10.3 三角形的角平分线、中线和高线-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形的角平分线、中线和高线，通过作图题（如用直角三角尺作高）引入，结合辨析题巩固定义，再到综合应用（如周长差、面积计算），构建从概念到应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，通过折叠操作、等积法计算等实例（如用面积公式求最短距离、推理角度关系），培养学生数学眼光和思维。采用例题解析与变式训练结合的教学方法，既帮助学生深化概念理解，又提升教师教学效率，促进学生应用意识和创新意识的发展。

第十章　三角形 10.3　三角形的角平分线、中线和高线 初中数学培优课堂    　三角形的角平分线、中线和高线 1.(2025河北石家庄外国语学校期末)借助直角三角尺作△ ABC的边BC上的高,下列直角三角尺的位置摆放正确的是  ( )   A B C D 　A     初中数学培优课堂 解析　∵三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作 三角形的高,∴借助直角三角尺作△ABC的边BC上的高,直角 三角尺的位置摆放正确的是A选项.故选A. 初中数学培优课堂 2.下列说法正确的是 ( ) A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C.三角形的重心是三角形三条中线的交点 D.直角三角形的三条中线的交点是斜边的中点 　C     初中数学培优课堂 解析　A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内 部,原说法错误;B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的内 部,原说法错误;C.三角形的重心是三角形三条中线的交点,原 说法正确;D.直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部, 原说法错误.故选C. 初中数学培优课堂 3.(2025河北张家口桥西期中)如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则AD是 △ABC的 ( )   A.高线　　　B.角平分线 C.中线　　　D.以上都不是 　B     初中数学培优课堂 解析　∵∠1=∠2=∠3=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,∴∠BAD= ∠CAD,∴AD是△ABC的角平分线.故选B. 初中数学培优课堂 4.(2025河北沧州十四中月考)如图,CD,CE,CF分别是△ABC 的高线,角平分线,中线,则下列结论错误的是 ( )   A.AB=2BF　　　B.∠ACE= ∠ACB C.AE=BE　　　D.CD⊥BE 　C     初中数学培优课堂 解析　∵CD,CE,CF分别是△ABC的高线,角平分线,中线, ∴ AB=2BF,∠ACE= ∠ACB,CD⊥BE,故A,B,D结论正确,不符 合题意;由已知条件无法得到AE=BE,故C错误,符合题意.故选 C. 初中数学培优课堂 5.(2025河北廊坊霸州月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB =10,BC=6,AC=8,点D是线段AB上一点,则线段CD的长度不可 能是 ( )   A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7 　A     初中数学培优课堂 解析　如图,过C作CE⊥AB交AB于点E,   ∵∠ACB=90°,∴ AB·CE= AC·BC, ∴ ×10·CE= ×8×6,∴CE= ,根据垂线段最短,得CD≥CE,∴ 线段CD的长度不可能是4.故选A. 初中数学培优课堂 6.下图是甲、乙、丙三位同学的折纸的示意图(折叠后点C落 到点C'处). 甲 乙 丙     初中数学培优课堂 (1)其中AD是BC边上的中线的是_______. (2)其中AD是BC边上的高的是_______. (3)其中AD是∠BAC的平分线的是_______. 丙 甲 乙 初中数学培优课堂 7.(2025陕西咸阳秦都期末)如图,在△ABC中,CE是△ABC的 角平分线,点D在AC边上(不与点A,C重合),连接BD交CE于点 F.   (1)若BD是△ABC的中线,AB=10,BC=9,求△ABD与△BCD的 周长之差. 初中数学培优课堂 (2)若BD是△ABC的高,∠ACB=68°,求∠BFC的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD. ∵AB=10,BC=9,∴△ABD的周长=AD+BD+10,△BCD的周长 =CD+BD+9. ∴△ABD与△BCD的周长之差为 AD+BD+10-(CD+BD+9) =AD+BD+10-CD-BD-9=10-9=1. (2)∵BD是△ABC的高,∴∠BDC=90°. ∵CE是△ABC的角平分线, ∴∠DCF= ∠ACB= ×68°=34°, 初中数学培优课堂 ∴∠BFC=∠BDC+∠DCF=90°+34°=124°. 初中数学培优课堂   8.【学科特色·教材变式P138T1】(★★☆)在△ABC中,AC=7, BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形,则 AB的长为 ( ) A.2　　　B.19　　　C.2或19　　　D.2或12 　D     初中数学培优课堂 解析　∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,依题意,分两种情况: ①当AB>AC时,AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=5,∵AC =7,∴AB=5+7=12; ②当AB<AC时,AC+CD+AD-(AB+BD+AD)=AC-AB=5,∵AC =7,∴AB=7-5=2. 综上,AB的长为2或12.故选D. 初中数学培优课堂 9.(2025河北石家庄四十八中月考,★★☆)如图,△ABC的面积 是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则四边形AFDG 的面积是 ( )   A.6　　　B.5　　　C.4.5　　　D.4 　A     初中数学培优课堂 解析　∵点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,∴AD是△ ABC的中线,BE是△ABD的中线,CE是△ACD的中线,AF是△ ABE的中线,AG是△ACE的中线,DF是△DBE的中线,DG是△ CDE的中线, ∴S△AEF= S△ABE= S△ABD= S△ABC= ×12= ,同理可得S△DEF=S△AEG =S△DEG= ,∴四边形AFDG的面积为 ×4=6.故选A. 初中数学培优课堂 10.(2025山东日照经开区月考,★★☆)如图,在△ABC中,∠ BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是高,BE是中线,CF是角平 分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是  ( )        　D 初中数学培优课堂 ①△BCE的周长-△ABE的周长=4; ②△ACF的面积=△BCF的面积; ③∠AFG=∠AGF; ④∠FAG=2∠ACF; ⑤AD=2.4. A.①③⑤　　　B.②③④⑤ C.①③④⑤　　　D.①③④ 初中数学培优课堂 解析　∵BE是△ABC的中线,∴AE=CE,∵△BCE的周长=BC +CE+BE,△ABE的周长=AB+AE+BE, ∴△BCE的周长-△ABE的周长=BC-AB=10-6=4, 故①说法正确;在△ABC中,∠BAC=90°,∴AC⊥AB,∴S△ACF=  AF·AC,S△BCF= BF·AC,∵CF是△ABC的角平分线,∴AF≠ BF,∴S△ACF≠S△BCF,故②说法不正确;∵∠BAC=90°,AD是△ ABC的高, ∴∠AFG+∠ACF=90°,∠DGC+∠DCG=90°,∵CF是△ABC的 初中数学培优课堂 角平分线,∴∠ACF=∠DCG,∴∠AFG=∠DGC,∵∠AGF=∠ DGC,∴∠AFG=∠AGF,故③说法正确;∵∠BAC=90°,AD是 △ABC的高,∴∠FAG+∠DAC=90°,∠DAC+∠ACD=90°,∴ ∠FAG=∠ACD,∵CF是△ABC的角平分线,∴∠ACD=2∠ ACF,∴∠FAG=2∠ACF,故④说法正确; ∵∠BAC=90°,AD是△ABC的高, ∴S△ABC= AB·AC= AD·BC,∴ ×6×8= ×AD×10,∴AD=4.8, 故⑤说法错误.综上,①③④说法正确.故选D. 初中数学培优课堂   11.【新课标·推理能力】(2025河南信阳罗山期末)在△ABC 中,CE平分∠ACB,∠A>∠B. (1)如图1,若CD⊥AB于点D,∠A=70°,∠B=40°,则∠DCE的度 数为_______. (2)如图1,若CD⊥AB于点D,则∠A,∠B,∠DCE之间的数量关 系为_____________. (3)如图2,设∠A=α,∠B=β,当点F在CE的延长线上时,作FD⊥ AB于点D,求∠DFE的度数.(用含α,β的式子表示). 初中数学培优课堂 图1  图2 初中数学培优课堂 解析    (1)15°.详解:∵∠A=70°,∠B=40°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=  ∠ACB=35°,∵CD⊥AB,∠A=70°,∴∠ACD=180°-90°-∠A=2 0°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=15°. (2)∠DCE= (∠A-∠B). 详解:∵∠ACB+∠B+∠A=180°, ∴∠ACB=180°-∠B-∠A, ∵CE平分∠BCA, 初中数学培优课堂 ∴∠ACE= ∠BCA= (180°-∠A-∠B), ∵CD⊥BA,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=180°-90°-∠A=90°-∠A, ∴∠DCE=∠ACE-∠ACD= (180°-∠A-∠B)-(90°-∠A)= ∠ A- ∠B= (∠A-∠B). (3)∵∠ACB+∠B+∠A=180°, ∴∠ACB=180°-∠B-∠A=180°-β-α, ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE= ∠ACB= (180°-β-α), 初中数学培优课堂 ∴∠DEC=∠A+∠ACE=α+ (180°-β-α)=90°+ α- β, ∵DF⊥AB,∴∠FDE=90°, ∴∠DFE=∠DEC-∠FDE= -90°= α- β= (α- β),即∠DFE的度数为 (α-β). 初中数学培优课堂 微专题　利用等积法求三角形的高或面积     (2024河北承德平泉期末)在△ABC中,高AD=2,高CE= 4,则边AB∶BC是 ( ) A.1∶2　　　B.2∶1　　　C.3∶1　　　D.1∶3 　A     例题 初中数学培优课堂 解析　　∵S△ABC= AB·CE= BC·AD,AD=2,CE=4,∴2AB= BC,∴AB∶BC=1∶2.故选A. 初中数学培优课堂 变式1    (2024河北衡水景县二中期末)如图,已知△ABC中, BD,CE分别为它的两条高线,BD=6,CE=5,AB=12,则AC=  ( )   A.10　 　B. 　 　C. 　 　D.7 A     初中数学培优课堂 解析 　　由题意知S△ABC= AB·CE= AC·BD, ∴AC= = =10.故选A. 初中数学培优课堂 变式2    (2025河北石家庄四十八中期末)如图,AD是△ABC的 中线,CE是AB边上的高,AB=4,S△ADC=6,则CE= ( )   A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6 　D     初中数学培优课堂 解析 　∵AD是△ABC的中线,S△ADC=6, ∴S△ABC=2S△ADC=2×6=12,∵CE是AB边上的高, ∴S△ABC= AB·CE=12,∴2CE=12,∴CE=6.故选D. 初中数学培优课堂 $