精品解析：辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期4月校内自主训练数学试题

高二年级4月校内自主训练 数学学科 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 25 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 2. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】先应用等差数列项的性质计算得出，再结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，且 ， 又 ，所以，解得， 则 . 3. 已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，且公差均为1. 若数列为单调递增的数列，则； 所以“为单调递增的数列”是“”的充分条件， 若，要证明数列单调递增， 只需证明对任意恒成立， 当为奇数时，设， ，， 当为偶数时，设， ，， 综上，恒成立，故数列是单调递增数列， “为单调递增的数列”是“”的充要条件． 故选：C． 4. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 5. 已知数列满足，，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】数列中，，， 则， 因此数列是周期数列，周期为3，而， 所以. 6. 已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 7. 已知数列满足，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到，，再由裂项相消法可得， 从而得到结果. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得：，即，， 又当时，有也满足上式， 所以. 则，， 则数列的前项和. 所以. 故选:D 8. 在数列中，，，则（ ） A. 0 B. 2458 C. 2460 D. 2459 【答案】D 【解析】 【分析】变形给定的递推公式并构造新数列，利用累加法求出通项公式即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 则，， 当时， ，而满足上式，因此， ， 所以. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法中，不正确的是（    ） A. 若，则成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若等比数列的前项和，则 D. 为等比数列，为前项和，则仍为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比、等差数列的概念可对AB进行判断，根据与的关系可由求出数列的通项公式，从而判断CD. 【详解】对于A，当时有，此时不成等比数列，故A错误； 对于B，数列为等差数列，设等差数列的公差为，则， ，且首项， 数列是为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，，当时，， 当时，， 数列为等比数列，，即， 解得，故C错误； 对于D，当时，为等比数列，，， ，不满足成等比数列，故D错误. 10. 如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）. A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量基本定理和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到可判断B；利用等比数列通项公式求得的通项，进而得到，可判断A和C；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，可判断D. 【详解】为中点，，即， 三点共线，， 又， 由平面向量基本定理得， 化简得：，， 是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，，故C错误； 则，故A正确； ，故D正确. 11. 已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（    ） A. 数列是递减数列 B. C. 存在，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，设，由的符号判断数列单调性；选项B，由的递推式，推导的表达式，进而结合A判断其与2的大小关系； 选项C，D，当时，代入不等式验证即可. 【详解】令，由 ，两边取倒数得：， ，故，且所有 . 选项A：由，得递增，故递减，A正确； 选项B：，由递增，， 故，即，B正确； 选项C：当时，，C正确； 选项D： 当时，不等式左边，不等式右边， ，不等式不成立，D错误. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列中，，，则的前200项和_________. 【答案】 【解析】 【分析】 当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出. 【详解】由，，得. 当时，，所以，即， 所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列. 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题. 13. 设函数，，．则数列的前n项和______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求. 【详解】由题设，， 所以， 即且n ≥ 2， 当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 14. 已知数列满足，则的通项公式_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过对递推公式相加、相减，分别构造出和为等比数列， 求出这两个数列的通项，再联立解出. 【详解】 ，则； 同理可得 ， 所以． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 16. 已知数列满足，，数列满足． （1）求，的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义可求出的通项公式，对于取倒数处理，构造等差数列，得到的通项公式； （2）利用裂项求和，先得出表达式，对于不等式，可分离参数处理. 【小问1详解】 因为且，所以， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以的通项公式为：， 因为，，所以， 所以，所以． 又因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以 所以的通项公式为： 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以， 又因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，，又因为， 所以，恒成立， 因为，所以， 所以的取值范围为 17. 已知数列满足．记（）． （1）计算，并证明数列为等比数列； （2）设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】（1），，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系求，并得到，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，则，进而可得即可证. 【小问1详解】 由题设， ， ，且， 数列是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，则， ． . 18. 已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. （1）求、； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【小问1详解】 由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. 【小问2详解】 由（1）知，， （拆项方法二）：， 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， （1）求； （2）求的通项公式，求 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用数列构造法及累加法求出通项公式即可. 【小问1详解】 依题意，质点运动到的概率，则. 【小问2详解】 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 则，即， 而，因此是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级4月校内自主训练 数学学科 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 25 C. 30 D. 33 2. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 3. 已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 5. 已知数列满足，，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 7. 已知数列满足，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，，，则（ ） A. 0 B. 2458 C. 2460 D. 2459 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法中，不正确的是（    ） A. 若，则成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若等比数列的前项和，则 D. 为等比数列，为前项和，则仍为等比数列 10. 如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）. A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（    ） A. 数列是递减数列 B. C. 存在，使得 D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列中，，，则的前200项和_________. 13. 设函数，，．则数列的前n项和______． 14. 已知数列满足，则的通项公式_____． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知数列满足，，数列满足． （1）求，的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围． 17. 已知数列满足．记（）． （1）计算，并证明数列为等比数列； （2）设，且数列的前项和为，求证：． 18. 已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. （1）求、； （2）求数列的前n项和. 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， （1）求； （2）求的通项公式，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $