精品解析：2026年山东济南市章丘区初中学业水平考试数学模拟试题（一）

章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 3. 章丘墨泉丰水年全年出水量约15570000立方米～37840000立方米，素有“一泉成河”的美誉．其中数字15570000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则和完全平方公式逐一判断运算是否正确． 【详解】解：A：，∴此选项错误； B：，∴此选项正确； C：，∴此选项错误； D：，∴此选项错误． 6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，然后根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形正确，符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算括号内部分，再将除法转化为乘法，约去公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可． 【详解】解：四张卡片分别记为：文、明、自、由，从四张中随机抽取张， 所有等可能的组合为：（文，明）、（文，自）、（文，由）、（明，自）、（明，由）、（自，由）， 一共种等可能结果， 其中恰好能组成“文明”的结果只有种， 根据概率公式：． 9. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交于点M，交于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，再根据矩形的性质得，然后说明是等边三角形，可得，以及，进而得出，接下来设，则，并表示出，，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知平分， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 设，则，根据勾股定理，得， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 10. 我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①当时，得出，根据二次函数的性质可判断①错误；②分两种情况可判断②正确；③分两种情况求出x的值可判断③正确． 【详解】解：①当时，，图象开口向下，无最小值，故①错误； ②当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； 当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； ∴②正确； ③当时，， 令，解得，（舍去）， 令，解得，（舍去）； 当时，， 令，解得， 令，解得，（舍去）； ∴满足的最大值是5，最小值是，则的最大值为，故③正确． 综上可知，描述中正确的是②③． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间． 【详解】解：甲的函数关系：  由图可知：甲匀速走用时， ∴甲的速度， ∴甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前秒走， ∴乙原来的速度； 当时，乙距离起点的距离为：； 当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：； 当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：； 第二次相遇：时，令， 即：， 解得，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是秒． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得，再根据矩形的性质得，然后分两种情况：当时，是等腰三角形，根据勾股定理得，求出解即可； 当时，是等腰三角形，再作，可根据等腰三角形的性质得，然后根据“角角边”证明，可得，接下来求出，则答案可得． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵点，且四边形是矩形， ∴． 当时，是等腰三角形， ∴． 在中，， 即， 解得， 即， ∴点； 当时，是等腰三角形， 过点B作，于点F， ∴． ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点． 所以点D的坐标是或． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据，再计算． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形为菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，，再结合题意可证，即得出，最后由等边对等角即得出． 【详解】略 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． 19. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】（）设，根据直角三角形性质可得，，进而求得，然后依据，解得，即树的高度为米； （）延长交延长线于点，则，由（）知，，则，又，可得，从而求解． 【小问1详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，， 即，解得， ∴树的高度为米； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴食堂的高度为米． 20. 如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形的外角性质结合等边对等角求得，可得，再利用切线的判定定理即可得证； （2）连接，根据切线性质，可得，进而得出，结合已知即可求出的长，在中用勾股定理即可求得． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ，即：， ，， ， ， ． 在中，． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 22. 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元． （1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ （2）该公司准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？ 【答案】（1）A型机器人单价为650元/台，B型机器人单价为1100元/台 （2）购买A型机器人33台，B型机器人17台；最低费用为40150元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，根据购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A型机器人采购a台，则B型机器人采购台，根据B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半列出一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设总的购买费用为W元，得出关于W的一次函数表达式，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人每台x元，B型机器人每台y元．由题意得： ， 解得：， 答：A型机器人单价为650元/台，B型机器人单价为1100元/台； 【小问2详解】 解：设A型机器人采购a台，则B型机器人采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33 设总的购买费用为W元， ∴， ∵， ∴当时，费用最低，为（元） 此时的购买方案为：购买A型机器人33台，B型机器人17台；最低费用为40150元． 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或； （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，； ∴，， ∴，， ∴，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设直线交轴于点， ∵， ∴当时，，时，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在； ①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，则：， ∴， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，， ∴， ∴， 同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）， ∴； 综上：点Q的坐标为或． 24. 二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． （1）如图，求二次函数的表达式； （2）如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； （3）定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，； 因此点的坐标为：； 【小问3详解】 ∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 25. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 章丘墨泉丰水年全年出水量约15570000立方米～37840000立方米，素有“一泉成河”的美誉．其中数字15570000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交于点M，交于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 10. 我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解______． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是_______． 14. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：． 19. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 20. 如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 22. 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元． （1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ （2）该公司准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？ 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． （1）如图，求二次函数的表达式； （2）如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； （3）定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 25. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $