第四章：因式分解 单元练习 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

2026年浙教版七年级第二学期第四单元：因式分解 【知识点】因式分解的定义 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．a（1﹣a）＝a﹣a2 B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C． D．m2+4m﹣10＝m（m+4）﹣10 【解答】解：a（1﹣a）＝a﹣a2是乘法运算，则A不符合题意， a2+2ab+b2＝（a+b）2符合因式分解的定义，则B符合题意， x2+3＝x（x）中不是整式，则C不符合题意， m2+4m﹣10＝m（m+4）﹣10中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：B． 2.下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故答案为：B． 3.多项式2x2﹣13x+b中，有一个因式为（x﹣5），则b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．15 D．3 【解答】解：设另一个因式为（2x+m）， 则（x﹣5）（2x+m）＝2x2﹣13x+b， 整理得：2x2+（m﹣10）x﹣5m＝2x2﹣13x+b， 则m﹣10＝﹣13，b＝﹣5m， 那么m＝﹣3，b＝15， 故选：C． 4.已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣2，则另一个一次多项式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3 【解答】解：设另一个一次多项式是（x+m）， 则（x+m）（x﹣2） ＝x2﹣2x+mx﹣2m， ＝x2+（m﹣2）x﹣2m， ＝x2+x+a， 则m﹣2＝1， 解得：m＝3， 则另一个一次多项式是x+3， 故选：D． 5.下列因式分解正确的是（　　） A．﹣am﹣an＝﹣a（m﹣n） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．x2﹣3xy﹣10y2＝（x+5y）（x﹣2y） D．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） 【解答】解：A、﹣am﹣an≠﹣a（m﹣n），故A错误； B、x2﹣6xy+9y2，故B正确； C、x2﹣3xy﹣10y2≠（x+5y）（x﹣2y），故C错误； D、a2﹣4b2≠（a+4b）（a﹣4b），故D错误． 故选：B． 6.下列能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣1 C．﹣x2﹣y2 D．x2+4x+4 【解答】解：A选项，平方和的形式，不能因式分解，故该选项不符合题意； B选项，原式＝（x+1）（x﹣1），故该选项符合题意； C选项，原式＝﹣（x2+y2），不能因式分解，故该选项不符合题意； D选项，原式＝（x+2）2，运用的完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：B． 7.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（m+2n）（m﹣2n）＝m2﹣4n2 B． C．8a2b＝2a•4ab D．4my﹣2y＝2y（2m﹣1） 【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．等号右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，不符合题意； C．等式的左边不是一个多项式，不符合因式分解的定义，不符合题意； D．符合将多项式分解成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意． 故选：D． 8.下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2 【解答】解：A、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故此选项错误； B、3ax2﹣6axy+3ay2 ＝3a（x2﹣2xy+y2） ＝3a（x﹣y）2，正确； C、2x2+3x3+x＝x（2x+3x2+1），故此选项错误； D、m2+n2，故此选项错误； 故选：B． 9.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．m（a+b）＝ma+mb B． C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+2xy+y2＝（x+y）2 【解答】解：A．m（a+b）＝ma+mb，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等式右边的是分式，故本选项不符合题意； C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．x2+2xy+y2＝（x+y）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 10.下列因式分解正确的是（　　） A．﹣am﹣an＝﹣a（m﹣n） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．x2﹣3xy﹣10y2＝（x+5y）（x﹣2y） D．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） 【解答】解：A、﹣am﹣an≠﹣a（m﹣n），故A错误； B、x2﹣6xy+9y2，故B正确； C、x2﹣3xy﹣10y2≠（x+5y）（x﹣2y），故C错误； D、a2﹣4b2≠（a+4b）（a﹣4b），故D错误． 故选：B． 11.若实数x满足x2+x﹣1＝0，则3x3+4x2﹣2x+2025的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【解答】解：∵x2+x﹣1＝0， ∴x2+x＝1， 3x3+4x2﹣2x+2025 ＝3x3+3x2+x2﹣2x+2025 ＝3x（x2+x）+x2﹣2x+2025 ＝3x+x2﹣2x+2025 ＝x2+x+2025 ＝1+2025 ＝2026， 故选：B． 【知识点】分解因式的方法 1.下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2﹣b2 B．a2+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 【解答】解：A、不符合平方差公式； B、不符合平方差公式； C、符合平方差公式； D、不符合平方差公式． 故选：C． 2.下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．﹣x2﹣4y2 D．x2+4xy+4y2 【解答】解：A、x2+4y2，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、﹣x2+4y2＝4y2﹣x2＝（2y+x）（2y﹣x），用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； C、﹣x2﹣4y2＝﹣（x2+4y2），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3.下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x﹣y）（x﹣y） 【解答】解：选项A：（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（﹣x+y）（﹣x+y）＝﹣（﹣x+y）2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意； 选项B：（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y）＝﹣（x+y）2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意； 选项C：（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y），能用平方差公式计算，符合题意； 选项D：（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 4.对多项式am2﹣4a分解因式，正确的选项是（　　） A．a（m2﹣4） B．a（m+2）（m﹣2） C．（m+2a）（m﹣2a） D．a（m+2）（2﹣m） 【解答】解：am2﹣4a ＝a（m2﹣4） ＝a（m+2）（m﹣2）， 故选：B． 5.若多项式2x2+kx﹣24因式分解后的结果是（ax+3）（x﹣8），则k的值是（　　） A．10 B．﹣12 C．﹣13 D．13 【解答】解：（ax+3）（x﹣8）＝ax2+（﹣8a+3）x﹣24， ∵多项式2x2+kx﹣24因式分解后的结果是（ax+3）（x﹣8）， ∴a＝2，﹣8a+3＝k， ∴k＝﹣8×2+3＝﹣16+3＝﹣13， 故选：C． 6.若a﹣b＝﹣2，ab＝3，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　） A．﹣12 B．﹣6 C．12 D．6 【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3 ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2， 代入ab＝3和a﹣b＝﹣2： ab（a﹣b）2＝3×（﹣2）2＝12， 故选：C． 7.已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣2，则另一个一次多项式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3 【解答】解：设另一个一次多项式是（x+m）， 则（x+m）（x﹣2） ＝x2﹣2x+mx﹣2m， ＝x2+（m﹣2）x﹣2m， ＝x2+x+a， 则m﹣2＝1， 解得：m＝3， 则另一个一次多项式是x+3， 故选：D． 8.因式分解：a2﹣3a＝a（a﹣3）　 ． 【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）． 故答案为：a（a﹣3）． 9.因式分解：3x2y﹣6xy＝　3xy（x﹣2）　 ． 【解答】解：3x2y﹣6xy＝3xy（x﹣2）， 故答案为：3xy（x﹣2）． 10.因式分解：m2n﹣10mn2+25n3＝n（m﹣5n）2 ． 【解答】解：原式＝n（m2﹣10mn+25n2）＝n（m﹣5n）2， 故答案为：n（m﹣5n）2． 11.分解因式：x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2）　 ． 【解答】解：x2y﹣4y ＝y（x2﹣4） ＝y（x+2）（x﹣2）， 故答案为：y（x+2）（x﹣2）． 12.分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ． 【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）． 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 13.因式分解3a2+a＝a（3a+1）　 ． 【解答】解：3a2+a＝a（3a+1）， 故答案为：a（3a+1）． 14.因式分解：3m+6mn＝　3m（1+2n）　 ． 【解答】解：3m+6mn＝3m（1+2n）． 故答案为：3m（1+2n）． 15.因式分解：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　 ． 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）． 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 16.分解因式： （1）x4﹣x2． （2）3ax2﹣6axy+3ay2． （3）b﹣a+3（a﹣b）2． 【解答】解：（1）x4﹣x2＝x2（x2﹣1）＝x2（x+1）（x﹣1）； （2）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2； （3）b﹣a+3（a﹣b）2＝b﹣a+3（b﹣a）2＝（b﹣a）（1+3b﹣3a）． 17.因式分解： （1）x2﹣2x； （2）a2﹣2ab+b2﹣9． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝x（x﹣2）； （2）a2﹣2ab+b2﹣9 ＝（a﹣b）2﹣9 ＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）． 18.因式分解： （1）2x2﹣x； （2）3x2﹣6xy+3y2． 【解答】解：（1）原式＝x（2x﹣1）； （2）原式＝3（x2﹣2xy+y2） ＝3（x﹣y）2． 【知识点】因式分解的应用 1.设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　） A．521 B．1413 C．3721 D．1716 【解答】解：由题意可知：原式＝n（n﹣1）（n+1）， ∴n3﹣n为三个连续的正整数的积， ∴n3﹣n可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数， ∴n3﹣n是一个偶数． 故选：D． 2..若x﹣y﹣7＝0，则代数式x2﹣y2﹣14y的值等于 　49　 ． 【解答】解：∵x﹣y﹣7＝0， ∴x＝y+7， ∴x2＝（y+7）2＝y2+14y+49， ∴x2﹣y2﹣14y＝49， 故答案为：49． 3.生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3﹣9x分解结果为x（x+3）（x﹣3）．当x＝20时，x+3＝23，x﹣3＝17，此时可得到数字密码202317．将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝12时可以得到密码121415，则mn＝　30　 ． 【解答】解：x3+mx2+nx ＝x（x2+mx+n）， ∵当x＝12时得到密码121415， ∴分解结果应为x（x+2）（x+3），即x（x2+5x+6）， ∴m＝5，n＝6， ∴mn＝30． 故答案为：30． 4.生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式x4﹣y4，因式分解的结果为（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． （1）对于多项式9x3﹣xy2，当x＝10，y＝10时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． （2）对于多项式x3+px2+qx，当x＝25时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）9x3﹣xy2 ＝x（9x2﹣y2） ＝x（3x﹣y）（3x+y）， 当x＝10，y＝10时， 3x﹣y＝3×10﹣10＝20， 3x+y＝3×10+10＝40， 这个个六位数密码是102040． （2）因为x＝25，这个六位数密码为242527， 24＝25﹣1， 所以其中一个因式是（x﹣1）， 27＝25+2， 所以另外一个因式是（x+2）， 所以x3+px2+qx＝x（x﹣1）（x+2）＝x3+x2﹣2x， 所以p＝1，q＝﹣2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙教版七年级第二学期第四单元：因式分解 【知识点】因式分解的定义 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．a（1﹣a）＝a﹣a2 B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C． D．m2+4m﹣10＝m（m+4）﹣10 2.下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.多项式2x2﹣13x+b中，有一个因式为（x﹣5），则b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．15 D．3 4.已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣2，则另一个一次多项式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3 5.下列因式分解正确的是（　　） A．﹣am﹣an＝﹣a（m﹣n） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．x2﹣3xy﹣10y2＝（x+5y）（x﹣2y） D．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） 6.下列能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣1 C．﹣x2﹣y2 D．x2+4x+4 7.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（m+2n）（m﹣2n）＝m2﹣4n2 B． C．8a2b＝2a•4ab D．4my﹣2y＝2y（2m﹣1） 8.下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2 9.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．m（a+b）＝ma+mb B． C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+2xy+y2＝（x+y）2 10.下列因式分解正确的是（　　） A．﹣am﹣an＝﹣a（m﹣n） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．x2﹣3xy﹣10y2＝（x+5y）（x﹣2y） D．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） 11.若实数x满足x2+x﹣1＝0，则3x3+4x2﹣2x+2025的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【知识点】分解因式的方法 1.下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2﹣b2 B．a2+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 2.下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．﹣x2﹣4y2 D．x2+4xy+4y2 3.下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x﹣y）（x﹣y） 4.对多项式am2﹣4a分解因式，正确的选项是（　　） A．a（m2﹣4） B．a（m+2）（m﹣2） C．（m+2a）（m﹣2a） D．a（m+2）（2﹣m） 5.若多项式2x2+kx﹣24因式分解后的结果是（ax+3）（x﹣8），则k的值是（　　） A．10 B．﹣12 C．﹣13 D．13 6.若a﹣b＝﹣2，ab＝3，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　） A．﹣12 B．﹣6 C．12 D．6 7.已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣2，则另一个一次多项式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3 8.因式分解：a2﹣3a＝ 　 ． 9.因式分解：3x2y﹣6xy＝　 　 ． 10.因式分解：m2n﹣10mn2+25n3＝ ． 11.分解因式：x2y﹣4y＝ 　 ． 12.分解因式：x2﹣9＝　 　 ． 13.因式分解3a2+a＝ 　 ． 14.因式分解：3m+6mn＝　 　 ． 15.因式分解：a2﹣4＝　 　 ． 16.分解因式： （1）x4﹣x2． （2）3ax2﹣6axy+3ay2． （3）b﹣a+3（a﹣b）2． 17.因式分解： （1）x2﹣2x； （2）a2﹣2ab+b2﹣9． 18.因式分解： （1）2x2﹣x； （2）3x2﹣6xy+3y2． 【知识点】因式分解的应用 1.设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　） A．521 B．1413 C．3721 D．1716 2..若x﹣y﹣7＝0，则代数式x2﹣y2﹣14y的值等于 　 　 ． 3.生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3﹣9x分解结果为x（x+3）（x﹣3）．当x＝20时，x+3＝23，x﹣3＝17，此时可得到数字密码202317．将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝12时可以得到密码121415，则mn＝　 　 ． 4.生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式x4﹣y4，因式分解的结果为（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． （1）对于多项式9x3﹣xy2，当x＝10，y＝10时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． （2）对于多项式x3+px2+qx，当x＝25时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $