专题 反比例函数中k的几何意义的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题 反比例函数中k的几何意义的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 压轴专练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 反比例函数中求三角形的面积 例1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的面积的计算．根据题意可得，再由反比例函数比例系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为：8 【变式1-2】如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则 （填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 【变式1-3】如图，已知轴，垂足为分别交反比例函数的图像于点、．若是的中点，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，故的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 反比例函数中求等腰三角形的面积 例2．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【变式2-1】如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 【变式2-2】如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 反比例函数中求平行四边形的面积 例3．如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式3-1】如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 【变式3-2】如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．过点A作轴于E，过点B作轴于F，设与y轴交于G，，，再根据平行四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于E，过点B作轴于F，记与轴的交点为，    ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵轴，轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】题考查平行四边形的性质、反比例函数系数的几何意义，过点作轴于点，过点作轴于点，得出四边形是矩形，则利用反比例函数的比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故答案为：． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 反比例函数中求矩形的面积 例4．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【变式4-1】如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的面积公式，是解题的关键． 设，则，根据，推得，即可求得． 【详解】设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 【变式4-3】如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 反比例函数中求阴影部分的面积 例5．如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式5-1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式5-2】如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级下·福建·月考）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 5．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质、反比例函数中k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 连接，根据反比例函数中的几何意义，求出，再利用和共底，且它们的高相等，所以面积相等，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由反比例函数系数的几何意义， ， ∵轴， ∴， ∴与等底等高，面积相等， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【分析】由于点A是反比例函数上一点，矩形的面积． 【详解】解：由题意得：． 8．（25-26九年级下·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 9．（2026·广东东莞·一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 10．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求各个阴影的面积表达式是解题的关键．由点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，得，，，由，可求出k的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题 11．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 12．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 16．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题反比例函数中k的几何意义的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 反比例函数中求三角形的面积 例1.如图，点A在反比例函数=1Sx>0)的图象上，过点A作AB上x轴，垂足为B,交反比例函数 乃=8(x>0)的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA、PC,则△APC的面积为 【变式11】如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数y=-8的图象上，线段AB经过坐 1/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 标原点O,AC⊥y轴于点C,则ABC的面积为」 【变式1-2】如图，点A、B在双曲线y=三上，过点A作AC1x轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D, 连接OA、OB,设aOBD的面积为S,设aOAC的面积为S2,则S S2(填“>，<，或=”). 5 y= D B A C 【变式13】如图，已知cD1x轴，垂足为D,C0、CD分别交反比例函数y=4的图像于点A、B.若A是 OC的中点，则△OBC的面积为 B D 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 反比例函数中求等腰三角形的面积 y\A OBC-X S△Aoc=|k(OA=AC) 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例2.如图，点A在反比例函数y=4第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若OA=AB,则 △AOB的面积为 O 【变式2-1】如图，若反比例函数y=3的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则 AOB的面积是_一 y ⊙ 0 A 【变式2-2】如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=(x>0)的图 象上，且它们的底边都相等.若△0AB,△AA2B2,，△A2A,B,,△A023A2o24B2024的面积分别为S,S2,S3,, S224,则S2024的值」 6 B2 B3 B4 A2 A3 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 反比例函数中求平行四边形的面积 3/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B SOARCD=kl 例3.如图，在平面直角坐标系中，口OABC的边BC与y轴交于点D,且D是BC边的中点，反比例函数 y=-3x<0)与y= 9 (x>O)的图象分别经过B,C两点，则口OABC的面积为一· 2x 【变式31】如题图，点D在反比例函数y=2的图象上，DA⊥y轴于点A,点B在x轴上，则平行四边 形ABOD的面积为 B 【变式32】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B分别在反比例函数y=-4(x<0)和y=6(x>0)的 图象上，点C、D都在x轴上，则▣ABCD的面积为一 A D 0 【变式33】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边BC在x维上，反比例函数y=-55(x<0 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 和y=《(c>0的图象分别过顶点A,D,若S后n选形D=85,则k的值为 6 0 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 反比例函数中求矩形的面积 S矩形ABOC=| 2 例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y=二(x>O)的图象上的一点，则矩形OABC的面 积为 【变式41】如图，若点A与点B是反比例函数y=《(k≠0)的图象上的两点，过点A作4M上x轴于点M, AW⊥y轴于点N,过点B作BG⊥x轴于点G,BH⊥y轴于点H,设矩形OMAN的面积为S,矩形BHOG 的面积为S,则S与S的大小关系为：S,S(填“>”，“=”或”<”) 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G M 【变式42】如图，过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交y=-1的图象于B,D两点， 以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S,S,S,S,若S,+S,+S,=2, 则k的值为 V 【变式43】如图，过=《(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交=-上的图象于B,D两 点，以B,4D为邻边的矩形4BCD的面积是号，则k的值是 B 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 反比例函数中求阴影部分的面积 6/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k yx B P B S2 A S,=S2 S阴k-k 例5.如图，点M,N在y=4(x>0)的图象上，分别过点M,N作坐标轴的垂线，若S=2,则S十S,的 值为一 M S S2 个 【变式51】如图，两个反比例函数y-8和y-6在第一象限内的图象依次是G和C,设点P在G上， PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点B,则四边形PAOB的面积为 C D B 【变式5-2】如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有P,B,乃，，B等点，它们的横坐标依 次为1,2,3，.，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依 次为S,S2,S3,…,S2024,则S1+S2+S3+…+S2024= P P P 01234 2025x 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式53】如图，在反比例函数y=10(x>0)的图像上，有一系列点4、4、4、、4、4，若4的 横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.分别过点A、A、A、、A、A+ 作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S,、S2、S、…、 Sn,则S,+S2+S= A S S2 A2 S3 A3 0 2 9 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级下·福建·月考)如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B,C,D都在反 比例函数y=4的图象上，且边BC经过原点0.则平行四边形ABCD的面积为() A.8 B.10 C.12 D.16 2.(2026八年级下，全国.专题练习)下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是() 8/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M1,2) M V= N2,1) A. D 2 N-1,-2)Y可 3.(25-26九年级上河北邪台期未)如图是函数y=-6与y=-4在第二象限内的图象，点P叫-2，在 y=-的图象上，PA1x轴于点A,PB上y轴于点B,分别交y=-4的图象于C,D两点，连接 x 0C,OD,CD,则SAOCD=() B 6 1 A.3 C.2 D.3 4.(25-26九年级上陕西咸阳期末)如图，点P为反比例函数y=《(k为常数，且k≠0)的图象上一点， 过点P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点A、B,连接PO并延长交反比例函数的图象于点P,则下列结论 中错误的是() D P A.k<0 B.在每个象限内，y值随x值的增大而增大 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若点P的坐标为a,b),则点P的坐标为-a,-b) D. S阳边形0P=一2人 5.(25-26九年级上山东滨州期末)如图，反比例函数片=+凸( (x<0),片=(x<0)的图象在平面直角 坐标系中，点B为y= k+1 二(x<O)的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C,线段 BC被片，=(x<0)的图象上一点D分成两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则ABC的面积为() A.2 B. 2 c号 D.1 二、填空题 7 6.(25-26九年级上广东清远期末)如图，点A是反比例函数y=3K<0)图象上一点，4B上轴于点B ,点C是y轴上的一动点，则ABC的面积为 7.(25-26九年级下宁夏吴忠月考)如图，点A是反比例函数y=4图象上的一个动点，过点A作4B1x 轴，AC⊥y轴，垂足分别为B,C,则矩形ABOC的面积为 A 8.(25-26九年级下吉林四平月考)如图，点A是反比例函数y=2(x>0图象上任意一点，过点A且平行 于x轴的直线交反比例函数y=-3x<0)的图象于点B,点D在X轴正半轴上，以4B、AD为边作平行四边 形ABCD,则四边形ABCD的面积为 10/15