期中真题百练通关压轴13大题型（期中专项训练）高一数学下学期沪教版

期中真题百练通关（压轴） 题型一、正弦、余弦、正切、余切 题型八、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型二、二倍角公式 题型九、余弦函数的性质 题型三、三角变换的应用 题型十、求图象变化前（后）的 解析式 题型四、余弦定理 题型十一、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型五、求sinx型三角函数的单调性 题型十二、由正（余）弦函数的性 质确定图象 题型六、利用正弦型函数的单调性求参数 题型十三、正切函数的性质 题型七、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型一、正弦、余弦、正切、余切 1．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以此时集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】表达出各边长，得到，写出对偶式，计算出，，，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，表达出顶点到线段距离为，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，，， 故，故， ，， ，， 则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，，不合要求； 当时，， 解得，满足要求，此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 故选：B 3．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    【答案】 【知识点】弧长的有关计算、利用定义求某角的三角函数值、由单位圆求三角函数值 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有______个真子集． 【答案】/ 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、诱导公式二、三、四 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 题型二、二倍角公式 5．（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____. 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、二倍角的余弦公式 【分析】通过讨论的解的个数确定的可能值. 【详解】， 由得，设， 记，由于，因此必有两个不等的实根，， 所以中至少有一根属于区间且两根一正一负， （1）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由得， 所以； （2）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由无整数解； （3）若，则由得，不妨记， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然得，此时， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然无整数解； （4）若，则，在或上， 有个根，无实数根，的零点个数为， 由得，此时或； （5）若，则，无实数解，在上， 有个根，的零点个数为，由得，， 在上，有个根，的零点个数为， 由得，. 综上，的取值可能为， 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)求方程在上的解集； (2)设函数； ①证明：在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】已知三角函数值求角、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的余弦公式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可； （2）①借助函数单调性和零点存在定理证明；②利用三角函数二倍角公式化简，再换元，从而得证. 【详解】（1）依题意，得， 所以， 所以或， 当时，，则， 又，所以， 当，则， 又， 所以，所以， 所以方程在上的解集为. （2）①， 当时，则， 此时在上单调递增， 在上也单调递增，所以在上单调递增， ， 所以在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为， 所以，且，所以， 所以， 令，因为，， 故，所以， 又，则， 所以， 则. 7．若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对” (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求m的值： (3)若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 【答案】(1)，m可取任意实数； (2) (3)8 【知识点】二倍角的正弦公式、根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到相应方程，求解，从而求出答案； （3）结合题意得到的表达式，利用进一步转化结合二次函数的单调性知识，求出结果. 【详解】（1）由于是“可消函数”， 则任意，都有，即， 即，则，m可取任意实数， 因此函数的“可消数对”为，m可取任意实数； （2）由题意知， 则为函数的“可消数对”， 故任意，都有， 即，由于，不恒等于0， 故， 则； （3）因为存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”， 所以，， 整理得， 因为，故， 则， 则，当时，随着的增大而增大， 故， 即的最小值为8. 题型三、三角变换的应用 8．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 9．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 【答案】(1)（取法不唯一） (2)是，理由见解析 (3)证明过程见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）根据新定义得到对任意的，均有，取即可，不妨让； （2）只需判断对任意的，不等式是否恒成立即可，通过不断分析得到了只需判断时，不等式是否恒成立即可，通过换元和奇偶性将问题转换为了不等式是否恒成立即可，利用结论即可得证. （3）通过周期性，奇偶性、对称性分析得知当且仅当时，恒成立即可，进一步分析有，，恒成立，其中，结合辅助角公式即可得证. 【详解】（1）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有，注意到恒成立， 故只需让即可，从而只需， 所以取（取法不唯一）即可满足题意； （2）函数“三角优于”函数， 当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 因为， 所以恒成立，即当时，恒成立， 故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可， 即只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 设，此时，从而 问题转换成了不等式是否恒成立即可； 显然都是偶函数， 且时，满足， 故我们只需考虑不等式是否恒成立即可； 由三角函数线可知恒成立， 从而恒成立， 综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数； （3）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， 显然都是偶函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， （i）当时，恒成立，这就要求； （ii）当时，恒成立，这就要求； 从而首先有， 其次时，不等式恒成立， 设，则 ， 所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称， 当，若， 这就要求， 从而时，不等式恒成立， 当且仅当时，不等式恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 而时，不等式恒成立， 当且仅当时，恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 设，； 所以，，时，不等式恒成立等价于 不等式恒成立，其中， 即当时，不等式恒成立， 由辅助角公式可知使得， 而，这就要求 ，即. 10．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. (1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3) 【知识点】辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）根据题意，由“相关”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由“相关”的定义以及正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由“相关”的定义以及辅助角公式代入计算，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，即，即， 且，故或. （2）由题意可得，整理可得， 即，故或， 且，因此或. （3）由题，， 整理可得， 转化为， 即， 由正弦函数的值域可得， 即， 化简可得， 即，且， 解得， 所以b的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题以及三角恒等变换的应用，难度较大，解答本题的关键在于理解“f相关”的定义，然后结合三角恒等变换的知识解答. 题型四、余弦定理 11．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则_____． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 12．如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则_____________. 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据已知条件并作关于的对称点，且在线段上，应用正弦定理求得，再应用余弦定理求得，最后利用等面积法列方程求. 【详解】由且为三角形内角，又且为锐角， 所以，如下图作关于的对称点，且在线段上， 连接，则，即，故， 所以， 在中，，即， 在中，，即， 所以， 综上，， ， ， 两式相减，得，即， 由，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是作等腰三角形，利用正余弦定理求相关线段的长度，并结合等面积法求高即可. 题型五、求sinx型三角函数的单调性 13．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、三角函数图象的综合应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 14．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】(1)，. (2) (3)68 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、正、余弦型三角函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾函数最值即可求解； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【详解】（1） . 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，且， 因为，则函数在上单调递减， 由，解得， 则的最大值为，故. （3）令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， 则， 因， 所以. 题型六、利用正弦型函数的单调性求参数 15．已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先求出，利用单调性确定的范围，结合范围可求答案. 【详解】，，, 又时，单调递增, ，，且， ，， 或， 或， 时，， 时，， ∴和在其范围内，即取得最大值和最小值，. 又时，， 的最小值始终在处取得，且最大值， ，综上的取值范围为. 故选：B 16．（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期； （3）由题意存在，，且，使得成立，由此即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以函数在区间上只有一个最小值点， 又因为， 由正弦函数的图象可知：，解得， 所以的取值范围为． （2）由，可知函数关于点对称． 因此，解得，其中为整数． 由于函数在区间上是严格增函数，所以，所以， 结合，其中为整数，所以， 又，其中为整数，所以或， 当时，，函数在区间上不是严格增函数， 当时，，函数在区间上是严格增函数，且关于点对称．所以． 因此函数的最小正周期为． （3）已知函数的值域为，因此， 又，则当且仅当时成立，即， 令，则当，时，，， 此时需存在，满足（为整数），且， 则区间内至少包含两个不同的点， 设存在整数满足， 当时，；当时，；当时，符合题意； 所以． 题型七、求含sinx（型）函数的值域和最值 17．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（    ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】C 【知识点】三角函数线的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】对于①：根据最值分析若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为，举反例说明即可；对于②：先证，分和两种情况，结合函数最值放缩即可证明. 【详解】对于①：因为，当且仅当时，等号成立， 若，为最大值， 可知当且仅当时，取到最大值， 若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为， 但，即， 所以函数的图象是轴对称图形不成立，故①错误； 对于②：先证， 当时，如图所示： 在标准单位圆中，轴，， 则的长为，， 可得； 当时，则； 综上所述：，可得. 当时，，即； 当时，则， 即； 综上所述：，故②正确； 故选：C. 19．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 20．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、对勾函数求最值、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，则， 任取， 则， 因为， 所以，则， 所以在上为增函数， 所以有解， 所以有解，即， 设，又得，， 则，当且仅当时等号成立， 由双勾函数的单调性知，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故答案为：． 21．（24-25高一下·上海普陀·期中）若实数，，满足，则称比远离． (1)若0比远离，求的取值集合； (2)已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值． ①求的表达式； ②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）； (3)对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数新定义 【分析】（1）根据新定义以及余弦函数性质解不等式即可； （2）根据新定义求得函数表达式，进一步画出函数的图象，通过图象得出所求性质即可； （3）首先肯定要对分类讨论，其次一个比较关键的地方在于要利用换元法，以及飘带函数、对勾函数的性质，从而即可求解. 【详解】（1）由新定义可得，，即， 解得，即 , 由余弦函数的性质可得或，， 故所求为或； （2）①（i）若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为， 即或，解得， 综上，时，； （ii）若，由①可知，. . ②函数图象如图， 由图可知该函数是非奇非偶函数， 函数的最小正周期为， 值域为； （3）设，则， 设， 所以我们只需要研究当时，函数的最大值是否存在即可， （i）当时，，故此时不存在最大值； （ii）当时，显然在上均单调递减， 从而， 若此时存在最大值，则当且仅当，解得， 注意到， 所以当时，函数不存在最大值，当时，函数存在最大值； （iii）当时，， 由于当时，，当时，， 故我们只需要研究当时，函数是否存在最大值即可； 根据对勾函数性质可知，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在这里我们又分三小种情况来讨论： 情形一：当，即时， 函数在上单调递减， 此时函数无最大值； 情形二：当，由的定义可知，此时本就不存在； 情形三：当，即时， 函数在上单调递增， 此时函数有最大值； 综上所述，当时，函数不存在最大值；当时，函数存在最大值；当时，函数存在最大值. 题型八、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 22．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、几何中的三角函数模型、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的振幅，频率. （2）设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. （3）由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 23．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将化简，即可得解； （2）首先求出的值，即可求出在上的值域，依题意，即可得到关于的不等式组，解得即可； （3）首先求出的值，再令，结合二次函数的性质求出的值域，依题意可得，求出的范围，结合正弦函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 又且， 所以，； （2）因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； （3）因为的最大值为，且，所以，则， 令，则， 因为，所以当时取得最大值，即， 当时取得最小值，即， 所以， 因为对于任意的，总是存在，使等式成立， 所以， 当时， 又，所以，又，， 所以，解得，即的取值范围为； 24．定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正切公式、辅助角公式、三角函数新定义 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 题型九、余弦函数的性质 25．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、cosx（型）函数对称性的其他应用、集合元素互异性的应用 【分析】集合中的元素由生成，当为有理数时，余弦函数的取值会呈现周期性，导致集合元素个数有限.关键点在于确定的分母与元素个数的关系，进而判断选项中哪些会导致元素个数不符合2025. 【详解】若（互质），则余弦函数的周期为， 集合元素个数为（当为偶数时）或（当为奇数时）. 需验证选项中对应的是否满足或. 选项A:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项B:，对应（奇数）. 元素个数为，可能. 选项C:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项D:，对应（奇数）. 元素个数为，不可能. 故选：D. 26．（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)或 【知识点】特殊角的三角函数值、正弦函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题、三角函数新定义 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 27．（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)假命题，答案见解析 (3)答案见解析，值域为，最大值为，最小值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义 【分析】（1）利用正弦函数性质和余弦函数性质结合周期性的定义求解即可. （2）先判断原命题是假命题，再利用正弦函数的性质证明即可. （3）利用诱导公式求出，再利用正弦函数和余弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. （2）该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. （3）由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 28．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. (1)判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； (2)已知与是一对“共零函数”，求的值； (3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】(1)不是； (2)； (3). 【知识点】求函数的零点、利用cosx（型）函数的对称性求参数、由对数（型）的单调性求参数、函数新定义 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【详解】（1）由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. （2）由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； （3）由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 题型十、求图象变化前（后）的 解析式 29．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 30．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可； （2）令，求得该不等式在内的解即可； （3）利用图象变换求得解析式，再根据第100个最值点列不等式求解即可. 【详解】（1） （2）对于，令， 求得， 可得函数的单调减区间为，， 故函数在区间上的单调减区间为，． （3）将函数的图象向右移动个单位，可得的图象； 再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值， 根据当时，在区间上正好有100个最大值， ，求得，故实数的取值范围为． 题型十一、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 31．（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、二倍角的余弦公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解； （2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由图可知：，解得， . 又，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴， ∴，解得. 由图可知函数周期，∴. ∵，∴，∴，. 综上，，，，. （2）由（1）知， ∴. 令，则，. 由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上，函数的值域为. 【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值； 本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围. 32．若函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若当时，，求实数t的取值范围． (3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式； （2）利用周期得，以为整体，结合正弦函数图象分析求解即可； （3）根据题意结合正项函数值域可得，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解. 【详解】（1）设的最小正周期为T，且， 由题图可得，且， 即，则，可得， 又因为，即， 且，则， 可得，即， 所以， （2）当时，利用周期等价于，则， 若，即， 则，解得， 所以实数t的取值范围为. （3）由题意可知：， 若存在非零常数λ，对任意，有成立， 因为在R上的值域为，则在R上的值域为， 可知，即， 当时，则，可知1为的一个周期， 即1为最小正周期的整数倍， 可得，则（且）， 当时，则， 可得， 由诱导公式可得，可得 综上所述：当时，且； 当时，． 题型十二、由正（余）弦函数的性 质确定图象（解析式） 33．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 34．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 35．（24-25高一下·上海·期中）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为__________（请写出所有正确命题的序号）. 【答案】①②④ 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正弦（型）函数的周期性求值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】求出函数解析式可得，经验证可得函数是奇函数，即①正确，利用整体代换法并根据正弦函数单调性可判断②正确，根据三角函数周期性计算可得，且，因此③错误；结合诱导公式以及三角恒等变换计算可得当时，符合题意，可得④正确. 【详解】由经过点可得， 即，可得， 又，因此可得； 所以； 对于①，易知为奇函数，即①正确； 对于②，当时，， 结合正弦函数图象性质可得函数在区间上严格减；即②正确. 对于③，易知函数的最小正周期为， 且，易知， 所以的最大值为2，即， 所以不存在自然数，使得；即③错误； 对于④，根据题意可得 ， 因此存在常数，对于任意实数，使得，即④正确. 故答案为：①②④ 36．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 题型十三、正切函数的性质 37．在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】化简为，结合余弦定理即可求的，根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可. 【详解】根据题意，，即， 由余弦定理，又，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 即， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简. 38．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】(1)不是，是 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数周期性的应用、求正切（型）函数的定义域、由不等式的性质证明不等式、函数新定义 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【详解】（1）对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. （2）若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. （3）由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题百练通关（压轴） 题型一、正弦、余弦、正切、余切 题型八、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型二、二倍角公式 题型九、余弦函数的性质 题型三、三角变换的应用 题型十、求图象变化前（后）的 解析式 题型四、余弦定理 题型十一、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型五、求sinx型三角函数的单调性 题型十二、由正（余）弦函数的性 质确定图象 题型六、利用正弦型函数的单调性求参数 题型十三、正切函数的性质 题型七、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型一、正弦、余弦、正切、余切 1．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    4．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有______个真子集． 题型二、二倍角公式 5．（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____. 6．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)求方程在上的解集； (2)设函数； ①证明：在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 7．若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对” (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求m的值： (3)若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 题型三、三角变换的应用 8．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 9．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 10．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. (1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 题型四、余弦定理 11．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则_____． 12．如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则_____________. 题型五、求sinx型三角函数的单调性 13．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 14．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 题型六、利用正弦型函数的单调性求参数 15．已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 题型七、求含sinx（型）函数的值域和最值 17．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（    ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 19．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 20．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 21．（24-25高一下·上海普陀·期中）若实数，，满足，则称比远离． (1)若0比远离，求的取值集合； (2)已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值． ①求的表达式； ②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）； (3)对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由． 题型八、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 22．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 23．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 24．定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 题型九、余弦函数的性质 25．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 27．（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 28．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. (1)判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； (2)已知与是一对“共零函数”，求的值； (3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 题型十、求图象变化前（后）的 解析式 29．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 30．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 题型十一、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 31．（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 32．若函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若当时，，求实数t的取值范围． (3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 题型十二、由正（余）弦函数的性 质确定图象（解析式） 33．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 35．（24-25高一下·上海·期中）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为__________（请写出所有正确命题的序号）. 36．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 题型十三、正切函数的性质 37．在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为______. 38．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $