期中真题百练通关常考17大题型（期中专项训练）高一数学下学期沪教版

期中真题百练通关（常考） 题型一、任意角及其度量 题型十、求sinx型三角函数的单调性 题型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型三、诱导公式 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求 参数 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 题型十三、求正弦（型）函数的最小正周期 题型五、二倍角的正弦公式 题型十四、余弦函数的性质 题型六、二倍角的余弦公式 题型十五、求图象变化前（后）的解析式 题型七、三角变换的应用 题型十六、由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型八、正弦定理 题型十七、正切函数的性质 题型九、余弦定理解三角形 题型一、任意角及其度量 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【答案】 【知识点】角度化为弧度、弧长的有关计算 【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是___________． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了________弧度． 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为________. 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】由条件结合弧长公式求半径，再利用扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 由已知，， 由弧长公式可得， 所以，故， 所以该扇形的面积. 故答案为：. 题型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 6．（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由已知点到原点的距离， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则______. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则_________． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边上有一点，所以. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    【答案】 【知识点】弧长的有关计算、利用定义求某角的三角函数值、由单位圆求三角函数值 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 题型三、诱导公式 11．（24-25高一下·上海·期中）化简：__________． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简即可. 【详解】 . 故答案为： 12．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 【答案】或 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意，分角的终边在一条直线上和角的终边在上两种情况讨论，确定的值，得到答案. 【详解】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况： 当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角； 当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为， 故的取值为或. 故答案为：或. 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 14．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 16．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】比较正弦值的大小、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由，其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 17．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 18．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 19．（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 20．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 21．（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则______. 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】首先求出，再由及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 题型五、二倍角的正弦公式 22．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知x、，，且a是常数，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】判断一般幂函数的单调性、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据题意化简方程组可得，令，即，结合函数单调性可得，再代入计算即可． 【详解】, ，得， 即， 令， 在上均为增函数， 在上单调递增， 又，即， 且，， ，即， ． 故选：C ． 23．（24-25高一下·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式 【分析】由条件求，再根据三角函数定义求，，根据二倍角正弦公式求结论. 【详解】因为角的终边与单位圆交于第三象限内的点， 所以，且， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 24．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 25．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数，的值域为________． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】， 因为，所以，则， 故答案为：． 26．（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 题型六、二倍角的余弦公式 27．（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 28．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 29．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【详解】（1）由题：， . （2）因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 30．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）先求在的值域，在利用在上恒成立，即在上恒成立，即在的值域含在即可. 【详解】（1）由题意有， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）由在上恒成立，即在上恒成立， 由得，所以，即， 所以， 即. 题型七、三角变换的应用 31．（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为______. 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 32．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3)或． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由图像求即可求解 （2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解； （3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解. 【详解】（1）由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 33．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 【答案】(1)（取法不唯一） (2)是，理由见解析 (3)证明过程见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）根据新定义得到对任意的，均有，取即可，不妨让； （2）只需判断对任意的，不等式是否恒成立即可，通过不断分析得到了只需判断时，不等式是否恒成立即可，通过换元和奇偶性将问题转换为了不等式是否恒成立即可，利用结论即可得证. （3）通过周期性，奇偶性、对称性分析得知当且仅当时，恒成立即可，进一步分析有，，恒成立，其中，结合辅助角公式即可得证. 【详解】（1）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有，注意到恒成立， 故只需让即可，从而只需， 所以取（取法不唯一）即可满足题意； （2）函数“三角优于”函数， 当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 因为， 所以恒成立，即当时，恒成立， 故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可， 即只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 设，此时，从而 问题转换成了不等式是否恒成立即可； 显然都是偶函数， 且时，满足， 故我们只需考虑不等式是否恒成立即可； 由三角函数线可知恒成立， 从而恒成立， 综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数； （3）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， 显然都是偶函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， （i）当时，恒成立，这就要求； （ii）当时，恒成立，这就要求； 从而首先有， 其次时，不等式恒成立， 设，则 ， 所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称， 当，若， 这就要求， 从而时，不等式恒成立， 当且仅当时，不等式恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 而时，不等式恒成立， 当且仅当时，恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 设，； 所以，，时，不等式恒成立等价于 不等式恒成立，其中， 即当时，不等式恒成立， 由辅助角公式可知使得， 而，这就要求 ，即. 题型八、正弦定理 34．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 35．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 36．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 37．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 题型九、余弦定理解三角形 38．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 39．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ， 在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 40．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 【答案】; 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 41．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 42．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 题型十、求sinx型三角函数的单调性 43．（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为________． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 44．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的严格增区间为______. 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 45．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、三角函数图象的综合应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 46．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】(1)； (2)；或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， 47．（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用三角函数定义计算. （2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间. （3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题. 【详解】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 48．（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 49．（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】假设，都是锐角，可得，与已知矛盾，从而可得以，中一定存在钝角，则角为锐角，从而可判断结论的真假. 【详解】假设，都是锐角，则，故是锐角. 则，同理，从而，矛盾. 故，中必定有一个为钝角，②对①错. 不妨设为钝角，则，为锐角. ， ， ， 看成关于的一元二次方程，注意到， 则判别式恒成立，且两根之积为负数. 从而对任意锐角，必存在唯一钝角符合关系式，因为， 所以也为钝角，所以为锐角. 故可取遍任意锐角， 所以，即，③正确， 又因为任意一个集合都是自身的子集，则，故④正确， 故选：C． 50．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 51．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据正弦型函数值域及最值，利用整体法计算即可； （2）由题意可得，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 当，即时，取得最大值， ， 为函数最大值时，； （2）由（1）知，设，角对应边为， ，解得， 由余弦定理，即， （当且仅当时取等）， 即边的最小值为． 52．（24-25高一下·上海闵行·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为． (1)求函数的表达式； (2)当时，设，求的值域； (3)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）将解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 过作，垂足为，由题意可得：， 所以， 所以矩形的面积 （2）当时， ， 令，因为，所以， 则函数，其对称轴为， 当时，， 当或时，，所以 （3）因为， 当时， 当且仅当，即 ，解得或时，等号成立． 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求 参数 53．（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为________． 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简，即可得到，再由正弦函数的性质求出，的取值，即可得解. 【详解】因为， ， 若， 即，所以或， 根据对称性不妨令， 则，， 所以， 所以当时取得最小值. 故答案为： 54．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案. 【详解】由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得. 所以的取值范围为 故答案为： 55．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，恒成立， 即， 当时，，所以，则， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十三、求正弦（型）函数的最小正周期 56．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、函数新定义 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 57．（24-25高一下·上海·期中）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（）的周期为和的最小公倍数，然后验证得到正整数所有可能取值即可. 【详解】（）的周期为和的最小公倍数， 所以为和的最小公倍数，所以，所以， 因为，，所以为250的约数，为5的整数倍，为偶数， 所以， 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 所以，所以满足条件的正整数的所有可能取值有4个. 故选：C 58．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是_________． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 59．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【答案】/ 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 题型十四、余弦函数的性质 60．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 【答案】1 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 61．（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 62．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 63．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 64．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 65．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 【答案】(1)是“函数” (2) (3)是，，， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可； （2）根据函数新定义结合正弦函数余弦函数值域计算求解； （3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参. 【详解】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立， 即，即对任意的实数恒成立， 则， 解得， 所以是“函数” （2）因为函数是“函数”，所以， 由于当，， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 则， 所以当，， 令，则， 所以或，即或， 因为，所以 故在上的解为. （3）由题可得：， 则，其中，且， 由于，可化为， 即 由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有： 解得：， 由，解得： 所以函数为“函数，其中，，. 题型十五、求图象变化前（后）的解析式 66．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 67．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 68．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 69．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【详解】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 题型十六、由图象确定正（余）弦型函数解析式 70．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 71．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 72．（24-25高一下·上海普陀·期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【答案】， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围. 【详解】因为，所以函数的最小正周期， 所以函数在区间上的图象为一个周期的图象， 又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，， 所以与关于对称，且， 所以，即， 故，所以， 故答案为：，. 73．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图，则 的值为_____. 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先由函数图象得到符合题意的的表达式，再求出一个周期的值，再根据函数的周期性求值即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又因为，所以，所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，因为，令，可得， 所以. 所以， 因为，所以， 因为一共有2026项，且， 所以. 故答案为： 74．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式； （2）利用正弦函数单调递增区间即可解得； （3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域. 【详解】（1）根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得; ，可得，， 又因为，所以， 即； （2）由，，解得，， 所以的递增区间为； （3）当时，，此时有， 即的值域为. 题型十七、正切函数的性质 75．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为________ 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 76．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解. 【详解】因为， 设是的周期，则，即， ，故或，， 即或，， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 77．（24-25高一下·上海·期中）把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求正切（型）函数的周期 【分析】由题得到函数的解析式，再根据最小正周期计算公式计算即可. 【详解】函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象， 则函数，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 78．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、正切函数图象的应用、求正切（型）函数的周期 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 79．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正切函数的单调性求参数、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 2 / 58 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题百练通关（常考） 题型一、任意角及其度量 题型十、求sinx型三角函数的单调性 题型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 题型三、诱导公式 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求 参数 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 题型十三、求正弦（型）函数的最小正周期 题型五、二倍角的正弦公式 题型十四、余弦函数的性质 题型六、二倍角的余弦公式 题型十五、求图象变化前（后）的解析式 题型七、三角变换的应用 题型十六、由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型八、正弦定理 题型十七、正切函数的性质 题型九、余弦定理解三角形 题型一、任意角及其度量 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是___________． 4．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了________弧度． 5．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为________. 题型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 6．（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 7．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 8．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则______. 9．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则_________． 10．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    题型三、诱导公式 11．（24-25高一下·上海·期中）化简：__________． 12．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 14．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 15．（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 题型四、两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 16．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 17．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 18．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 19．（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 20．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 21．（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则______. 题型五、二倍角的正弦公式 22．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知x、，，且a是常数，且，则（   ） A． B． C．1 D． 23．（24-25高一下·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________． 24．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则______. 25．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数，的值域为________． 26．（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 题型六、二倍角的余弦公式 27．（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 28．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则________． 29．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 30．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型七、三角变换的应用 31．（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为______. 32．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 33．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 题型八、正弦定理 34．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 35．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 36．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 37．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 题型九、余弦定理解三角形 38．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 39．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 40．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 41．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 42．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 题型十、求sinx型三角函数的单调性 43．（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为________． 44．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的严格增区间为______. 45．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 46．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 47．（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 题型十一、求含sinx（型）函数的值域和最值 48．（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 49．（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 51．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 52．（24-25高一下·上海闵行·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为． (1)求函数的表达式； (2)当时，设，求的值域； (3)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 题型十二、由正弦（型）函数 的值域（最值）求参数 53．（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为________． 54．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 55．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 题型十三、求正弦（型）函数的最小正周期 56．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 57．（24-25高一下·上海·期中）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 58．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是_________． 59．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 题型十四、余弦函数的性质 60．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 61．（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 62．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 63．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 64．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 65．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 题型十五、求图象变化前（后）的解析式 66．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 67．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 68．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 69．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 题型十六、由图象确定正（余）弦型函数解析式 70．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 71．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 72．（24-25高一下·上海普陀·期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 73．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图，则 的值为_____. 74．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 题型十七、正切函数的性质 75．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为________ 76．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 77．（24-25高一下·上海·期中）把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 78．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 79．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 2 / 58 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $