 解析    (1)如图1,过点E作MN∥AB,   图1 ∵AB∥CD,∴MN∥AB∥CD, ∴∠CDE=∠NED,∠ABE=∠NEB, ∵∠BED=∠NED-∠NEB, ∴∠BED=∠CDE-∠ABE, 初中数学培优课堂 (2)如图2,过点E作MN∥AB,   图2 ∵AB∥CD,∴MN∥AB∥CD, ∴∠CDE+∠MED=180°,∠ABE+∠MEB=180°, ∴∠MED=180°-∠CDE,∠MEB=180°-∠ABE, 初中数学培优课堂 ∵∠DEB=∠MED-∠MEB, ∴∠DEB=(180°-∠CDE)-(180°-∠ABE)=∠ABE-∠CDE. (3)如图3,过点E作MN∥AB,   图3 ∵AB∥CD,∴MN∥AB∥CD, ∴∠CDE=∠NED,∠ABE=∠NEB, 初中数学培优课堂 ∵∠BED=∠NEB-∠NED, ∴∠BED=∠ABE-∠CDE, 如图4,过点E作MN∥AB,   图4 ∵AB∥CD, ∴MN∥AB∥CD, 初中数学培优课堂 ∴∠CDE+∠MED=180°,∠ABE+∠MEB=180°, ∴∠MED=180°-∠CDE,∠MEB=180°-∠ABE, ∵∠DEB=∠MEB-∠MED, ∴∠DEB=(180°-∠ABE)-(180°-∠CDE) =∠CDE-∠ABE, (4)①如图5,过点E作MN∥AB,过点F作PQ∥AB, 初中数学培优课堂   图5 ∵AB∥CD,∴MN∥AB∥CD∥PQ, ∴∠DCE+∠MEC=180°,∠BAE+∠MEA=180°, ∴∠MEC=180°-∠DCE,∠MEA=180°-∠BAE, 初中数学培优课堂 ∴∠AEC=∠MEA-∠MEC =(180°-∠BAE)-(180°-∠DCE) =∠DCE-∠BAE, ∵MN∥AB∥CD∥PQ, ∴∠PFC=∠DCF,∠BAF=∠PFA, ∴∠AFC=∠PFC-∠PFA=∠DCF-∠BAF, ∵AF平分∠BAE,CF平分∠DCE, ∴∠DCF= ∠DCE,∠BAF= ∠BAE, 初中数学培优课堂 ∴∠AFC=∠DCF-∠BAF= (∠DCE-∠BAE)= ∠AEC. ②由①得∠AFC= ∠AEC, ∵∠AEC的 倍比∠AFC大40°, ∴ ∠AEC=∠AFC+40°, 即 ∠AEC= ∠AEC+40°, 解得∠AEC=40°. 故答案为40. 初中数学培优课堂 模型解读　如图,AB∥CD,则∠AEC=∠C-∠A. 初中数学培优课堂   初中数学培优课堂 $