专题19 反比例函数与几何图形的综合的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题19 反比例函数与几何图形的综合的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 压轴专练 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x, k/x)），将三角形边长、顶点转化为坐标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为|k|/2）快速关联。 解题技巧总结（3点） 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为a，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 例1．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 【变式1-1】如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【变式1-2】如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=上顶点坐标为(x, )，结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中点重合）列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关键参数。 解题技巧总结（3点） 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 例2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 【变式2-1】如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． (1)求点的坐标及和的值； (2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集； (3)若直线与有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）先求出点D的坐标，然后直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是12， ∴，即， ∴，，即， ∵点在直线上， ∴， ∴； （2）解∶由（1）知：， ∵的纵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴由图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点时，取最大值， 当直线经过点时，取最小值， 将点代入，得：，解得； 将点代入，得：，解得， ∴若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 【变式2-2】如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； （1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【详解】（1）解：，且点为中点， ∴， ∵在双曲线上， ； （2）由（1）可得反比例函数解析式为 ∵在上， 设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴ ∴ ∴， ， 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，   ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 解题方法总结（3点） 1. 坐标化顶点：设反比例函数y=上的矩形顶点为(x, )，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴”特征确定坐标。 2. 用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长×宽）建立方程求k。 3. 关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于|k|（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k值。 解题技巧总结（3点） 1. 优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=|k|秒求k，省去复杂运算。 2. 巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为，其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 3. 结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 例3．如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，利用数形结合思想是解题的关键． （1）结合矩形的性质可得点A的坐标为，点E的坐标为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，从而得到，可设点E的坐标为，可得点F的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B坐标为， ∴， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴， ∴，点A的坐标为， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得：； 设经过A、E两点的一次函数的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴经过A、E两点的一次函数的表达式为； （2）解：如图， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数 的图象经过点E，， ∴可设点E的坐标为， ∴点F的横坐标为， ∵反比例函数 的图象经过点F， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 【变式3-1】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，平行线的判定等知识点，解决此题的关键是理解题意，灵活运用所学知识； （1）先求出点F的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据反比例函数的性质分别表示出点D和点E的坐标，再得到线段之比相等即可得到答案； 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点， ∴点F的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：3，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（）不是，；（）；；（）；对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； 根据“美好点”的定义求出的值，即可得到答案； （）根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； 将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第四象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，； （）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 故答案为：； ∵第一象限内的“美好点”在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴满足条件的点的坐标为； （）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=上的菱形顶点为(x,)，其余顶点结合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积（对角线乘积的一半）关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结（3点） 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k，减少复杂运算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 例4．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ，四边形为菱形， ，即轴，， 轴． 可设． ， ，，． 在中，， ． ． ． ． 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）解：由题意，是的中点，， ． 轴， 的纵坐标为． 在反比例函数， 的横坐标为． ． ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 【变式4-2】如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)M点的坐标为：（0，） 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由，，，利用勾股定理可求得，又由D为B点关于的对称点，可得，，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴D点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过D点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点， ∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点， ∵M点在y轴正半轴， ∴M点的横坐标为0， ∴即根据平移可知点的横坐标为3， 代入， 得，即N点坐标为， ∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：， ∴点的坐标为． 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=上正方形顶点为(x, )，其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长²、对角线乘积/2）关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结（3点） 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=|k|，直接求k；不平行则用坐标差表边长，简化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为，利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 例5．如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据、两点坐标，得出，再结合正方形的性质，即可得到点A的坐标； （2）根据正方形性质先求出点D坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解得k值，继而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：点B的坐标为，点C的坐标为， ，， ， 四边形为正方形． ，轴， ； （2）解：四边形为正方形， ，轴， ， 将的代入反比例函数得：， ， 反比例函数的解析式为： 【变式5-1】如图，正方形的边长为 7 ，以所在的直线为 x 轴， 以所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，反比例函数（）的图象与交于 E 点，与 交于 F 点． (1)求点E、F的坐标（用k表示） ； (2)若的面积为20 时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数系数k的几何意义等知识，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键； （1）把和分别代入反比例函数的解析式求出相应的y与x即可； （2）根据，结合k的几何意义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为7， ∴， 当时，，当时，， ∴； （2）解：当的面积为20 时，即， 可得：， 解得：（负值舍去）， ∴反比例函数的解析式是． 【变式5-2】已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得； （2），过点作轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式， （3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积． 【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上， ．解得． A、B坐标为，． 将代入，得． 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． ； 可得，． 四边形是正方形， ，． ． ， ． ， ． 点C坐标为，即． 设直线的解析式为， 则解得 直线的解析式为． （3）解：如图．连接，，由（2）可知 ． 一、单选题 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题以等边三角形与反比例函数结合为载体，通过作垂线转化几何性质求点坐标，利用反比例函数解析式建立方程求解，凸显了数形结合与方程思想的应用． 2．（25-26九年级下·安徽·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（   ） A． B．点C是的中点 C．四边形是平行四边形 D．k的值是2 【答案】B 【分析】运用即可证明 ，即可判断A，进一步证得 ，再结合等边对等角和内错角相等两直线平行，则，可证得四边形是平行四边形，即可判断C；延长 交轴于一点，过点作 轴，先证明四边形是矩形，因为点在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是，故矩形的面积是，因为反比例函数的图象过点，则，即可判断D；若点是的中点，则为等边三角形，由于无法求得，即可判断B． 【详解】解：在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， 在和中，， ，故A正确； ∴四边形是平行四边形，故C正确； 延长 交轴于一点，过点作 轴，如图： 轴， ∴四边形是矩形， 同理，可证四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴矩形的面积是， ∴， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点， ，故D正确； 若点是的中点，则， 由于，则为等边三角形， ∵无法求得， ∴故B不正确，符合题意． 3．（25-26九年级下·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上运动，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，点是射线上一点，连接，，．若，给出四个结论： ①四边形是平行四边形； ②的面积与的面积不可能相等； ③； ④当时，．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】结合题意推出，设点，则点，，可推得，可证四边形是平行四边形；由，，可得当时，的面积与的面积相等；结合平行四边形的性质，利用边角边可证；当时，即点与点重合时，，结合点坐标可求出． 【详解】解：依题得：轴，轴， ， 点在函数的图象上，点在函数的图象上， 设点，则点，， ， 四边形是平行四边形，即结论①正确； ， ，， 当时，的面积与的面积相等，即结论②错误； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，即结论③正确； 当时，即点与点重合时，， 即， 解得，经检验，是分式方程的解， 即，结论④错误． 综上所述，正确结论的序号是①③，选项符合题意． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数与几何综合、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分式方程的实际应用，解题关键是综合运用反比例函数的性质解题． 4．（河北省唐山市2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（   ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等； 乙：若，则． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】由题意易得，四边形是矩形，然后根据等积法可得甲，由可设，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，故甲说法正确； 由可设， ∴， ∴， ∴ ； ∴乙的说法也正确； 综上所述：甲乙的结论都是正确的． 二、填空题 5．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点．已知矩形的顶点在轴正半轴上，C在轴正半轴上，，且，则的面积为___________． 【答案】 【分析】求得点坐标，即可得到反比例函数解析式，再求出点坐标，即可求得的面积． 【详解】，， ， ， 把代入， 可得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 令， 解得，经检验是原方程的解， ， ， 则的面积为． 6．（25-26九年级下·辽宁营口·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点E，其中A，C的坐标分别为，．反比例函数的图象经过点A，将矩形向右平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为______． 【答案】 【分析】先求解反比例函数为，结合矩形的性质求解，再结合平移的性质可得答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为， ∵矩形的对角线，相交于点， ∴点是的中点， ∵，的坐标分别为，， ∴，即， 当，则， ∴平移的距离为． 7．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据题意过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，进而可求出的坐标，同样方法依次求出，的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 8．（2026·山东滨州·一模）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 【答案】 6 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴； （2）解：∵若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， ∵越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为． 三、解答题 9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，菱形的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限，反比例函数的图象经过点C，交于点D，点A的坐标为，菱形的面积为20． (1)求k的值； (2)求点D的坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）由点A的坐标得，由菱形的面积可求出点C的纵坐标，根据勾股定理可求出，得出点，从而可求出k的值； （2）确定点B的坐标，求出直线的解析式，与反比例函数联立方程组，解方程组可得点D的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， ∵点B在第一象限， ∴点C的纵坐标， ∵四边形是菱形， ∴， 过点C作轴于点E， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数过点， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，所以，, 又∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 设直线的解析式为 将点，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数的解析式得， 可得， 解得， ∵， ∴， 将代入 得： ∴点的坐标为． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图，四边形为矩形，顶点A，D，C的坐标依次为，，，对角线相交于点E，反比例函数的图象经过点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离是个单位 【分析】（1）根据矩形的性质求出点B的坐标为，再运用待定系数法求出反比例函数解析式 即可； （2）求出点E的坐标为，令，求出，可求出平移距离． 【详解】（1）解：矩形的顶点A，D，C的坐标依次为，，， 轴，， 点B的坐标为． 反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：点A，C的坐标依次为，， 点E的坐标为， 令，解得， ， 当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离是个单位． 11．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 12．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，菱形的顶点A在y轴正半轴上，边在x轴上，且，，反比例函数的图象分别与交于点M、点N，点N的坐标是，连接． (1)求直线的解析式； (2)求反比例函数的解析式； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)反比例函数的解析式为 (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先根据菱形的性质求出，再根据三角函数求出，进而利用勾股定理求出，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出直线解析式， （2）求出点N坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （3）先求出点M坐标，再用两点间的距离公式求出和，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把，代入， ， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）解：∵点N在上，且点N的坐标是， ∴， ∴， ∵点N在反比例函数图形上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：是等腰三角形，理由如下： 由（2）知，反比例函数的解析式为， ∵点M在上， ∴M点的纵坐标为4， 当时，， ∴点M的横坐标为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 13．（2026·河南信阳·一模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过点，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，在图中用直尺和铅笔画出沿所在直线平移，且点与点重合，得到的（不写画法）． ①点 反比例函数图象上，点 反比例函数图象上；（填“在”或“不在”） ②四边形是 （特殊四边形），它的面积等于 ． 【答案】(1) (2)画图见解析；①在，在；②矩形， 【分析】（）由网格可得点在反比例函数图象上，用待定系数法求出，从而得到反比例函数解析式； （）先根据平行四边形性质确定点坐标，按平移规律求出坐标，验证两点在反比例函数图象上；再由平移性质判定四边形为平行四边形，结合边长关系确定其为矩形，最后用勾股定理求边长，按矩形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：由题意得， ∵反比例函数经过点， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图所示． 由平行四边形性质得坐标为，将平移使与重合，平移规律为横坐标减，纵坐标减： ① 平移后，代入​，，故点在反比例函数图象上； 平移后，代入​，，故点在反比例函数图象上； ②由平移的性质，可知， ∴四边形是平行四边形， 由图象，可知， ∴四边形是矩形， 由勾股定理，得，， ∴． 14．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移3个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点F，G．连接， ①若，求点G的坐标． ②若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①；②t的值为6或． 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，据此求解即可； （2）①由题可得，由题设条件可知，则，，可得，解得，求出k值，点，据此求解即可； ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：、、，据此分别求解即可． 【详解】解：（1）由题设条件可知， ∴，， ∵对角线，相交于点E， ∴点E为的中点， ∴， 把代入，得， 解得． 故该反比例函数的解析式为：； （2）①由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 由题设条件可知，则，， ∵反比例函数的图象经过点E、F， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得； 当时，此时点F与点D重合， ∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得； 当时，设， ∵将矩形ABCD向右平移t（）个单位长度， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得， ∵， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，t的值为6或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题19反比例函数与几何图形的综合的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 解题方法总结(3点) 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y/x上点为(x,k/x)),将三角形边长、顶点转化为 坐标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积 为k/2)快速关联。 解题技巧总结(3点) 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为a,纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错 误。 例1.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的底边BC在x轴上，点B,C的坐标分别为 (-20,6,0,反比例函数y=x>0)的图象交4C于点4，D. 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA D BO (1)求k的值： (②)将△4BC沿x轴向左平移1(>0）个单位长度，当反比例函数y= x>0的图象与三角形至少有一个 公共点时，求t的取值范围 【变式1-1】如图，三角形ABC为等腰直角三角形，斜边AB∥x轴，点C在x轴上，反比例函数 y=冬x>0经过AB的中点D交边BC于点E已知点C2,0. (1)点B的坐标为 反比例函数解析式为 (2)连接DE,求△BDE的面积. 【变式1-2】如图所示，△O1B的顾点A在反比例画数y-k>0的图象上，直线B交y轴于点C,且 点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF,垂足分别为点E、F,且AE=1. 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若点E为线段OC的中点，求k的值： (2)若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，其面积小于3. ①求证：△OAE≌△BOF: ②延长AO交双曲线第三象限于点D,连接BD,求三角形ADB的面积. 类型二、反比例函数与平行四边形的综合间题 解题方法总结(3点) k 1.坐标化建模：设反比例函数y=二上顶点坐标为(x, k ),结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、 X 中点重合)列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函 数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解 关键参数。 解题技巧总结(3点) 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 例2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数 y=k≠0，x>0)的图象上，已知点C的坐标为5,4，平行四边形ABCD的面积为12： ()求反比例函数的解析式 2连接D点E为边6C与反比侧函数yk0X>0图象的交点，点p为，轴上一动点，若点E为 3 BC的中点，S.aE=S,40,求p点的坐标. 2 【变式2-1】如图，一次函数y=-4k(k0）的图象与反比例函数y-” x（m-1≠0）的图象交于 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C,与x轴交于点A,过点C作CB⊥y轴，垂足为B,连接OC,AB.已知四边形ABCO是平行四边 形，且其面积是12. (1)求点A的坐标及m和k的值： 3 (2)若两函数图象另一个交点坐标D的纵坐标为2，请结合图象，直接写出不等式 m=1≥kx-4k的解集： (3)若直线y=X+t与口ABC0有交点时，求t的取值范围. 【变式2-2】如图1，已知 4-1,0)，B0,-2,平行四边形ABCD的边D、BC分别与'轴、x轴交于点 E、F,且点E(0,2)为4D中点，双曲线y=x(k为常数，k≠0)经过C、D两点. N 图1 图2 图3 (1)求k值： ②)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y元(k为常数， 3 k≠0)图像于点M,交反比例函数y=2x<0)的图像于点N,当FM=FN时，求G点坐标： ③)点p在双曲线y= x上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满 足要求的所有点Q的坐标 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 解题方法总结(3点) 1.坐标化顶点：设反比例函数y= 上的矩形顶点为：，名，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴特征确定 坐标。 2.用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长× 宽)建立方程求k。 3.关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于(（由双曲线几何意义推导），直接关联面积 与k值。 解题技巧总结(3点) 1.优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=k秒求k,省去复杂运算。 2.巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a,纵坐标为3 ,其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 3.结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、《的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 例3.如图，矩形ABCD的两边D.AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y= 的图象经 过点E,与AB交于点F. D B C Ox ①)若点B坐标为-6,0，求的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式： (2)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式 【变式3-1】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上.顶点B的 坐标为(4,3)，反比例函数V=元的图像分别交边AB、BC于D、E,交对角线OB于F. 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(4,3) E A G 图1 图2 BD (I)若点F是OB的中点，则k= BE ②)如图2，点B的坐标为” ,试探寻线段DE与AC的位置关系，并说明理由。 【变式3-2】定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P 分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值 相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”· A OB 【尝试初探】 1点C2,3 “美好点”（填“是”或“不是”）； D4,b) 若点 是第四象限内的一个“美好点”，则b= 【深入探究】 (2②)0若“美好点”E引m100m>0在双曲线y=长0，且为常数)上，则 ②若第一象限内的“美好点”F在直线y=x+3上，求满足条件的F点的坐标. 【拓展延伸】 （③》我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P工八是第一象限内的“美好点”. ①求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②对于图俊上任意点，代数武2-训y-2 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是， 请说明理由， 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 解题方法总结(3点) 1,坐标化顶点与函数关联：设反比例函数)上上的菱形顶点为：，点，其余顶点结合菱形性质（四边相 等、对角线垂直平分)确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积 (对角线乘积的一半)关联k值。 3结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理 性。 解题技巧总结(3点) 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k,减少复杂运 算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错 误。 例4.如图，菱形O1BC的顶点O为原点，点4在反比例函数->0)的图象上，点B的坐标为4，S 点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点. ()求反比例函数的解析式： (2)尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N(保留作图痕迹，不写作法)： (3)求点N的坐标. 【变式41】如图，在平面直角坐标系中，直线y=心1与双曲线x>0)相交于点4，点C在x轴的 正半轴上，点82,3 ,连接AO,OB,BC,CA,四边形AOBC是菱形. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m和k的值： ②设点P是x轴上的点，且5aam=50饮，求点P的坐标 【变式42】如图，已知，04利，A1-30,C20,D为台点关于4C的对称点，反比例函数y气的 图象经过D点. B O (I)证明四边形ABCD为菱形： (2)求此反比例函数的解析式： (6)已知在y=,的图象(x>O)上一点N,y轴正半轴上一点M,且四边形ABMN是平行四边形，求M点 的坐标。 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 解题方法总结(3点) 1.坐标化建模：设反比例函数)k上正方形顶点为G, 其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角 X 线相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长2、对角线乘积/ 2)关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧总结(3点) 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=k,直接求k:不平行则用坐标差表边长，简 化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为4，纵坐标为 ,利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶 点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与一正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 k 例5.如图，四边形4BCD为正方形.点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(0,4)，反比例函数y=元的图 象经过点D (1)点A的坐标为一： (2)求反比例函数关系式. 【变式5-1】如图，正方形ABCD的边长为7，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立 平面直角坐标系，反比例函数yx（k>0)的图象与CD交于E点，与BC交于F点. D B (I)求点E、F的坐标（用k表示）； (2)若△AEF的面积为20时，求反比例函数的解析式. 【变式5-2】已知正方形4BCD的三个顶点A(m-3,-4),B(4-m,6),C恰好落在反比例函数y=x的图象 上，如图所示 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求反比例函数的解析式： (2)求直线BC的解析式： (3)连接 0,C0,求Bc0 面积. 压轴专练 一、单选题 1.(2026安徽蚌埠一模)如图，△AOB是边长为4的等边三角形，OB边在x轴正半轴上，点A在第一 象限，反比例函数'=x>0的图象经过AB边的中点D,且与OA交于点C,则点C的坐标为() B A.(3,3) B.25,3 c.35 3V3,3 10/17