专题01 三角形中的特殊模型之燕尾（飞镖）型与三角板模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理三角形倒角模型知识体系，涵盖燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型的来源、核心结论、证明过程及拓展应用，用思维导图呈现模型间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“模型口诀+动态探究”的创新设计，如“见飞镖，找四角”帮助快速联想，翻角模型通过折叠操作深化静态角度守恒理解。真题例题如飞镖模型证明题、翻角折叠计算题，培养推理能力与几何直观，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学。

专题01.三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.飞镖（燕尾）模型 4 模型2.三角板模型 10 14 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ，故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵，∴， ∵，∴； （3）如图，延长交于点F，∵， ∴，故答案为：； （4）延长，交于点G，如图：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴．而图中，∴应减少．故答案为：减少，10． （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴；故选：B． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 飞镖模型拓展1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·山东·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ， ，即． 例2（24-25重庆八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A. 例3（24-25七年级下·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 【答案】(1)，理由见解析(2)①50；②85；③ 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点A，D作射线， 由三角形外角的性质得：， ∵，∴； （2）解：①由（1）得：， ∵，，∴；故答案为：50 ②由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴，∴，∵，∴； ③由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故答案为： 例4（24-25江苏南京·七年级校考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______）∴，（等式性质） ∵，∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 【答案】（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤ 【详解】（1）∵，（三角形内角和180°） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（等量代换） 故答案为：三角形内角和180°；等量代换． （2）如图，延长交于， ， ，， 由三角形外角性质可知，，，∴． （3）①如图①所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∴，∴； ②如图②所示，连接BC， 根据（1）中结论，得，∴， ∵与的角平分线交于点，∴，, ∴， ∵，， ∴，∴， ∵，∴； ③如图③所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∵，，∴， ∵与的十等分线交于点，∴，, ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； ④如图④所示，设与的交点为点， ∵平分，平分，∴，， ∵，，∴, ∴, ∴，即； ⑤∵，的角平分线交于点，∴， ∴． 例5（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴，∴；∵，∴ （2）过点作，交、于、，则， 由（1）知 ∵， ∴ 即（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·河南新乡·期末）将一幅直角三角尺如图放置，使含角的三角尺的一条直角边与含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，由三角形的外角性质得，， 则，故选：C． 例2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记交于点，如图所示： ，，，，；故选：C． 例3（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是两块学生用的三角尺，其中，，．小明在探究角度关系时，把两块三角尺按如图所示方式放置，使得恰好平分，边与边，分别相交于点，，边与边相交于点，求的大小． 【答案】/105度 【详解】解：，，． 又平分，， ，． 又，．故答案为： 例4（24-25··辽宁·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：由题意知，，∴，①不一定正确，故不符合要求； ∵，∴， ∴与互为补角，②一定正确，故符合要求；∵，∴， ∵，∴，③一定正确，故符合要求； 由题意知，，即， ∵，∴，∴，④一定正确，故符合要求；故选：B． 例5（24-25·七年级下·四川成都·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1)(2)或或(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）①当时, 如图所示, ，，即 ， ②当时， 如图所示，过点作，∴， ∴， ∴，， ∴；∴； 当时， 如图所示，如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵,∴， ∵,∴. 1．（24-25·山东烟台·七年级统考期中）一副三角板如图摆放，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，    ∵，，，∴，， ∵，∴，故选D 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：，， ，，．故选：C 3．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点E，是的一个外角，， ，，是的一个外角，， ，，， ，解得：，故选：B． 4．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为 ． 【答案】/40度 【详解】解：连接，如图， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 6．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 【答案】 【详解】如下图所示，连接BC，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 7．（24-25·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）    【答案】①③④ 【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上∴ ∵∴故①正确；②如图1：过点C作           当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大∴的度数在逐渐减小 当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大故②错误； ③当直线与线段交于点M，如图2：∵ ∴∴ 当直线与线段的延长线交于点M，如图3：∵ ∴∴ 故若直线与直线交于点M，则为定值故③正确； ④当点E在线段上时，且，则； 当点E在线段上时，且，则； 当时，则；∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个故④正确；故答案为：①③④ 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵，∴， ∵，∴故答案为： ． 9．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，设交于F， 设，平分，， ，， 平分，， ，， ，，故答案为：． 10.（24-25浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接． 由轴对称图形的性质可得，． 在中，，在中，． 因此，所以． 11.（24-25广东·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）=++，理由见详解；（2）21° 【详解】解：（1）=++，理由如下：连接CD并延长到点E， ∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B， ∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++． （2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°， ∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°， ∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B， ∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°． 12．（24-25·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系．    小红：以用三角形内角和定理去解决．小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________） ∴（等式性质） ∵________， ∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______．    【答案】(1)三角形的内角和定理，，，等量代换(2)过程见解析(3) 【详解】（1）解：∵（三角形的内角和定理）， ∴（等式性质）， ∵， ∴，∴．（等量代换）， 故答案为：三角形的内角和定理，，，等量代换． （2）解：如图①，延长交于，    由题意知，，∴； （3）解：由（1）可知，， ∵，∴，故答案为：． 13．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，，∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵∴ ∴． 解答下列问题．(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1)见详解(2)50(3)230° 【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴， ∵∴∴ （2）解：∵∴把代入， 得解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得；在四边形中，得； ∵ ∴即． 14.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题 (1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． (2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ①如图4，若设，，则 ； ②如图5，若设，，请在图中画出，则 ； ③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由． 【答案】(1)；(2) (3)；；当且仅当满足时不存在 【详解】（1）解：①∵和的角平分线相交于点O，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∵，∴； ②∵和的三等分线相交于点、，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∵，∵，． 故答案为：；； （2）①由（1）①得，∵，∴ ②由（1）②得，∵，∴ ③由①②可得，； ∴若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 故答案为：，； （3）①∵，∴，∴，∴，∴． ∵，，∴故答案为：； ②如图，∵，∴， ∴，∴； ∵，，∴．故答案为：； ③当时，不存在， 如图，的角平分线及外角的平分线分别是和． ∵，∴，∴． ∵的角平分线及外角的平分线分别是和，∴， ∴的角平分线及外角的平分线平行，∴不存在，∴当时，不存在． 15．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 16．（23-24七年级下·广东广州·期末）【阅读材料】项目式学习活动主题：玩转三角板 活动材料准备：三角板一副（含角三角板一个，含角三角板一个） 【实验探究】活动一：如图1，将含角三角板和含角三角板叠放在一起，使直角顶点重合，点D落在线段上，点E落在线段上．    （1）如图1中，的度数是（    ） A．                    B．                    C．                    D． 活动二：按照活动一的方式叠放这副三角板，保持三角板不动，绕点A旋转三角板（旋转角度大于且小于）． （2）若经过旋转后三角板的边所在直线与直线垂直时，的度数是（    ） A．                    B．                    C．或            D．或 （3）若经过旋转后三角板的边所在直线与直线平行时，的度数是（    ） A．                    B．或          C．或            D．或 活动三：按照活动一的方式叠放这副三角板，保持三角板不动，将合角的三角板沿着的方向平移，使点与点重合，点D对应点，点A对应点． （4）若和形成的夹角的度数记为，那么与形成的夹角的度数可以记为（    ） A．                B．              C．                D． 【答案】（1）A；（2）D；（3）B；（4）D 【详解】解：（1）∵∴ ∵∴故选：A． （2）顺时针旋转时，三角板的边所在直线与直线垂直，如图所示：       ∵∴ ∵∴即； 逆时针旋转时，三角板的边所在直线与直线垂直，如图所示： ∵∴，∴； 综上分析可知：或；故选：D； （3）如图所示：过点A作 ∵，∴，∴， ∴，       记与的交点为，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：B； （4）依题意，如图所示： ∵保持三角板不动，将合角的三角板沿着的方向平移，使点与点重合，点D对应点，点A对应点．∴，，∴， ∴；故选：D． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.飞镖（燕尾）模型 4 模型2.三角板模型 10 14 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 飞镖模型拓展1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·山东·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2（24-25重庆八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 例4（24-25江苏南京·七年级校考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______）∴，（等式性质） ∵，∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 例5（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·河南新乡·期末）将一幅直角三角尺如图放置，使含角的三角尺的一条直角边与含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是两块学生用的三角尺，其中，，．小明在探究角度关系时，把两块三角尺按如图所示方式放置，使得恰好平分，边与边，分别相交于点，，边与边相交于点，求的大小． 例4（24-25··辽宁·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例5（24-25·七年级下·四川成都·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 1．（24-25·山东烟台·七年级统考期中）一副三角板如图摆放，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为 ． 6．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 7．（24-25·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）    8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 9．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 10.（24-25浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 11.（24-25广东·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 12．（24-25·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系．    小红：以用三角形内角和定理去解决．小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________） ∴（等式性质） ∵________， ∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______．    13．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，，∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵∴ ∴． 解答下列问题．(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 14.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题 (1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． (2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ①如图4，若设，，则 ； ②如图5，若设，，请在图中画出，则 ； ③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由． 15．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 16．（23-24七年级下·广东广州·期末）【阅读材料】项目式学习活动主题：玩转三角板 活动材料准备：三角板一副（含角三角板一个，含角三角板一个） 【实验探究】活动一：如图1，将含角三角板和含角三角板叠放在一起，使直角顶点重合，点D落在线段上，点E落在线段上．    （1）如图1中，的度数是（    ） A．                    B．                    C．                    D． 活动二：按照活动一的方式叠放这副三角板，保持三角板不动，绕点A旋转三角板（旋转角度大于且小于）． （2）若经过旋转后三角板的边所在直线与直线垂直时，的度数是（    ） A．                    B．                    C．或            D．或 （3）若经过旋转后三角板的边所在直线与直线平行时，的度数是（    ） A．                    B．或          C．或            D．或 活动三：按照活动一的方式叠放这副三角板，保持三角板不动，将合角的三角板沿着的方向平移，使点与点重合，点D对应点，点A对应点． （4）若和形成的夹角的度数记为，那么与形成的夹角的度数可以记为（    ） A．                B．              C．                D． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $