第4章 立体几何初步（知识清单）数学湘教版必修第二册

第4章 立体几何初步 清单1 空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在的平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 常用结论 1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 清单2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式、空间几何体的表面积与体积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 名称 几何体　 　 　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥 体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台 体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 常用结论 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝(a为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． 2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． 清单3 四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 清单4空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； ②范围：． (3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 清单5 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且α∩β＝a 常用结论 1．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 清单6 直线与平面平行的判定定理和性质定理、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a，a⊂α，l⊄α， 所以l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，l⊂β， α∩β＝b， 所以l∥b 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β， b∥β， a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， 所以α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， 所以a∥b 常用结论 1．三种平行关系的转化 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想． 2．平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 清单7 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 清单8 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 清单9直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． (2)线面角θ的范围：θ∈. ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角． 常用结论 1．与线面垂直相关的两个常用结论 (1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直． (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 易错点1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 例1.在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【答案】或 【分析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，进而求得棱台侧高，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，由，得， 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，（根据正方形外接圆半径与边长关系）， 设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，， 则正四棱台的高或， 侧面梯形的高 或， 正四棱台的表面积， 或正四棱台的表面积. 故答案为：或 例2.如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论． 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 例3.如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（    ） A．当时，正四棱锥的侧面积为 B．当时，正四棱锥的体积为 C．当时，正四棱锥的外接球半径为 D．当时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是 【答案】ABC 【分析】画出正四棱锥，对于A，四棱锥的侧面积为，对于B，求出四棱锥的高，可求出其体积，对于C，设正四棱锥的外接球的球心为，则在上，由可求出外接球的半径，对于D，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径. 【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥， 对于A，当时，则， 设为的中点，连接，则， 所以四棱锥的侧面积为，所以A正确， 对于B，设，连接，则平面，， 所以， 所以四棱锥的体积为，所以B正确， 对于C，设正四棱锥的外接球的球心为，则在上，连接， 设外接的半径为，则， 在中，，所以，解得，所以C正确， 对于D，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为， 则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则， 所以，解得，所以D错误， 故选：ABC 易错点2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 例1.一个高为的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 . 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图计算半径与母线关系，再由勾股定理求出半径，最后代入公式计算表面积即可； 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形可得，解得， 由勾股定理可得，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 圆台的高为，B正确； C选项，圆台的体积为，C正确； D选项，由于圆台的高为，当球的直径为时，半径为， 梯形的面积为， ， ， 故， 又，故此时球心到的距离为， 而， 故圆台内部可以容纳的球的直径最大为，D正确. 例2.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 例3.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 易错点3球的表面积与体积 例1.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【答案】 【分析】画出球心截面图，分析求出球的半径求解即可. 【详解】球心的截面图如图， 则，由截面圆的周长为，得， 解得，球的半径是， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 例2.已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为， 因为圆台上下底面面积之比为，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， ，得，所以，， ，得， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 例3.在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积. 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 易错点4　截面问题 例1. 四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故答案为：. 例2.正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，求得面积即可． 【详解】由题意得正方体的中心是内切球球心， 设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为， 因为正方体的棱长为2， 所以由勾股定理得，同理可得， 则，故是等边三角形， 得到，则，如图，连接， 易得，，由勾股定理得，则， 因为，所以， 所以， 则， 而由题意得正方体内切球半径，正方体内切球被平面所截， 得到的截面是一个圆半径为r的圆， 由勾股定理得， 由圆的面积公式得面积为，故C正确. 故选：C 例3. 已知正四面体的四个顶点在球的球面上，，Q为BC的中点，则过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正方体与正四面体的外接球相同这一关系，先确定球心和球的半径，再根据球的截面性质分别找出过点的截面圆面积的最大值和最小值，从而得到取值范围.其中正方体的外接球的球心是正方体体对角线的中点，球的截面中，过球心的截面圆面积最大，当球心与截面圆心的连线垂直于截面时，截面圆面积最小. 【详解】已知正方体的外接球与正四面体的外接球相同，且正方体体对角线的中点为球心.设正四面体的棱长为. 设外接球半径为,正四面体体积公式. 正四面体的外接球半径与棱长的关系为. 已知. 那么，所以.代入可得:. 根据圆的面积公式（对于球的截面圆，当截面过球心时，截面圆半径等于球的半径），所以最大截面为过球心的圆，其面积. 这是因为过球心的截面圆是球的大圆，此时圆的半径就是球的半径，所以面积最大.   因为为的中点，由正方体结构特征可得. 设截面圆半径为，球的半径为，球心到截面的距离为（这里，），根据球的截面性质（在由球心、截面圆心和球面上一点构成的直角三角形中，球的半径为斜边，球心到截面的距离和截面圆半径为两直角边，满足勾股定理），则. 再根据圆的面积公式，可得最小截面圆面积. 这是因为当与截面圆垂直时，球心到截面的距离达到最大，此时截面圆半径最小，所以截面圆面积最小.   由前面求出的最大截面圆面积和最小截面圆面积， 可知过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围为. 故答案为：. 易错点5异面直线所成的角 例1如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 例2.已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确； D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 例3.正八面体是一种正多面体，也是一种正轴体，由8个正三角形面组成，每个面均为正三角形.如图，正八面体的棱长为10，M为棱FC上一点，且，则（    ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】应用线面平行结合面面平行判定定理判断A,再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B,应用二面角定义找到即二面角的平面角再结合余弦定理求解判断C,根据线线平行得出异面直线所成角为再余弦定理计算即可判断D. 【详解】由正八面体的性质可得平面,不在平面内，所以平面， 又因为，平面,不在平面内，所以平面， 又,平面,所以平面平面，A正确. 连接，.设与交于点O，则即该正八面体外接球的半径. 因为，所以该正八面体外接球的表面积为，B错误. 取AD的中点N，连接易得,则即二面角的平面角. 因为正八面体的棱长为10，所以,,， 所以，C正确. 因为，所以即异面直线AE与BM所成的角. 因为，所以.因为， 所以，则，D正确. 故选：ACD. 易错点6空间直线、平面的平行 例1.在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【详解】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 例2.在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由已知可得，进而由线面平行的判定定理可证平面． 【详解】因为E，F分别是AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 例3.如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明平面平面．即可证，同理可证，即可证明结论. 【详解】四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面，同理，可证得平面． 平面，平面，且， 平面平面． 又平面平面，平面平面， ．同理可证．四边形是平行四边形． 例4.在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，． 由题意知，．平面，平面， 平面．又，，． 又E，F分别是AD，AB的中点，，则， ．． 又，．四边形为平行四边形．． 平面，平面，平面． ，，平面，平面平面． 易错点6空间直线、平面的垂直 例1.如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面角的正切值. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 例2.已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理即可得到；（2）应用线面垂直的性质和判定定理即可得证． 【详解】（1），理由如下： 平面平面，于点， 平面平面，平面， 平面．又平面，． （2）证明：平面，平面， ．，，平面, 平面．又平面，． 例3.如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得证； （2）由平面平面PCD依次证平面ADP、、平面ACP、即可； （3）由几何关系可得，结合即可求值. 【详解】（1）作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． （2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. （3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 例4.已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，可得平面平面. （2）先判断出异面直线与所成角，然后求得所成角的余弦值. 【详解】（1）由于，所以， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，由于平面， 所以. 由于平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面． （2）由于，所以是异面直线与所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 1.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，B在平面α上，AB＝.若平面A1B1C1D1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体ABCD­A1B1C1D1在平面α上的俯视图的面积为(　　) A．2 B．1＋ C．2 D．2 解析：选B.由题意得AB在平面α内，且平面α与平面ABCD所成的角为30°，与平面B1A1AB所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S＝×(cos 30°＋cos 60°)＝2(cos 30°＋cos 60°)＝1＋. 2.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱， 该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B. 3.已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错． 4.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点所得的四边形一定是(　　) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：选B. 如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形． 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC.又FG∥BD， 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角． 而AC与BD所成的角为90°， 所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形． 5.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1 C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E 解析：选C.因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，所以选项A错误．假设AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，即∠CAB＝90°，从而可得∠C1A1B1＝90°，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项B错误．因为点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，所以AE，B1C1为异面直线；由题意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，所以AE⊥BC，结合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1，故选项C正确．因为直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故选项D错误．综上，选C. 6.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD， ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为(　　) A.　　 B． C．　　 D. 解析： 选C.因为ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以ED∥FC.取ED的中点G，连接AG，FG，如图，因为ED＝2FC，所以DG＝FC，且DG∥FC， 所以四边形CDGF为平行四边形，则FG∥CD且FG＝CD.又四边形ABCD为正方形，所以CD∥AB，CD＝AB，则FG∥AB且FG＝AB，则四边形ABFG为平行四边形，则BF∥AG，则∠EAG是AE与BF所成的角，由正方形ABCD的边长为2，ED＝2FC＝2，可得AE＝2，AG＝，EG＝1，在△AEG中，由余弦定理得cos∠EAG＝＝＝，故选C. 7.已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β C．若α∥β，a∥α，则a∥β D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c 解析：选D.若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确． 8.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A. 9.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 解析：选B.在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1. 因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC， 所以A1B1∥平面ABC. 因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE， 所以DE∥A1B1，所以DE∥AB. 10.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l　　　　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析：选C.由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l. 11已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(　　) A．若l∥m，则必有α∥β B．若l⊥m，则必有α⊥β C．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α 解析：选C.对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误； 对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误； 对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确； 对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误． 12.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：选C.由题意，因为PD⊥底面ABCD， 所以PD⊥DC，PD⊥BC， 又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD， 因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC， 所以四面体P­DBC是一个鳖臑． 因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE， 因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC， 因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC， 可知四面体E­BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E­BCD是一个鳖臑． 同理可得，四面体P­ABD和F­ABD都是鳖臑，故选C. 14.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上的运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为(　　) A．线段B1C B．线段BC1 C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段 D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段 解析： 选A.如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AP⊥BD1，且AP⊂平面ACB1，所以BD1⊥平面ACB1. 又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动， 所以点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段B1C.故选A. 15.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________． 解析：如图，连接DE交FC于点O， 取BE的中点G，连接OG，CG， 则OG∥BD且OG＝BD， 所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角． 设正方形ABCD的边长为2， 则CE＝BE＝1，CF＝DE＝＝， 所以CO＝CF＝. 易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE， 所以BD＝＝， 所以OG＝BD＝. 易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE， 又GE＝BE＝， 所以CG＝＝. 在△COG中，由余弦定理得， cos∠COG＝ ＝＝， 所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为. 答案： 16.已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 解析： 如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2. 分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝ ＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝. 答案： 17.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________． 解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点． 故EF＝AC＝. 答案： 18.在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________． 解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为×(＋2)× ＝. 答案： 19.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)l∥m，证明如下： 由(1)知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM，所以l∥m. 20.如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD， 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF. 所以CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 21.如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN. (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，故CD⊥平面PAD. 又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM， 而PC⊥平面AMN，有PC⊥AM，又PC∩CD＝C，则AM⊥平面PCD，故AM⊥PD. (2)延长NM，CD交于点E，因为PC⊥平面AMN， 所以NE为CE在平面AMN内的射影，故∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角． 又因为CD⊥PD，EN⊥PN，则有∠CEN＝∠MPN， 在Rt△PMN中，sin ∠MPN＝＝， 故CD与平面AMN所成角的正弦值为. 42 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 立体几何初步 清单1 空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面 ，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 的三角形 棱台 棱锥被 于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在的平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 常用结论 1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 清单2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式、空间几何体的表面积与体积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝ 名称 几何体　 　 　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ 锥 体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ 台 体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S＝ V＝ 常用结论 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝(a为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． 2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． 清单3 四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过 的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线 ． 清单4空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； ②范围：． (3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． 清单5 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且α∩β＝a 常用结论 1．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 清单6 直线与平面平行的判定定理和性质定理、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a，a⊂α，l⊄α， 所以l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，l⊂β， α∩β＝b， 所以l∥b 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β， b∥β， a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， 所以α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， 所以a∥b 常用结论 1．三种平行关系的转化 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想． 2．平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 清单7 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 清单8 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 清单9直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图， 就是斜线AP与平面α所成的角． (2)线面角θ的范围：θ∈. ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角． 常用结论 1．与线面垂直相关的两个常用结论 (1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直． (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 易错点1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 例1.在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 例2.如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 例3.如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（    ） A．当时，正四棱锥的侧面积为 B．当时，正四棱锥的体积为 C．当时，正四棱锥的外接球半径为 D．当时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是 易错点2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 例1.一个高为的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 . 例2.（多选题）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 例3.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 易错点3球的表面积与体积 例1.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 例2.已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 例3.在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 易错点4　截面问题 例1. 四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 例2.正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 例3. 已知正四面体的四个顶点在球的球面上，，Q为BC的中点，则过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围是 ． 易错点5异面直线所成的角 例1如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 例2.已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 例3.正八面体是一种正多面体，也是一种正轴体，由8个正三角形面组成，每个面均为正三角形.如图，正八面体的棱长为10，M为棱FC上一点，且，则（    ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 易错点6空间直线、平面的平行 例1.在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 例2.在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 例3.如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 例4.在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 易错点6空间直线、平面的垂直 例1.如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 例2.已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 例3.如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 例4.已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 1.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，B在平面α上，AB＝.若平面A1B1C1D1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体ABCD­A1B1C1D1在平面α上的俯视图的面积为(　　) A．2 B．1＋ C．2 D．2 2.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 3.已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 4.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点所得的四边形一定是(　　) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1 C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E 6.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD， ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为(　　) A.　　 B． C．　　 D. 7.已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β C．若α∥β，a∥α，则a∥β D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c 8.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 9.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 10.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l　　　　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 11已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(　　) A．若l∥m，则必有α∥β B．若l⊥m，则必有α⊥β C．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α 12.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上的运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为(　　) A．线段B1C B．线段BC1 C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段 D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段 15..如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________． 16.已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 17.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________． 18.在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________． 19.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 20.如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 21.如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN. (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值． 18 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $