专题03 三角形中的特殊模型之“8”字模型与“A”字模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理三角形倒角模型知识体系，涵盖高分线模型、双垂直模型及子母型双垂直模型，以“模型来源-真题引入-条件结论-证明推导”逻辑呈现，用对比表格归纳模型核心特征，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型变式+分层练习”设计，如高分线模型通过点位置变化（边上、延长线上）设置例题，双垂直模型结合角度计算与线段关系题，培养学生推理意识与几何直观。基础题巩固模型应用，拓展题提升综合分析能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主构建模型观念。

专题03.三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.“8”字模型 4 模型2.“A”字模型 9 12 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)①，；② (3) 【详解】（1）证明：，，； （2）①，，； ，，； 故答案为：，； ②如图所示：和的平分线和相交于点，，， 由(1)得，，，． ，，； （3）解：，理由如下：与分别平分与， ，， 和的平分线和相交于点，，， ，， ，， ，，， 四边形，， ，， ，，， ，，． （2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，即，故选：． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD； 结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO； 在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC； ∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意； B、，，说法正确，不符合题意； C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意； D、，，，， ，说法正确，不符合题意；故选：C． 例2（24-25八年级·山东·培优）如图，已知，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在图中标记，由图可知，，， ∵，∴在中，，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 例3（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，与交于点，则的度数为 ． 【答案】/540度 【详解】解∶ 连接， ∵，，，∴， ∴ ，故答案为：． 例4（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知如图，线段相交于点，连接，我们把形如图的图形称之为“字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图中，请写出之间的数量关系，并说明理由．            (2)仔细观察，在图中“字形”的个数______个；(3)在图中，若，和的平分线和相交于点，并且与分别相交于利用（1）的结论，试求的度数； (4)如果图中和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） (5)①在图中，平分的外角，平分的外角，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） ②在图4中，的平分线所在直线与的外角的平分线相交于点，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） 【答案】(1)(2)(3)的度数为 (4) (5) 【详解】（1）解：在中，，在中，， ∵，∴，∴． （2）解：根据题意得，与，与，与，与均能组成“字形”，∴有个，故答案为：． （3）解：如图所示，，平分，平分，       ∵与是“字形”，∴， ∴或， ∵平分，平分，∴，， ， ∵与是“字形”，∴， ∴， ∴，∴的度数为． （4）解：如图所示，作，的角平分线交于点，∴， ∵平分，平分，，∴，， ∴，即， 同理，平分，平分，∴， 由（3）的结论可知，，在四边形中，， ∴，∴． （5）解：如图所示，是的角平分线，延长交的角平分线于点，    ∵平分，平分，， ∴， ∴，根据题意可知，点在一条直线上，∴是直角三角形， 由（3）可知，，∴在中，， ∴． 例5（24-25·广东·七年级校考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解 【详解】（1）解：，理由如下： ，，，即； （2）证明：平分，， 在和中，，，； （3）证明：在上取一点，使，连接交于点， 是的角平分线，， 在和中，，，，同理可证， ，，，即， ，． 模型2.“A”字模型 例1（24-25七年级下·广东深圳·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，得, ∵，∴，∴，故选B． 例2（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．    【答案】 【详解】解：四边形中，∴内角和的度数为， ∵，∴； 剪去，则变为五边形，∴五边形的内角和为， ∵，∴，故答案为：，． 例3（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，    ∵，；∴ ∴．故选C． 例4（24-25八年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：学习三角形内角和定理，给我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于，现在依靠同学们通过探索归纳，解决以下问题： 【问题引入】（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，=（ ） A．    B．    C．    D． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则等于________度； 【类比探究】（3）如图2，根据（1）与（2）的解答和思考过程，请你归纳猜想与的数量关系是________（直接写出结果）； 【知识拓展】（4）如图3，若没有把剪掉，而是把它折成如图3所示的形状，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2）；（3）；（4），见解析 【详解】解：（1） ,．故选：C． （2），． ，．故答案为：． （3）当时， 当时，由此得出：． （4）与的数量关系为： 理由如下即． 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， 又，，． ，．故选：A 2．（2024·河北石家庄·一模）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，故选：B． 3．（24-25湖北·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图标记，，，， 又，， ，，故选C． 4.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示 ∵∴， ∵∴故选：C． 5．（24-25七年级下·河北保定·期中）探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °． （2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ． 【答案】 270°/270度 220°/220度 180°+∠A 【详解】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°， ∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案为：270°； （2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A　=180°+40°=220°，故答案是：220°； （3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A； 证明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案为：180°+∠A． 6.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，则 ． 【答案】3 【详解】解：连接，，∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴在四边形中，…①， 在中，…②， ①+②得，， 即，∴．∴．故答案为：3． 7.（24-25八年级·重庆·培优）如图，，相交于点O，，分别平分和．若，，则 ． 【答案】/60度 【详解】因为，分别平分和， 所以设，，则，， ，两式相加得，．故答案为． 8．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10． 9．（24-25上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【答案】1080° 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．故答案为：1080°． 10．（24-25山东·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：在中，， 在中，，∵，∴； （2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴， ∵①，②， 由，得：，即， ∵，∴； ②∵，∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴），故答案为：． 11．（24-25七年级下·河北·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 12．（24-25·七年级广东 期中）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．    (1)解：∵，．∴ ． ∵ ________，∴________， ∴________． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________． 【答案】(1)，，(2)(3) 【详解】（1），．． ，，； （2），．． ，； （3）． 13．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)如图①，和 是的两个外角，求、与的关系； (2)如图②，、分别平分四边形的外角、．已知 ，求的度数；(3)如图③，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若 ．请直接写出 的度数用含、的代数式表示． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，理由如下， ，，， ，； （2）延长，交于点，如图②所示： 由（1）可知：，，则 ，，， 、分别平分、，， ； （3）由（2）可知：， ∵．，设，， ∵ ，，， ，，，∴， ，， 又∵将沿翻折至，∴ ． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）[问题背景] (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明． [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） (2)如图2，、分别平分、，①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [问题探究](3)如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角， ①若，，则的度数为___________； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [拓展延伸](4)在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示） (5)在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________． 【答案】(1)见解析(2)① ，②(3)①，②(4) (5) 【详解】（1）解：如图1中， ∵，，，∴； （2）解：①如图2中，设，， 则有，∴， ∴，∴； ②由①得：； （3）解：①如图3中，设，， 则有， ∴， ∴；故答案为： ； ②设， 则有，∴； （4）解：如图4中，设，，则，， 则有，∴ ，∴，故答案为； （5）解：如图5中，延长交于J，设， 则有，∴， ∵，∴， ∴；故答案为． 15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)(4)540； 【详解】（1）解：，，，∴； （2）解：由（1）可知，， ∴ ； （3）解：连接，由（1）得：， 在中，，即， 即五角星的五个内角之和为． （4）解：连接，如图所示，由（1）可得，， ∴； ∵五角星内角和，七角星内角和， ∴“n角星”的n个内角的和为，故答案为：540；． 16．（24-25七年级下·广东广州·期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且．设镜子与的夹角． 【问题初探】（）图①是一种由两面镜子、组成的反光镜，当两面镜子，的夹角___________．时，与平行，请说明理由； 【拓展应用】（）图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系：___________． 【深入探究】（）如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角．若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 【答案】（）；（）；（） 【详解】解：（）当时，与平行，理由如下： 当时，，∴， ∵，∴，∴，∴， 即两面镜子，的夹角时，与平行，故答案为：； （）如图，、、为反射光线，过点作， ∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴，即，∴； （）解：由图可得，，∵，∴，同理可得，， ∴， ∵三角形为锐角三角形，∴，解得． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.“8”字模型 4 模型2.“A”字模型 9 12 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． （2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD； 结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO； 在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC； ∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级·山东·培优）如图，已知，则 ． 例3（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，与交于点，则的度数为 ． 例4（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知如图，线段相交于点，连接，我们把形如图的图形称之为“字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图中，请写出之间的数量关系，并说明理由．            (2)仔细观察，在图中“字形”的个数______个；(3)在图中，若，和的平分线和相交于点，并且与分别相交于利用（1）的结论，试求的度数； (4)如果图中和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） (5)①在图中，平分的外角，平分的外角，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） ②在图4中，的平分线所在直线与的外角的平分线相交于点，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） 例5（24-25·广东·七年级校考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 模型2.“A”字模型 例1（24-25七年级下·广东深圳·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．    例3（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，的度数为（   ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：学习三角形内角和定理，给我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于，现在依靠同学们通过探索归纳，解决以下问题： 【问题引入】（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，=（ ） A．    B．    C．    D． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则等于________度； 【类比探究】（3）如图2，根据（1）与（2）的解答和思考过程，请你归纳猜想与的数量关系是________（直接写出结果）； 【知识拓展】（4）如图3，若没有把剪掉，而是把它折成如图3所示的形状，试探究与的数量关系，并说明理由． 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·一模）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 3．（24-25湖北·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于(　　) A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北保定·期中）探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °． （2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ． 6.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，则 ． 7.（24-25八年级·重庆·培优）如图，，相交于点O，，分别平分和．若，，则 ． 8．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 9．（24-25上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 10．（24-25山东·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 11．（24-25七年级下·河北·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 12．（24-25·七年级广东 期中）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．    (1)解：∵，．∴ ． ∵ ________，∴________， ∴________． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________． 13．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)如图①，和 是的两个外角，求、与的关系； (2)如图②，、分别平分四边形的外角、．已知 ，求的度数；(3)如图③，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若 ．请直接写出 的度数用含、的代数式表示． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）[问题背景] (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明． [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） (2)如图2，、分别平分、，①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [问题探究](3)如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角， ①若，，则的度数为___________； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [拓展延伸](4)在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示） (5)在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________． 15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 16．（24-25七年级下·广东广州·期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且．设镜子与的夹角． 【问题初探】（）图①是一种由两面镜子、组成的反光镜，当两面镜子，的夹角___________．时，与平行，请说明理由； 【拓展应用】（）图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系：___________． 【深入探究】（）如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角．若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $