7.2 第1课时 对顶角和垂线-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦相交线中的对顶角和垂线，通过剪刀角度变化、路灯距离等生活实例导入，从定义（对顶角、垂线）到性质（对顶角相等、垂线段最短），再到实际应用（如立定跳远距离计算），构建概念到应用的学习支架。 其亮点在于融合分类讨论、方程思想等学科特色，结合光的折射、立定跳远等跨学科案例，以数学眼光观察现实，用数学思维分析问题（如分类求角度），用数学语言解决实际问题。学生能提升推理与应用能力，教师可丰富教学资源，贴合新课标核心素养。

第七章　相交线与平行线 第1课时　对顶角和垂线 7.2　相交线 初中数学培优课堂  　对顶角 1.(2025河北邯郸丛台汉光实验学校月考)下列图形中,∠1和 ∠2是对顶角的是 ( )   A B C D     C     初中数学培优课堂 解析    A.∠1和∠2的两边不互为反向延长线,没有公共顶点, 不是对顶角,不符合题意;B.∠1和∠2的两边不互为反向延长 线,不是对顶角,不符合题意;C.∠1和∠2符合对顶角的定义,是 对顶角,符合题意;D.∠1和∠2的两边不互为反向延长线,不是 对顶角,不符合题意.故选C. 初中数学培优课堂 2.(2025河北石家庄四十二中期中)如图所示的是一把剪刀,在 使用过程中,若∠COD增加20°,则∠AOB( )   A.减少20° B.增加20° C.不变 D.增加40°     B     初中数学培优课堂 解析　∵∠COD=∠AOB(对顶角相等),∴当∠COD增加20° 时,∠AOB也会增加20°.故选B. 初中数学培优课堂 3.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北廊坊广阳月考)两条 直线相交所成的四个角中,有两个角分别是(2x-10)°和(110-x) °,则x=_________. 40或80 初中数学培优课堂 解析　两条直线相交所成的四个角中,对顶角相等,邻补角互 补,根据题意可得(2x-10)°=(110-x)°或(2x-10)°+(110-x)°=180°, 解得x=40或x=80. 初中数学培优课堂 4.(2025河北联邦外国语学校月考)如图,直线AB,CD相交于点 O,OE平分∠BOD,∠AOC=74°,∠DOF=90°,∠BOE=___°,∠E- OF=____°.   53 37 初中数学培优课堂 解析　∵∠AOC=74°,∴∠BOD=∠AOC=74°,∵OE平分∠ BOD,∴∠BOE=∠DOE= ∠BOD= ×74°=37°,∵∠DOF=90°, ∴∠EOF=90°-37°=53°. 初中数学培优课堂  　垂线的定义及垂线的画法 5.在平面内作已知直线的垂线,可作垂线 ( ) A.0条　　    B.1条　　    C.2条　　    D.无数条     D     初中数学培优课堂 解析　在同一平面内,与已知直线垂直的直线有无数条,所以 在平面内作已知直线的垂线,可作无数条.故选D. 初中数学培优课堂 6.(2025河北廊坊霸州期中)下列各图中,利用直角三角板过直 线l外一点P画l的垂线CD,画法正确的是 ( )   A B C D     D     初中数学培优课堂 解析　根据分析可得D的画法正确.故选D. 初中数学培优课堂 方法归纳    过直线上(外)一点画已知直线的垂线 一落:把三角板的一条直角边放在已知直线上;二移:沿直线移 动三角板,使三角板的另一条直角边经过已知点;三画:过已知 点沿三角板的另一条直角边画一条直线;四标:在垂足处标出 垂直符号. 初中数学培优课堂 7.(2025河北唐山路南期中)如图,直线AB和CD相交于点O,OE ⊥OC.若∠AOC=40°,则∠EOB的大小为 ( )   A.30°　　    B.40°　　    C.50°　　    D.60°     C     初中数学培优课堂 解析　∵OE⊥OC,∴∠COE=90°,∵∠AOC+∠COE+∠BOE= 180°,∠AOC=40°,∴∠EOB=180°-90°-40°=50°.故选C. 初中数学培优课堂  　垂线段的定义及性质 8.如图,点A是直线l外一点,点B,C,D在直线l上,连接AB,AC,AD, 若AC⊥l,则点A到直线l的距离是 ( ) A.线段AB的长 B.线段AC的长 C.线段AD的长 D.线段BD的长     B     初中数学培优课堂 解析　根据垂线段的定义可知点A到直线l的距离为线段AC 的长. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·教材变式P40T2】(2025河北石家庄桥西期末) 如图,某地进行城市规划,在一条新修公路旁有一超市,现要建 一个汽车站,为了使超市距离车站最近,决定在公路上点C处 来建汽车站,依据是    ( )       B     初中数学培优课堂 A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短 C.过一点可以作无数条直线 D.两点确定一条直线 初中数学培优课堂 解析　根据题意得在连接超市O和公路AD上的四点A,B,C,D 的连线中,只有OC⊥AD,∴为了使超市距离车站最近,车站应 该修建在点C处.依据是垂线段最短. 初中数学培优课堂 10.(2025河北廊坊霸州期中)如图,点M,N处各安装了一个路 灯,点P处竖有一广告牌,测得PM=7 m,PN=5 m,则点P到直线 MN的距离可能为( )   A.7 m　　    B.6 m C.5.5 m　　    D.4 m     D     初中数学培优课堂 解析　∵PM=7 m,PN=5 m,∴点P到直线MN的距离小于5 m. 故选D. 初中数学培优课堂   11.【跨体育与健康·立定跳远】(2025河北唐山路南期中,★ ★☆)立定跳远是中考体育项目之一,女生成绩达到或超过1.8 5 m获得满分,达到或超过1.95 m获得加分.如图,一女生在起跳 线l上的点A处起跳,BC⊥l,垂足为C.若该女生获得满分但未获 得加分,则下列说法中正确的是 ( )     D     初中数学培优课堂   A.BC可能为1.95 m B.BC可能为1.8 m C.AB可能为1.85 m D.AB可能为1.95 m 初中数学培优课堂 解析　∵该女生获得满分但未获得加分,∴点B到直线l的距 离在1.85 m~1.95 m的范围内(包括1.85 m,不包括1.95 m),∵ AB>BC,∴AB可能为1.95 m,故选项D符合题意.故选D. 初中数学培优课堂 12.【学科特色·方程思想】(2025河北石家庄赵县期中,★★ ☆)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC∶ ∠EOB=2∶9,则∠BOD的度数是( )   A.15°　　    B.16°　　    C.18°　　    D.20°　         C     初中数学培优课堂 解析    由题意可设∠EOC=2x,∠EOB=9x,∵OA平分∠EOC,∴ ∠AOC=∠AOE= ∠EOC=x,∠AOE+∠EOB=180°,即x+9x=18 0°,解得x=18°,∴∠EOA=∠AOC=18°,∴∠BOD=∠AOC=18°. 故选C. 初中数学培优课堂 13.【跨物理·光的折射】(2025江西南昌月考,★★☆)光线从 空气射入水中会发生折射现象,如图1所示.小华为了观察光线 的折射现象,设计了如图2所示的实验.通过细管可以看见水底 的物块,但从细管穿过的直铁丝,却碰不上物块.图3是实验的 示意图,点A,C,B在同一直线上,若∠PDM=50°,∠BDC=20°,则 ∠CDN=______. 30° 图1 初中数学培优课堂 图2    图3 初中数学培优课堂 解析　由题意得,∠PDM=∠BDN=50°, ∴∠CDN=∠BDN-∠BDC=50°-20°=30°. 初中数学培优课堂   14.【新课标·推理能力】(2025河北沧州献县二中期末)【问 题背景】 直线EF,CD相交于点O,∠AOB=90°,∠AOF的平分线在直线 CD上. 【数学理解】 (1)如图1,OC平分∠AOF. ①若∠AOE=50°,求∠BOD的度数. ②若∠AOE=α,请直接写出∠BOD的度数(用含α的代数式表示). 初中数学培优课堂 【构建联系】 (2)如图2,OD平分∠AOF,若∠AOE=β,求∠BOD的度数(用含β 的代数式表示). 【总结应用】 (3)在(2)的条件下,若∠BOD=20°,请直接写出∠DOE的度数.   图1 初中数学培优课堂       图2 初中数学培优课堂 解析    (1)①∵∠AOE=50°,∴∠AOF=180°-50°=130°,∵OC平 分∠AOF,∴∠AOC=∠COF= ∠AOF=65°,∴∠DOE=∠COF =65°, ∵∠AOB=90°, ∴∠BOE=90°-∠AOE=40°,∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=25°. ②∵∠AOE=α,∴∠AOF=180°-α,∵OC平分∠AOF,∴∠COF=  ∠AOF=90°- α,∴∠DOE=∠COF=90°- α, ∵∠AOB=90°,∴∠BOE=90°-∠AOE=90°-α, 初中数学培优课堂 ∴∠BOD=∠DOE-∠BOE= α. (2)∵∠AOE=β,∠AOB=90°,∴∠BOF=180°-90°-β=90°-β, ∠AOF=180°-β,∵OD平分∠AOF, ∴∠DOF= ∠AOF=90°- β, ∴∠BOD=∠DOF-∠BOF= β. (3)由(2)可知∠BOD= ∠AOE, ∵∠BOD=20°,∠AOB=90°, ∴∠AOE=40°,∠AOD=70°, 初中数学培优课堂 ∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=110°. 初中数学培优课堂 $