第4章 立体几何初步（单元自测·基础卷）数学湘教版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高一数学单元自测卷 第4章 立体几何初步·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(    ) A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④⑤ 2．下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4．已知长方体的底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为(      ) A. B.4 C. D.6 5．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　) ①DF∥平面PBC； ②AB⊥平面PDC； ③平面PEF⊥平面ABC； ④平面PAE⊥平面PBC. A.3 B.2 C.1 D.0 6．在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在等腰三角形ABC中，，，点D为BC上一点，且.将沿AD翻折至平面平面ACD，连接BC， 则点D到平面ABC的距离为(      ) A. B. C. D. 8．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝4，PA＝2，则平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积是（　　） A． B． C．12π D．36 π 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 11．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1：2，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则（　　） A．球O的体积为 B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20 C．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为 D．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________. 13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________. 14.给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．   (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 16．（15分）)如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 18．（17分）某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高为4m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4m（高不变）；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4m（底面直径不变）． (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积； (3)哪个方案更经济些？为什么？ 19．（17分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD′⊥BE； (2)求四棱锥D′－ABCE的体积； (3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第4章 立体几何初步·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(    ) A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④⑤ 2．下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4．已知长方体的底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为(      ) A. B.4 C. D.6 5．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　) ①DF∥平面PBC； ②AB⊥平面PDC； ③平面PEF⊥平面ABC； ④平面PAE⊥平面PBC. A.3 B.2 C.1 D.0 6．在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在等腰三角形ABC中，，，点D为BC上一点，且.将沿AD翻折至平面平面ACD，连接BC， 则点D到平面ABC的距离为(      ) A. B. C. D. 8．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝4，PA＝2，则平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积是（　　） A． B． C．12π D．36 π 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 11．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1：2，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则（　　） A．球O的体积为 B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20 C．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为 D．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________. 13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________. 14.给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．   (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 16．（15分）)如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 18．（17分）某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高为4m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4m（高不变）；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4m（底面直径不变）． (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积； (3)哪个方案更经济些？为什么？ 19．（17分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD′⊥BE； (2)求四棱锥D′－ABCE的体积； (3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第4章 立体几何初步·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(    ) A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°， 故②⑤正确. 故选：C. 2．下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，，，根据公理1可得，故A选项正确， 由，，，根据公理2可得，故B选项正确， 由，可能与相交，可能有，故C选项错误， 由，根据公理1可得，故D选项正确， 故选：C. 3．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C. 【详解】如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE， 则AC∥A1C1∥DE， 则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角. 由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.故选：C. 4．已知长方体的底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为(      ) A. B.4 C.6 D. 【答案】D 【详解】由题意得，，所以三棱锥是正四面体，设的中心为O，连接NO并延长，交于点P， 连接MO，MP， 则，， 所以三棱锥的体积为.故选D 5．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　) ①DF∥平面PBC； ②AB⊥平面PDC； ③平面PEF⊥平面ABC； ④平面PAE⊥平面PBC. A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】A. 【详解】∵BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DF∥平面PBC，故①正确； ∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，PD，DC⊂平面PCD，∴AB⊥平面PDC，故②正确； ∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE， ∵BC⊂平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确.只有③错误.故选：A. 6．在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，如下图所示： 在长方体中，平面，则与平面所成的角为， 且，， 因为平面，平面，则， 所以，，即与平面所成角的余弦值为. 故选：C. 7．如图，在等腰三角形ABC中，，，点D为BC上一点，且.将沿AD翻折至平面平面ACD，连接BC， 则点D到平面ABC的距离为(      ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意得，所以.易知，所以.取线段AC的中点M，连接DM，如图，则， 且. 因为平面平面ACD，平面平面，， 平面ABD，所以平面ACD.因为平面ACD，所以.又因为，，平面ABC，所以平面ABC.所以线段DM的长度就是点D到平面ABC的距离.故选B. 8．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝4，PA＝2，则平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积是（　　） A． B． C．12π D．36 π 【答案】B 【详解】作PO′⊥平面ABCD，垂足为O′，则O′是正方形ABCD外接圆的圆心， 则正四棱锥P﹣ABCD外接球的球心O在PO′上， 取棱AB的中点E，连接O′D，O′E，OD，PE，作OH⊥PE，垂足为H． ∵AB＝4，∴BD＝4，即 ，O′E＝2， PE2，O′P4， 设四棱锥P﹣ABCD 外接球的半径为R，则 R2＝O'D2+O'O2＝OP2＝（O'P﹣OO'）2， 即R2＝8+O'O2＝（4﹣O'O）2，得OO'＝1，即R2＝8+O'O2＝9，即R＝3． 由题意易证△OPH∽△EPO′，则，则， 故平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积S．故选：B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 【答案】ABD. 【详解】由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，即AE⊥EB. ∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB. ∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，DE⊂平面ADE， ∴BE⊥DE.同理可得AE⊥CE. 又∵BE⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确.故选ABD. 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 11．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1：2，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则（　　） A．球O的体积为 B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20 C．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为 D．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为 【答案】BD 【详解】设正四棱柱为ABCD﹣A1B1C1D1，其下底面中心为O2， 设E是BC的中点，连接O1E，PE，AC，BD，A1C1，B1D1， 设O是球O的球心，设球O的半径为R， 设正四棱柱的高为x，则正四棱锥的高为2x，x为正数， 所以根据题意可得，， 所以，所以，解得x＝1， 所以，球的体积，A选项错误． 组合体的体积为，B选项正确． 依题意可知正四棱锥的侧棱与其底面所成角为∠PAO1， ，C选项错误． 根据正四棱锥的性质可知：BC⊥O1E，BC⊥PE， 所以∠PEO1是正四棱锥的侧面与其底面的夹角， ，D选项正确．故选：BD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________. 【答案】2. 【详解】S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.故答案为：2. 13．（5分）空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________. 【答案】45° 【详解】如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD， 又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.故答案为：45°. 14.给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 【答案】①② 【详解】根据线面平行的性质定理可知①正确； 根据线面垂直的判断定理，可知②正确； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，相交或异面，故③错误； 若与平面成角相等，则两直线平行，相交或异面，故④错误. 故答案为：①② 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．   (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则，...............................................................2分 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形，.................................4分 ，则， 故、、、四点共面...................................................6分 （2）由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角，................8分 设正方体的棱长为， 在中，， 则，...............................................................10分 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为．...................13分 16．（15分）)如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，，∵平面，平面， ∴平面，.................................................................................1分 同理，平面，..........................................................................2分 ∵，平面， ∴平面平面；........................................................................4分 （2）证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面，.......................................................................................6分 ∵平面，∴，∵，∴，............................8分 又∵，，平面,故平面， ∵平面，∴；...........................................................................10分 （3）过点作交的延长线于点，连接， ∵平面，平面，∴，......................................11分 ∵，平面, ∴平面，因此为直线与平面所成的角，....................13分 ∵，，∴，， ∴，所以直线与平面所成角的正弦值为.........15分 17．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【详解】(1)由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD...........................................................2分 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为................................................................4分 (2)证明：∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC， ∴AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，........................................................................................6分 又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC..........................................................................................8分 (3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， ∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角...........................................10分 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC............................................................12分 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为................................15分 18．（17分）某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高为4m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4m（高不变）；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4m（底面直径不变）． (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积； (3)哪个方案更经济些？为什么？ 【答案】(1)方案一，；方案二，； (2)方案一，；方案二，； (3)方案二比方案一更加经济，理由见解析． 【详解】（1）若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16m，高不变， 则新建的圆锥形仓库的体积；...............................3分 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8m，底面直径不变， 则新建的圆锥形仓库的体积．.................................6分 （2）若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16m，高不变， 则圆锥的母线长， 新建的圆锥形仓库的侧面积；..................................9分 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8m，底面直径不变， 则圆锥的母线长， 新建的圆锥形仓库的侧面积．.............................................................12分 （3）由（1）（2）知，，，所以按方案二新建的圆锥形仓库的体积更大，侧面积更小，所需耗材更少，故方案二比方案一更加经济．..........................................................................................17分 19．（17分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD′⊥BE； (2)求四棱锥D′－ABCE的体积； (3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. 【详解】(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形， ∴∠DEA＝∠CEB＝45°， ∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE..................................................................2分 ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE， ∴BE⊥平面D′AE，...........................................................................4分 ∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE................................................5分 (2)解：取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，且D′F＝...........................6分 ∵平面D′AE⊥平面ABCE， 且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F⊂平面D′AE，∴D′F⊥平面ABCE，..............8分 ∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝....................................................11分 (3)解：如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ. ∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ， ∴D′B∥PQ， ∴在△EBD′中，＝......................................13分 ∵△CEQ∽△ABQ， ∴＝＝， ∴＝＝，即EP＝ED′，......................16分 ∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′， 使得D′B∥平面PAC................................................17分 学科网（北京）股份有限公司2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第4章 立体几何初步·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C D A C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD CD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2. 13．45°14．①② 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则，...............................................................2分 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形，.................................4分 ，则， 故、、、四点共面...................................................6分 （2）由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角，................8分 设正方体的棱长为， 在中，， 则，...............................................................10分 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为．...................13分 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，，∵平面，平面， ∴平面，.................................................................................1分 同理，平面，..........................................................................2分 ∵，平面， ∴平面平面；........................................................................4分 （2）证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面，.......................................................................................6分 ∵平面，∴，∵，∴，............................8分 又∵，，平面,故平面， ∵平面，∴；...........................................................................10分 （3）过点作交的延长线于点，连接， ∵平面，平面，∴，......................................11分 ∵，平面, ∴平面，因此为直线与平面所成的角，....................13分 ∵，，∴，， ∴，所以直线与平面所成角的正弦值为.........15分 17．（15分） 【详解】(1)由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD...........................................................2分 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为................................................................4分 (2)证明：∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC， ∴AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，........................................................................................6分 又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC..........................................................................................8分 (3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， ∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角...........................................10分 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC............................................................12分 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为................................15分 18．（17分） 【答案】(1)方案一，；方案二，； (2)方案一，；方案二，； (3)方案二比方案一更加经济，理由见解析． 【详解】（1）若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16m，高不变， 则新建的圆锥形仓库的体积；...............................3分 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8m，底面直径不变， 则新建的圆锥形仓库的体积．.................................6分 （2）若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16m，高不变， 则圆锥的母线长， 新建的圆锥形仓库的侧面积；..................................9分 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8m，底面直径不变， 则圆锥的母线长， 新建的圆锥形仓库的侧面积．.............................................................12分 （3）由（1）（2）知，，，所以按方案二新建的圆锥形仓库的体积更大，侧面积更小，所需耗材更少，故方案二比方案一更加经济．..........................................................................................17分 19．（17分） 【详解】(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形， ∴∠DEA＝∠CEB＝45°， ∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE..................................................................2分 ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE， ∴BE⊥平面D′AE，...........................................................................4分 ∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE................................................5分 (2)解：取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，且D′F＝...........................6分 ∵平面D′AE⊥平面ABCE， 且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F⊂平面D′AE，∴D′F⊥平面ABCE，..............8分 ∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝....................................................11分 (3)解：如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ. ∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ， ∴D′B∥PQ， ∴在△EBD′中，＝......................................13分 ∵△CEQ∽△ABQ， ∴＝＝， ∴＝＝，即EP＝ED′，......................16分 ∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′， 使得D′B∥平面PAC................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $