期中真题百练通关易错20大题型（期中专项训练）高一数学下学期沪教版

期中真题百练通关（易错） 题型一、任意角及其度量 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型二、诱导公式 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求参数 题型三、已知正弦、余弦或正切值求角 题型十三、由正弦（型）函数 的周期性求值 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 题型十四、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 题型五、二倍角公式 题型十五、利用正弦函数的对称性求参数 题型六、三角变换的应用 题型十六、余弦函数的图像 题型七、正弦定理 题型十七、余弦函数的性质 题型八、余弦定理 题型十八、求图象变化前（后）的解析式 题型九、求sinx型三角函数的单调性 题型十九、由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型十、利用正弦型函数的单调性求参数 题型二十、正切函数的性质 题型一、任意角及其度量 1．（24-25高一下·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【答案】; 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________. 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 题型二、诱导公式 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 【答案】或 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意，分角的终边在一条直线上和角的终边在上两种情况讨论，确定的值，得到答案. 【详解】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况： 当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角； 当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为， 故的取值为或. 故答案为：或. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若，则______. 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】若，得到，则，又，则，则. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是____________. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【详解】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 题型三、已知正弦、余弦或正切值求角 7．（24-25高一下·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】由充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，则________． 【答案】; 【知识点】反三角函数 【分析】由反三角函数的定义表示即可. 【详解】因为，，所以,又， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·期中）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 【答案】(1) (2)24， 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知弦（切）求切（弦）、三角函数定义的其他应用、已知三角函数值求角 【分析】（1）由题意可得出，进而求解； （2）由（1）得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）如图，    由图可知， 所以； （2）由（1）得， ， 则 当且仅当时取等号. 此时，所以. 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 10．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】比较正弦值的大小、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由，其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 11．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 12．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 13．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2)当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出； （2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值. 【详解】（1），，， ， ，，    （2）设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，   ，， ，， 当时，即时，等号成立， 此时取得最大值， 又因为函数在上严格增，所以对应的取得最大值, 所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大. 14．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 15．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 题型五、二倍角公式 16．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知x、，，且a是常数，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】判断一般幂函数的单调性、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据题意化简方程组可得，令，即，结合函数单调性可得，再代入计算即可． 【详解】, ，得， 即， 令， 在上均为增函数， 在上单调递增， 又，即， 且，， ，即， ． 故选：C ． 17．（24-25高一下·上海·期中）若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是__． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】求出的最大值后结合绝对值不等式可得关于的不等式，故可求其范围. 【详解】, 因为，则，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故， 而， 当且仅当时等号成立，故， 故或， 故答案为： 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求， （2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， （2）由（1），，，， 所以，， 所以， 所以. 所以. 19．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【详解】（1）由题：， . （2）因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 20．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）先求在的值域，在利用在上恒成立，即在上恒成立，即在的值域含在即可. 【详解】（1）由题意有， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）由在上恒成立，即在上恒成立， 由得，所以，即， 所以， 即. 21．（24-25高一下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)若、为锐角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）由任意角的三角函数定义求得的值，再利二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正（余）弦公式即可求解； （2）先由，结合、的范围确定的范围，求得，再由利用两角差的余弦公式求值即可. 【详解】（1）∵角的终边经过点，∴， ∴， 所以， ∴， ， 所以； （2）因为，，所以， 若，则，与不符； ∴， 所以， 所以. 题型六、三角变换的应用 22．（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦的差角公式化简等式，由题意建立方程组，求解，可得答案. 【详解】由，则，其中， 可得 ， 由题意可得，若，由①可得，显然③不成立， 故，则，解得，，易知， 当时，显然①③矛盾；故，可得，解得， 所以. 故选：A. 23．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则__________. 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 24．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 ， 又函数的图像关于点对称， 即，即， 则， 所以的最大值为，最小值为， 对称轴：令， 当的取值最小时， ，， 且是在轴右侧连续的最值点， 则的最小值为 . 故答案为： 25．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3)或． 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由图像求即可求解 （2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解； （3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解. 【详解】（1）由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 题型七、正弦定理 26．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 27．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 28．（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于_____. 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 29．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 题型八、余弦定理 30．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 31．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 32．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ， 在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 33．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 34．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】0（1）由条件根据同角关系和二倍角公式求，，结合面积公式求结论， （2）由条件结合余弦定理求，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 又， 所以的面积， 所以求的面积为； （2）由（1）， 由余弦定理可得， 又，， 所以， 所以， 所以的周长为． 35．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 题型九、求sinx型三角函数的单调性 36．（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用三角函数定义计算. （2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间. （3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题. 【详解】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 37．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【详解】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得 . （2）由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. （3）由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 38．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、求函数的零点 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求增区间； （3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. 39．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，由题知，解得，则， 由，解得， 所以单调递增区间为； （2）由，知， 当时，，所以， 所以. 题型十、利用正弦型函数的单调性求参数 40．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 41．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 42．（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 43．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数新定义、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 44．（24-25高一下·上海·期中）定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 【答案】①② 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据题意化简得：据此逐项分析即可 【详解】令，解得：， 同理，解得：， 对于①，若最小正周期是，则成立， 所以，最小正周期不是，①错误 对于②，当时，， ，值域为， 当时，， ，值域为， 综上，该函数的值域是，②错误 对于③，定义域为，关于原点对称 ， ， 是偶函数，③正确 对于④，当时， ， 当时， ， 综上，对任意，恒成立，④正确 故答案为：①② 45．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据正弦型函数值域及最值，利用整体法计算即可； （2）由题意可得，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 当，即时，取得最大值， ， 为函数最大值时，； （2）由（1）知，设，角对应边为， ，解得， 由余弦定理，即， （当且仅当时取等）， 即边的最小值为． 46．（24-25高一下·上海·期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求； （2）在中，由正弦定理可得，继而得到即可求面积最大值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，，解得，. （2）在中，，，由正弦定理， ，所以， 当，即时，. 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求参数 47．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，恒成立， 即， 当时，，所以，则， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 48．（24-25高一下·上海·期中）若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 【答案】或 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】首先利用辅助角公式化简，再根据对称性求出，根据函数在上无最值，求出的范围，即可得解. 【详解】因为 ， 又直线是函数图象的对称轴，所以， 则； 当，则， 又在上无最值，所以，解得，则， 所以或，则或（负值舍去）； 故答案为：或 49．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    题型十三、由正弦（型）函数 的周期性求值 50．（24-25高一下·上海长宁·期中）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【答案】2 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可. 【详解】由正弦函数性质得的周期为， 如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为、、， 则，因为，所以， 解得，令，解得， 由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为， 则， 而的纵坐标为，代入解析式中得到， . 故答案为： 51．（24-25高一下·上海·期中）设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 【答案】(1) (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）根据函数的图象与性质直接求解即可； （2）令，，再根据即可求出增区间. 【详解】（1）令，所以或，， 因为，所以. （2）令，，解得. 因为，所以的增区间为. 52．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 题型十四、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 53．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 54．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题意写出函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意写出函数进行整理，令，根据二次函数性质求解最值； （3）根据题意写出函数进行整理，运用三角函数性质进行求解b和不等式解集. 【详解】（1）因为，当时， ，因为， 所以，故的值域为； （2）因为， 当时，， 因为，所以， 令，由（1）可知，则， 当时，，故的最大值为. （3）当时，，其中， 因为函数图像关于直线对称，故， 整理得，即，故， 又因为将函数的图像向右平移单位， 得到函数，由题可知， 计算得，故， 即， 所以的解集为. 55．（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上. (1)求的值； (2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、正弦定理解三角形 【分析】（1）化简函数，求得，即可得到的值. （2）由点是图像的一个对称中心，得到，求得，利用正弦定理，求得的外接圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当时，可得， 因为图象最高点都在直线，所以. （2）解：因为点是函数图像的一个对称中心，可得， 因为为三角形的内角，所以，可得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以外接圆的面积为. 题型十五、利用正弦函数的对称性求参数 56．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 57．（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数对称性定义得出函数关于直线对称，再结合方程在上有奇数个不同的实数解得出即可求参. 【详解】， 得关于直线对称， 而原方程有奇数个实数解，由对称性必为原方程的一个实数解， 从而， 故答案为: 58．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得. 【详解】由解析式，函数的大致图象如下， 由图，要使，则，且， 令，可得，令，可得， 所以，故. 故答案为： 题型十六、余弦函数的图像 59．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 60．（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 【答案】 【知识点】余弦函数图象的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 题型十七、余弦函数的性质 61．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 62．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 63．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若关于的方程在上恰有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先化简方程，再令，结合三角函数在上的单调性可将方程有解问题分三种情况讨论，方程在内存在两个相等根、方程两个不等实根都在上、两个不等实根一个在上，一个取，分类讨论即可. 【详解】因， 则方程在上有两解， 令，且其在上单调递增，在上单调递减， ①若方程存在两个相等根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在内存在两个相等根， 因一元二次函数对称轴， 则方程在内不可能存在两个相等根； ②若方程存在两个不相等实根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在上存在两个不相等实根， 若方程两个不等实根都在上， 则，解得； 若方程两个不等实根一个在上，一个取， 则，得， 则，两根分别为，不符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为： 64．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含cosx的二次式的最值、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 65．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求cosx(型)函数的值域 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 66．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 【答案】(1)是“函数” (2) (3)是，，， 【知识点】函数新定义、辅助角公式、求cosx(型)函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可； （2）根据函数新定义结合正弦函数余弦函数值域计算求解； （3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参. 【详解】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立， 即，即对任意的实数恒成立， 则， 解得， 所以是“函数” （2）因为函数是“函数”，所以， 由于当，， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 则， 所以当，， 令，则， 所以或，即或， 因为，所以 故在上的解为. （3）由题可得：， 则，其中，且， 由于，可化为， 即 由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有： 解得：， 由，解得： 所以函数为“函数，其中，，. 67．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、求含cosx的二次式的最值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）, 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 68．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【详解】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 题型十八、求图象变化前（后）的解析式 69．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 【答案】/ 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 70．（24-25高一下·上海·期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值. 【详解】， 对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取最大值. 所以，,所以的最小值为. 故答案为：. 71．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 72．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【详解】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 题型十九、由图象确定正（余）弦型函数解析式 73．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 74．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 75．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【答案】. 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图像求出周期和振幅，再根据最大值点求出. 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 76．（24-25高一下·上海·期中）根据下图，函数的解析式为______    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数图像判断函数性质，进而确定函数解析式. 【详解】由图像可知函数最小值为，且最小正周期， 又，， 则，， 根据函数的对称性可知函数经过点， 即， 解得，， 又， 即， 即， 故答案为：. 题型二十、正切函数的性质 77．（24-25高一下·上海宝山·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 【答案】 【知识点】解正切不等式、二倍角的正弦公式 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则，，， 因为，即，则，可得， 又因为正方形的边长为， 由题意可得，整理可得，即， 因为，则，可得或，解得. 故答案为：. 78．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、求正切（型）函数的周期 【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解. 【详解】因为， 设是的周期，则，即， ，故或，， 即或，， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 79．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正切函数的单调性求参数、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 2 / 70 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题百练通关（易错） 题型一、任意角及其度量 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型二、诱导公式 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求参数 题型三、已知正弦、余弦或正切值求角 题型十三、由正弦（型）函数 的周期性求值 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 题型十四、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 题型五、二倍角公式 题型十五、利用正弦函数的对称性求参数 题型六、三角变换的应用 题型十六、余弦函数的图像 题型七、正弦定理 题型十七、余弦函数的性质 题型八、余弦定理 题型十八、求图象变化前（后）的解析式 题型九、求sinx型三角函数的单调性 题型十九、由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型十、利用正弦型函数的单调性求参数 题型二十、正切函数的性质 题型一、任意角及其度量 1．（24-25高一下·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 2．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________. 题型二、诱导公式 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若，则______. 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是____________. 6．（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 题型三、已知正弦、余弦或正切值求角 7．（24-25高一下·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 8．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，则________． 9．（24-25高一下·上海·期中）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 10．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 11．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 13．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 14．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 15．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 题型五、二倍角公式 16．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知x、，，且a是常数，且，则（   ） A． B． C．1 D． 17．（24-25高一下·上海·期中）若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是__． 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 20．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 21．（24-25高一下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)若、为锐角，且，求的值. 题型六、三角变换的应用 22．（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 23．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则__________. 24．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 25．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 题型七、正弦定理 26．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 27．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 28．（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于_____. 29．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 题型八、余弦定理 30．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 31．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 32．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 33．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 34．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 35．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 题型九、求sinx型三角函数的单调性 36．（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 37．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 38．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 39．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 题型十、利用正弦型函数的单调性求参数 40．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 41．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 42．（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 43．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（24-25高一下·上海·期中）定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 45．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 46．（24-25高一下·上海·期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求参数 47．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 48．（24-25高一下·上海·期中）若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 49．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 题型十三、由正弦（型）函数 的周期性求值 50．（24-25高一下·上海长宁·期中）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 51．（24-25高一下·上海·期中）设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 52．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 题型十四、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 53．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 54．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 55．（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上. (1)求的值； (2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 题型十五、利用正弦函数的对称性求参数 56．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 57．（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 58．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 题型十六、余弦函数的图像 59．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60．（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 题型十七、余弦函数的性质 61．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 62．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 63．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若关于的方程在上恰有两解，则的取值范围是______. 64．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 65．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 66．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 67．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 68．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 题型十八、求图象变化前（后）的解析式 69．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 70．（24-25高一下·上海·期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 71．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 72．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 题型十九、由图象确定正（余）弦型函数解析式 73．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 74．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 75．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 76．（24-25高一下·上海·期中）根据下图，函数的解析式为______    题型二十、正切函数的性质 77．（24-25高一下·上海宝山·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 78．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 79．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 2 / 70 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $