2025年山东省济南市章丘区中考数学一模平行卷

2025年初中数学山东省济南市章丘区一模平行卷 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．的相反数是（  ） A． B． C． D． 2．将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为12.5亿亿次/秒.这个数据以亿次/秒为单位用科学记数法可以表示为（   ） A．亿次/秒 B．亿次/秒 C．亿次/秒 D．亿次/秒 4．如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠1=65°，则∠2的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．用配方法解方程时，变形结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在左右摆动，那么投掷一枚硬币次，下列说法正确的是（ ） A．“正面向上”必会出现次 B．“反面向上”必会出现次 C．“正面向上”可能不出现 D．“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是次 8．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为（    ） A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：20 9．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（    ）    A．48 B．36 C．24 D．18 10．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11．已知函数求x的取值范围 ． 12．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形A、扇形B、扇形C的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是 ． 13．如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为 ． 14．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表： 温度 100 150 200 250 300 350 400 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 15．如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16．计算：． 17．解下列不等式(组)： (1)，并将不等式的解集在数轴表示出来； (2)，并求出不等式组的所有整数解的和． 18．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数． 19．如图1是一只拉杆式旅行箱，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆最大可伸长，点A，B，C在同一条直线上，在箱体的底端装有圆形的滚轮，与水平地面相切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，且点B距离地面时，点C到地面的距离． (1)求滚轮的半径； (2)调整拉杆BC的长度，当某人的手自然下垂在拉杆顶端C处拉动旅行箱时，C到地面的距离为，拉杆与水平地面的夹角为，求此时拉杆伸长的长度．（参考数据：，结果精确到） 20．如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点,且.    （1）求证：为的切线；    （2）若， ,求的长. 21．某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）请将两个统计图补充完整． （3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？ 22．某玩具商场内有形形色色的玩具，其中两种玩具最受孩子们欢迎．已知1个种玩具和2个种玩具共卖360元，2个种玩具和3个种玩具共卖640元． (1)两种玩具的单价各是多少元？ (2)某机构计划团购两种玩具共15个，其中种玩具的数量不超过种玩具数量的，则该机构购买多少个种玩具花费最低？最低花费为多少元？ 23．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标； (2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； (3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 24．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 25．问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年初中数学山东省济南市章丘区一模平行卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A B D C D C B 1．C 【分析】由的相反数是再去括号可得答案． 【详解】解：的相反数是 故选： 【点睛】本题考查的是相反数的定义，去括号，掌握去括号的法则是解题的关键． 2．B 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，即可得到答案． 【详解】 解：从正面看，看到的图形是由两个一样的长方形上下叠放组成的长方形，即看到的图形为， 故选B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 3．B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数. 【详解】12.5亿亿次/秒=1.25×109亿次/秒， 故选B. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 4．A 【分析】如图，过点C作CD∥l1，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】如图，过点C作CD∥l1，则∠1=∠ACD， ∵l1∥l2， ∴CD∥l2， ∴∠2=∠DCB， ∵∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠1=65°， ∴∠2=25°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 5．B 【分析】本题考查了积的乘方、单项式除以单项式，合并同类项，同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 6．D 【详解】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．注意：只有当二次项的系数是1的时候，才是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方．首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【分析】解：， ， ， ． 故选：D． 7．C 【详解】A、“正面向上”不一定会出现5次，故本选项错误； B、“反面向上”不一定会出现5次，故本选项错误； C、“正面向上”可能不出现，只是几率不太大，故本选项正确； D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数可能不一样，故本选项错误；故选C． 8．D 【分析】根据，设，根据正切，求得，根据，求得之比，即可求得面积比． 【详解】四边形，FGQP是正方形， ， ，， E为AB中点，， ， 设， 则， ，， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形的性质，求得的比值是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 10．B 【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解． 【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数， ∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2-x+c=0， 由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①， 令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下： 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②， 联立①②并解得： 0＜c＜， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式． 11．且且 【分析】根据零指数幂以及二次根式与分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵函数， ，， 解得：，， ∴自变量x的取值范围是且且． 故答案为：且且． 【点睛】本题主要考查了二次根式和零指数幂及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了几何概率，直接求出扇形A的面积与整个转盘的面积的比值即可得到答案． 【详解】解；由题意得，自由转动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是， 故答案为：． 13．π 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键．连接，根据圆周角定理可得出，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 弧的长． 故答案为：． 14．450 【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：450． 【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 15． 【分析】过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：过作交于，连结、，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 当时，取得最小值此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 16．3 【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解：原式=2+4×-2+1 =2+2-2+1 =3． 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 17．(1)，数轴见解析 (2)， 【分析】（1）根据解不等式的步骤计算，然后在数轴上表示不等式的解集即可； （2）分别解不等式，求解集的公共部分，再列出整数解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 移项合并得：， 系数化得：， 其解集在数轴上表示如下：    （2）， 由不等式①可得：， ， 由不等式②可得，， ， ， 不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，，，，； ∴不等式组的所有整数解的和． 【点睛】本题考查了不等式和不等式组的解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 18．（1）见解析；（2） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ADBC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE； （2）证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE和△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AD＝FC， ∵AD＝BC，AB＝2BC， ∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36°， ∴∠B＝180°2×36°＝108°． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 19．(1)滚轮的半径为 (2)拉杆的伸长的长度约为 【分析】（1）连接，作于点F，于点H，交于点K．则，设的半径为，则．证明，得到，则，解得即可． （2）在中，．再求得到．由即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，作于点F，于点H，交于点K．则， 设的半径为，则． ∵， ∴． ∴． 即． 解得． ∴滚轮的半径为． （2）在中，． ∴． ∴． ∴拉杆的伸长的长度约为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 20．(1)证明见解析；（2） 【详解】【分析】（1）作OE⊥AB于点E，证明△OBC≌△OBE，根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC， OE是⊙O的半径 ，OE⊥AB ，即可判定AB为⊙O的切线；   （2）根据题意先求出AO、BO的长，再证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长. 【详解】（1）作OE⊥AB于点E， ∵切BC于点C， ∴OC⊥BC，∠ACB=90°， ∵ AD⊥BD，∴∠D=90°， ∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°， ∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD， ∴∠BOC=∠BAD， ∴∠ABD=∠CBD 在△OBC和△OBE中， ∴△OBC≌△OBE， ∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径 ， ∵OE⊥AB ，∴AB为⊙O的切线；   （2） ∵tan∠ABC=，BC=6， ∴AC=8，∴AB= ， ∵BE=BC=6，∴AE=4， ∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE= ，∴EO=3， ∴AO=5，OC=3，∴BO=， 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD∽△BOC，∴ ， 即 ，∴AD= . 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关的判定与性质定理是解题的关键. 21．（1）200；（2）见解析；（3）180 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得到该校本次调查中，共调查了多少名学生； （2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；然后分别求出B、C、D三组的频率； （3）用1200乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可． 【详解】解：（1）80÷40%=200（人） 故本次共调查200名学生． （2）200803050=40（人）， 50÷200×100%=25%； 30÷200×100%=15%； 40÷200×100%=20%； 补全如图： （3）1200×15%=180（人） 故该学校喜欢篮球项目的学生约有180人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22．(1)种玩具的单价为200元、种玩具的单价为80元 (2)当购买种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用： （1）根据两种购买信息列出二元一次方程组，解之可得单价； （2）由两种玩具数量限制列不等式求得A玩具数量的范围，再由利润和A玩具数量的函数关系，确定A的具体数量求出函数值即可． 【详解】（1）解：设种玩具的单价为元、种玩具的单价为元． 由题意得 解得 答：种玩具的单价为200元、种玩具的单价为80元． （2）解：设购买种玩具个，则购买种玩具个． 由题意得， 解得． 设总价为元， 则． ， ∴W随的增大而增大， 当时，（元）． 答：当购买种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元． 23．(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标． （2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可． （3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得： ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 联立两函数解析式，得 ，解得：，， ∴． （2）解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ 设直线为， 将点，代入中， 则解得， 所以直线的解析式为， 设点，过点P作轴交直线于点Q，则 ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（其中，方程无解）， 故点P的横坐标为或． （3）解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图， ∵，， 又∵点M在x轴上， ∴点F向上平移3个单位， ∴点E向上平移3个单位， ∴点N纵坐标为9，把代入，得， ∴， ∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴； 同理可得； 连接交于P， ∵， ∴点P为与的中点， ∴， ∴ ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型． 24．(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25．(1)①；② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质和判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由旋转的性质可知，，，证明∽，即可解题； ②延长与交于点，记交于点，由相似三角形的性质解题； （2）过点作于点，证明∽，推出以及，结合勾股定理算出，再根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ∴∽， ； 故答案为：； ②延长与交于点，记交于点， ∵∽， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）解：过点作于点，设交于点O， 点E是图1中边的中点，， ， ， ， 解得， 由①同理可证∽， ， ， ， ， ， ，解得， 在中，有， ， ∽， ， ， ， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $