第4章 立体几何初步（复习讲义）数学湘教版必修第二册

第4章 立体几何初步（复习讲义） 1.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 3.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 4.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题． 5.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 6.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题． 一、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点 但不一定相等 延长线交 于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 注意点 (1)台体可以看成是由锥体截得的，且截面一定与底面平行． (2)常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系： 二、旋转体的结构特征 1．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 相互平行 且相等并 垂直于底面 相交于 一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的 矩形 全等的等 腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 平行四边形 扇形 扇环 2．球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r2＝R2－d2. 三、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2．注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． (2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥．由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 四、空间几何体的表面积与体积公式 1．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 2．注意点 (1)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题． (2)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法． 【常用结论】 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 五、平面的基本事实 1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 2．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 3．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 4．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 六、空间两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，无公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 2．异面直线所成的角 (1)作法：平移直线；(2)范围：. 3．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 4．等角定理：若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 七、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系：相交、平行、直线在平面内． 2．平面与平面的位置关系：平行、相交． 3．注意点：直线l与平面α相交、直线l与平面α平行统称直线在平面外，记作l⊄α. 【常用结论】 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 八、直线与平面平行的判定定理和性质定理 1．判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α . 2．性质定理： l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b. 3．注意点： 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须具备，缺一不可．应用性质定理时要体会辅助面的作用． 九、1．判定定理： a⊂α，b⊂α， a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β. 2．性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3．注意点： 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(1)平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 【常用结论】 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)同一条直线与两个平行平面所成角相等． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (7)面面平行判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行． 十、直线与平面垂直 1．判定定理： l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 2．性质定理： a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 3．注意点：判断定理中平面内的两条直线必须是相交直线． 十一、平面与平面垂直 1．面面垂直的定义：两个相交平面所成的二面角是直二面角． 2．判定定理： l⊥α，l⊂β⇒α⊥β. 3．性质定理： α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α. 4．注意点：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 十二、线面角和二面角 1．线面角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． (2)特例：一条直线垂直于平面，它们所成的角是，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0. (3)范围：. 2．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角． (3)范围：[0，π]． 【常用结论】 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 题型一空间几何体的结构特征 【例1】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 【变式1-1】下列命题正确的是(　　) A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【变式1-2】(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．存在每个面都是直角三角形的四面体 D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 题型二 空间几何体的侧面积、表面积 【例2】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为(　　) A．4＋3＋ B．4＋＋2 C．4＋＋ D．4＋2＋ 【变式2-1】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2. 【变式2-2】一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 【变式2-3】圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为____________ cm2.(结果中保留π) 题型三 空间几何体的体积问题 【例3】如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　) A． B. C． D. 【变式3-1】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D-A1BC的体积是________． 【变式3-2】如图，已知体积为V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P-AA1C1C的体积为________． 【变式3-3】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D. 题型四 与球有关的相切问题 【例4】已知正四面体P-ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则＝________． 【变式4-1】本例中若把“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为________，内切球的体积为________． 【变式4-2】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 题型五 与球有关的相接问题 【例5】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A． B．2 C． D．3 【变式5-1】本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 【变式5-2】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 题型六 平面的基本性质 【例6】在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 【变式6-1】)如图，若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________. 【变式6-2】如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) 题型七 异面直线所成的角 【例7】已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　 D． 【变式7-1】本例的条件改为“在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 【变式7-2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． 题型八 空间两条直线的位置关系 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，CF＝CC1，则(　　) A．D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线 B．D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线 C．D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线 D．D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线 【变式8-1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 【变式8-2】已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 【变式8-3】(多选题)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　) A．GH与EF平行 B．BD与MN为异面直线 C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直 【变式8-4】．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)． 题型九 直线、平面平行的基本问题 【例9】设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是(　　) A．l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 【变式9-1】下列命题中正确的是(　　) A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一个平面的两个平面平行 D．垂直于同一条直线的两个平面平行 【变式9-2】(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是(　　) A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APC C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC 题型十 直线、平面平行的判定与性质 【例10】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 【变式10-1】(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是棱AC，PD的中点，则(　　) A．EF∥平面PAB B．EF∥平面PBC C．CF∥平面PAB D．AF∥平面PBC 【变式10-2】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC． 题型十一 面面平行的判定与性质及平行的综合问题 【例11】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 【变式11-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点． (1)求证：平面MNQ∥平面PCD． (2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 题型十二 空间角及其应用 【例12】在长方体中ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 【变式12-1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为________. 【变式12-2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16，点P在平面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【变式12-3】在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________． 题型十三 线面、面面垂直的判定与性质 【例13】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.求证：D′H⊥平面ABCD． 【变式13-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点． 求证：(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN. 【变式13-2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD． 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD． 基础巩固通关测 1．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(　　) A．2π B．8π C． D． 2．已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为(　　) A．π B．4π C．8π D．12π 3．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 4．正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C． D． 5．(多选题)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则(　　) A．该圆锥的母线长为5 B．该圆锥的体积为12π C．该圆锥的表面积为15π D．三棱锥S-ABC体积的最大值为12 6．若直线上有两个点在平面外，则(　　) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 7．(多选题)下列命题是真命题的为(　　) A．空间四点共面，则其中必有三点共线 B．空间四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间四点中有三点共线，则此四点共面 D．空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　) A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1 9．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 10．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 11．(多选题)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　) A．GH＝2EF B．GH≠2EF C．直线EF，GH是异面直线 D．直线EF，GH是相交直线 12．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 13．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　) A．l⊂α，m⊂β，α∥β B． α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C．l∥α，m⊂α D．l⊂α，α∩β＝m 14．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n C．若m⊂α，n⊂α且m∥β，n∥β，则α∥β D．若直线m，n与平面α所成角相等，则m∥n 15．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1不平行的是(　　) A．直线EF B．直线GH C．平面EHF D．平面A1BC1 16．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 17．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是(　　) A．NF∥平面ADE B．CN∥平面BAF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF 18．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A　 　 　B　　　　C　　　　D 20．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有(　　) A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 21．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是(　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 22．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 23．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 24．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为________． 25．在多面体ABC-DEF中，△ABC是边长为2的正三角形，AD，BE，CF都与平面ABC垂直，且AD＝2，BE＝1，CF＝3，则多面体ABC-DEF的体积是________． 26．在三棱锥S-ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________． 27．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________． 28．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可) 29．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 30．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________． 31．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 32．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 33．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)平面BEF∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD． 能力提升进阶练 1．(多选题)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，用过点O的平面去截正方体，则(　　) A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为3 D．所得的截面可以是非正方形的菱形 2．已知球的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． 3．在正四棱锥P-ABCD中，侧棱与底面所成角的正切值为，若该正四棱锥的外接球的体积为π，则△PBD的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D． 4．(多选题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 6．(多选题)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．直线BE与直线CF异面 B．直线BE与直线AF异面 C．直线EF∥平面PBC D．平面BCE⊥平面PAD 7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有(　　) A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点 C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点 10．在正方体中ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 11．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　) A． B．1 C． D．2 12．(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则下面结论正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．平面ACC1A1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是________． 14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________；直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________. 15．如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号) ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD⊥平面BCD； ③平面BAC⊥平面ACD； ④该多面体外接球的表面积为5πa2. 16．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面α过点E，且与直线OC1垂直．若AB＝1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为________． 17．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2， PA＝2.求： (1)三棱锥P-ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 18．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，求动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度． 19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． 20．如图，平面EFGH分别与空间四边形ABCD中的BD，AD，AC，BC交于E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH，CD＝a，AB＝b，CD⊥AB． (1)求证：四边形EFGH为矩形； (2)点G在什么位置时，SEFGH最大？ 21．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 立体几何初步（复习讲义） 1.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 3.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 4.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题． 5.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 6.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题． 一、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点 但不一定相等 延长线交 于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 注意点 (1)台体可以看成是由锥体截得的，且截面一定与底面平行． (2)常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系： 二、旋转体的结构特征 1．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 相互平行 且相等并 垂直于底面 相交于 一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的 矩形 全等的等 腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 平行四边形 扇形 扇环 2．球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r2＝R2－d2. 三、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2．注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． (2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥．由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 四、空间几何体的表面积与体积公式 1．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 2．注意点 (1)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题． (2)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法． 【常用结论】 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 五、平面的基本事实 1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 2．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 3．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 4．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 六、空间两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，无公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 2．异面直线所成的角 (1)作法：平移直线；(2)范围：. 3．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 4．等角定理：若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 七、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系：相交、平行、直线在平面内． 2．平面与平面的位置关系：平行、相交． 3．注意点：直线l与平面α相交、直线l与平面α平行统称直线在平面外，记作l⊄α. 【常用结论】 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 八、直线与平面平行的判定定理和性质定理 1．判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α . 2．性质定理： l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b. 3．注意点： 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须具备，缺一不可．应用性质定理时要体会辅助面的作用． 九、1．判定定理： a⊂α，b⊂α， a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β. 2．性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3．注意点： 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(1)平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 【常用结论】 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)同一条直线与两个平行平面所成角相等． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (7)面面平行判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行． 十、直线与平面垂直 1．判定定理： l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 2．性质定理： a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 3．注意点：判断定理中平面内的两条直线必须是相交直线． 十一、平面与平面垂直 1．面面垂直的定义：两个相交平面所成的二面角是直二面角． 2．判定定理： l⊥α，l⊂β⇒α⊥β. 3．性质定理： α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α. 4．注意点：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 十二、线面角和二面角 1．线面角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． (2)特例：一条直线垂直于平面，它们所成的角是，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0. (3)范围：. 2．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角． (3)范围：[0，π]． 【常用结论】 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 题型一空间几何体的结构特征 【例1】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 【答案】C　 解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体． 【变式1-1】下列命题正确的是(　　) A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【答案】C　 解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确．对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确． 【变式1-2】(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．存在每个面都是直角三角形的四面体 D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 【答案】BC　 解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． 题型二 空间几何体的侧面积、表面积 【例2】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为(　　) A．4＋3＋ B．4＋＋2 C．4＋＋ D．4＋2＋ 【答案】C　 解析：结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝. 由题意△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝2，BE＝＝，BD＝2，AE＝＝1， 则表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＋×2×1＋×2×＝4＋＋. 【变式2-1】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2. 【答案】2 600π　 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)． 【变式2-2】一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 【答案】12　 解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××2××h＝2，所以h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以S侧＝6××2×2＝12. 【变式2-3】圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为____________ cm2.(结果中保留π) 【答案】1 100π　解析：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2. 题型三 空间几何体的体积问题 【例3】如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　) A． B. C． D. 【答案】A　 解析：易知三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，又三棱锥A-B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. 【变式3-1】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D-A1BC的体积是________． 【答案】　 解析：VD-A1BC＝VB1-A1BC＝VA1-B1BC＝×S△B1BC×＝. 【变式3-2】如图，已知体积为V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P-AA1C1C的体积为________． 【答案】　 解析：如图，把三棱柱ABC-A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1-ADBC．设点P到平面AA1C1C的距离为h，则VP-AA1C1C＝SAA1C1C·h＝VAA1C1C-DD1B1B＝·2VABC-A1B1C1＝. 【变式3-3】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D. 【答案】C　 解析：如图， 1、 乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1， 2、 由勾股定理可得h1＝，h2＝2，所以＝＝. 题型四 与球有关的相切问题 【例4】已知正四面体P-ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则＝________． 【答案】　 解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4××a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝×a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝. 【变式4-1】本例中若把“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为________，内切球的体积为________． 【答案】32π　　 解析：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，V内切球＝πr3＝π×23＝. 【变式4-2】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 【答案】π　 解析：(方法一)如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝＝2.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π. (方法二)如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π. 题型五 与球有关的相接问题 【例5】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A． B．2 C． D．3 【答案】C　 解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝. 【变式5-1】本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 【答案】3 解析：依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3. 【变式5-2】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 【答案】A　 解析：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为＝3，下底面所在平面截球所得圆的半径为＝4，如图， 设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得－＝1，解得R＝5， 该球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π. 题型六 平面的基本性质 【例6】在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 【答案】B　 解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC． 【变式6-1】)如图，若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________. 【答案】共线　 解析：因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD． 因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线． 【变式6-2】如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) 【答案】D　 解析：A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面． 题型七 异面直线所成的角 【例7】已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　 D． 【答案】B　 解析：如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)． 设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD＝，A1D＝，A1B＝. 由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝. 【变式7-1】本例的条件改为“在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 【答案】　 解析：把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如图所示． 连接C1D，BD，则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角)．由题意可知BC1＝，BD＝＝，C1D＝AB1＝.可知BC＋BD2＝C1D2，所以△BC1D为直角三角形，所以cos∠BC1D＝＝. 【变式7-2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． 【答案】D　 解析：方法一：如图，连接BC1，A1C1， 易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1.不妨设该正方体的棱长为2a，则BC1＝2a，PC1＝PB1＝a，PB＝＝a，所以BC＝PC＋PB2，所以∠C1PB＝90°，则sin∠PBC1＝＝＝， 所以∠PBC1＝.故选D． 方法二：如图，连接A1B，BC1，A1C1， 易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝.在正方形A1B1C1D1中．因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝.故选D． 题型八 空间两条直线的位置关系 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，CF＝CC1，则(　　) A．D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线 B．D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线 C．D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线 D．D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线 【答案】B　 解析：D1E＝＝，AF＝＝2≠D1E，取点M为BC的中点，连接AM，MF，AD1，D1F，则AD1∥MF，故A，M，F，D1共面，点E在平面AMFD1外，故直线D1E经过平面AMFD1内一点和平面外一点，故直线D1E和平面内直线AF异面． 【变式8-1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 【答案】D　 解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点． 连接BF并延长，交AD于点N.因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合， 所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1. 【变式8-2】已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 【答案】D　 解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误． 【变式8-3】(多选题)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　) A．GH与EF平行 B．BD与MN为异面直线 C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直 【答案】BCD　 解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.故BCD正确． 【变式8-4】．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)． 【答案】③④　 解析：因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确． 题型九 直线、平面平行的基本问题 【例9】设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是(　　) A．l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 【答案】C　 解析：对于A，l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥β，若l，m是平行直线，则它们可能都平行于α，β的交线，所以A不正确；对于B，l⊂α，m⊂β，且l∥m，可得l，m都平行于α，β的交线，所以B不正确；对于C，l⊥α且l∥m，可得m⊥α，再由m⊥α，m⊥β，得到α∥β，所以l⊥α，m⊥β且l∥m是α∥β的一个充分不必要条件，所以C正确；对于D，由l∥α，m∥β，且l∥m，可能有l，m都平行于α，β的交线，所以D不正确．故选C． 【变式9-1】下列命题中正确的是(　　) A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一个平面的两个平面平行 D．垂直于同一条直线的两个平面平行 【答案】D　 解析：对于A，平行于同一个平面的两直线相交、平行或异面，故A错误； 对于B，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故B错误； 对于C，垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，故C错误； 对于D，由面面平行的判定定理得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确． 【变式9-2】(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是(　　) A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APC C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC 【答案】BC　 解析：如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN. 易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以A选项错误．对于B，由A知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC．所以B选项正确．对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确．对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以D选项错误． 题型十 直线、平面平行的判定与性质 【例10】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)解：l∥m，证明如下： 由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM， 同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM. 所以l∥m. 【变式10-1】(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是棱AC，PD的中点，则(　　) A．EF∥平面PAB B．EF∥平面PBC C．CF∥平面PAB D．AF∥平面PBC 【答案】AB　 解析：如图，连接BD．因为四边形ABCD是平行四边形，且E是棱AC的中点，所以E是BD的中点，所以EF∥PB，则EF∥平面PAB，EF∥平面PBC，故A，B正确．因为AD∥BC，所以AD∥平面PBC．假设AF∥平面PBC，又AF∩AD＝A，则平面PAD∥平面PBC．因为平面PAD与平面PBC相交，则假设不成立，即AF∥平面PBC不成立，故D错误．同理可得C错误．故选AB． 【变式10-2】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC． 解析：证明：(方法一)连接AF，并延长交BC于点G，连接PG. 因为BC∥AD，所以＝. 又因为＝，所以＝，所以EF∥PG. 又因为PG⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC． (方法二)过点F作FM∥AD，交AB于点M，连接EM. 因为FM∥AD，AD∥BC，所以FM∥BC． 又因为FM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以FM∥平面PBC． 由FM∥AD得＝.又因为＝，所以＝，所以EM∥PB． 因为PB⊂平面PBC，EM⊄平面PBC，所以EM∥平面PBC． 因为EM∩FM＝M，EM，FM⊂平面EFM，所以平面EFM∥平面PBC． 因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC． 题型十一 面面平行的判定与性质及平行的综合问题 【例11】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 解析：证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1. 又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面． (2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC． 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG. 因为A1G∥EB且A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB． 又因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG. 又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【变式11-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点． (1)求证：平面MNQ∥平面PCD． (2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点， 所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC． 又NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，MQ⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， 所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD． 因为NQ∩MQ＝Q，且NQ，MQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PCD． (2)解：存在点E是线段PD的中点，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下： 取PD中点E，连接AE，NE，CE. 因为N，E，M分别是AP，PD，BC的中点， 所以NE∥AD，NE＝AD． 又因为BC∥AD，BC＝AD，所以MC∥AD，MC＝AD， 所以NE∥MC，NE＝MC，所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN∥CE. 因为MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，所以MN∥平面ACE，且＝. 【变式11-2】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 解析：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG. 因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD． 又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB． 又因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， 所以AB∥平面EFGH. 同理可证，CD∥平面EFGH. (2)解：设EF＝x(0<x<4)． 因为EF∥AB，FG∥CD，所以＝，＝＝＝1－，所以FG＝6－x. 因为四边形EFGH为平行四边形，所以四边形EFGH的周长C＝2＝12－x. 又因为0<x<4，所以8<C<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)． 题型十二 空间角及其应用 【例12】在长方体中ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 【答案】D　 解析：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝1， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面AA1B1B，BB1⊥平面ABCD， 所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角， 即∠B1DB＝∠DB1A＝30°， 所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，BD＝，B1D＝2， 在Rt△ADB1中，DB1＝2，AD＝1，AB1＝，所以AB＝，CB1＝，AC＝，故选项A，C错误， 由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，sin∠B1AB＝＝＝，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C， 所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角， 在Rt△DB1C中，B1C＝＝DC，所以∠DB1C＝45°，所以选项D正确． 【变式12-1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为________. 【答案】30°　 解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O. 因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD． 因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角． 在Rt△C1CO中，C1C＝，CO＝AC＝， 则C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝. 由图可知，二面角C1-BD-C为锐二面角， 所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°. 【变式12-2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16，点P在平面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 解析：如图所示，设正方体的边长为a， 则a3＝16，故a＝2，即AB＝2，所以A1C1＝a＝4，连接C1P，C1P＝＝＝2，所以A1P＝2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP，可知AC⊥平面BDD1B1，则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角，在直角三角形CPO中，所以sin∠CPO＝＝＝.故选B． 【变式12-3】在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________． 【答案】60°　 解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB．取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB． 因为VH∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V-AB-C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V-AB-C的大小是60°. 题型十三 线面、面面垂直的判定与性质 【例13】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.求证：D′H⊥平面ABCD． 解析：证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC得＝＝，所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD． 【变式13-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点． 求证：(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN. 解析：证明：(1)(方法一)取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点，所以EH∥AB且EH＝AB． 又CD∥AB且CD＝AB，所以EH∥CD且EH＝CD． 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD． (方法二)连接CF. 因为F为AB的中点，所以AF＝AB．又CD＝AB，所以AF＝CD． 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形， 因此CF∥AD．又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CF∥平面PAD． 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA． 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD． 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD． 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD． (2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA． 又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG. 又因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG. 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 【变式13-2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD． 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD． 解析：证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°. 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°. 又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD． 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD， 所以CD⊥平面PBD． (2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD． 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD． 基础巩固通关测 1．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(　　) A．2π B．8π C． D． 答案：B　解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体是底面半径为2，高为2的圆柱体，该圆柱体的体积为V＝π×22×2＝8π. 2．已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为(　　) A．π B．4π C．8π D．12π 答案：B　解析：因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长均为2， 故球O的直径2R＝＝2.所以R＝.故球O的体积V＝πR3＝4π. 3．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 答案：AD　解析：A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．故选AD． 4．正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C． D． 答案：D　解析：作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图， 因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2， 所以该棱台的高h＝＝， 下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4， 所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝. 5．(多选题)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则(　　) A．该圆锥的母线长为5 B．该圆锥的体积为12π C．该圆锥的表面积为15π D．三棱锥S-ABC体积的最大值为12 答案：ABD　解析：该圆锥的母线长为＝5，A正确；该圆锥的体积为×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×(3＋5)＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×6×3＝9，三棱锥S-ABC体积的最大值为×9×4＝12，D正确．故选ABD． 6．若直线上有两个点在平面外，则(　　) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 答案：D　解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内． 7．(多选题)下列命题是真命题的为(　　) A．空间四点共面，则其中必有三点共线 B．空间四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间四点中有三点共线，则此四点共面 D．空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 答案：BC　解析：对于平面四边形来说不成立，故A是假命题；若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故B是真命题；由B的分析可知C是真命题；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D是假命题． 8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　) A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1 答案：D　解析：通过图形易知：直线AA1、直线A1B1、直线A1D1与直线EF不在同一平面内，直线B1C1与EF在同一平面内且不平行，故直线B1C1与EF相交．故选D． 9．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 答案：D　解析：因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上． 10．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 答案：D　解析：如图，可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况．故选D． 11．(多选题)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　) A．GH＝2EF B．GH≠2EF C．直线EF，GH是异面直线 D．直线EF，GH是相交直线 答案：BD　解析：如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为MH∥A1C1∥AC∥FG，所以M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，因为EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，所以EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，所以EF＝GH，即GH≠2EF.故选BD． 12．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：C　解析：①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能异面；③中⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确． 13．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　) A．l⊂α，m⊂β，α∥β B． α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C．l∥α，m⊂α D．l⊂α，α∩β＝m 答案：B　解析：选项A中，直线l，m可能平行也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m可能平行也可能异面；选项D中，直线l，m可能平行也可能相交．故选B． 14．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n C．若m⊂α，n⊂α且m∥β，n∥β，则α∥β D．若直线m，n与平面α所成角相等，则m∥n 答案：B　解析：如图①可否定A，如图②可否定C，如图③可否定D． 15．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1不平行的是(　　) A．直线EF B．直线GH C．平面EHF D．平面A1BC1 答案：C　解析：首先直线EF，GH，A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，所以直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，所以EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，所以选C． 16．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 答案：C　解析：如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.因为EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD．又因为EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD．又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条． 17．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是(　　) A．NF∥平面ADE B．CN∥平面BAF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF 答案：BCD　解析：以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则有NF与平面ADE相交，CN∥平面BAF，选项A错误，B正确；在正方体中，BD∥FN, FN⊂平面AFN，BD⊄平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD⊂平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，选项C，D正确． 18．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A　解析：①因为直线l⊂α，且l⊥β， 根据面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 所以由判定定理得α⊥β.所以充分性成立； ②若α⊥β，直线l⊂α，则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交不垂直，所以必要性不成立， 所以l⊥β是α⊥β的充分不必要条件． 19．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A　 　 　B　　　　C　　　　D 答案：BD　解析：对于A，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于C，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE. 20．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有(　　) A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 答案：B　解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC．又AD⊥圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD． 21．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是(　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 答案：C　解析：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 在A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误； 在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误； 在C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确； 在D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误． 22．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案：A　解析：连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上． 23．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 答案：B　解析：如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．连接AO交BC于点D，则D为BC的中点． 因为底面边长为， 所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1. 三棱柱的体积为×()2AA1＝， 解得AA1＝，即OP＝AA1＝， 所以tan∠PAO＝＝. 因为直线与平面所成角的范围是， 所以∠PAO＝. 24．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为________． 答案： π　 解析：设圆锥的底面半径为r，则有2πr＝×2，解得r＝，所以圆锥的表面积为π×2×＋π×2＝. 25．在多面体ABC-DEF中，△ABC是边长为2的正三角形，AD，BE，CF都与平面ABC垂直，且AD＝2，BE＝1，CF＝3，则多面体ABC-DEF的体积是________． 答案：2　解析：如图，将多面体ABC-DEF补成三棱柱MNF-ABC，三棱柱MNF-ABC的体积V1＝SABC·|CF|＝×22×3＝3，设h为该四棱锥F-MNED的高，其数值为底面等边△FMN的底边MN上的高，则h＝，而四棱锥F-MNED的体积V2＝·S四边形MDEN·h＝××2×＝，则多面体ABC-DEF的体积是3－＝2. 26．在三棱锥S-ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________． 答案：平行　解析：如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN. 由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，所以在△SMN中，＝，所以G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，所以G1G2∥BC． 27．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________． 答案：　解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD． 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD．因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为. 28．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)　解析：因为PA⊥底面ABCD，所以BD⊥PA．连接AC(图略)，因为底面各边都相等，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD．又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD． 29．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 答案：　解析：因为α∥β，所以CD∥AB， 则＝，所以AB＝＝＝. 30．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________． 答案：8　解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8. 31．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 证明：(1)如图所示，连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，设点A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，点M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 32．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D， 所以平面BDE∥平面MNG. 33．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)平面BEF∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD． 证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD． (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED是平行四边形，所以AD∥BE. 因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD． 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以EF∥PD． 因为EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD． 因为EF∩BE＝E， 所以平面BEF∥平面PAD． (3)因为AB⊥AD，ABED是平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD． 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF， 所以CD⊥EF，又BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD． 能力提升进阶练 1．(多选题)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，用过点O的平面去截正方体，则(　　) A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为3 D．所得的截面可以是非正方形的菱形 BCD　解析：过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与四个面相交，所以可能是四边形、五边形、六边形，又根据正方体的对称性，截面不会是五边形，但可以是正六边形和非正方形的菱形(如图)， 故A错误，BD正确； 因为平面AA1B1B的面积为4，B1C＝2<3，平面A1B1CD的面积为4>3， 所以一定存在截面面积为3，C正确．故选BCD． 2．已知球的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． C　解析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大．设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r＝a，该四棱锥的高h＝，所以该四棱锥的体积V＝a2＝≤＝＝，当且仅当＝1－，即a2＝时，等号成立． 该四棱锥的体积最大时，其高h＝＝＝. 3．在正四棱锥P-ABCD中，侧棱与底面所成角的正切值为，若该正四棱锥的外接球的体积为π，则△PBD的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D． A　解析：如图， 连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD， 因为侧棱与底面所成角的正切值为，所以tan∠PAO＝， 设AB＝x，则PO＝AO·tan∠PAO＝x·＝x， 设F为四棱锥外接球的球心，连接FA，可得FA＝FP， 设四棱锥外接球的半径为r，则FA＝FP＝r，可得FO＝PO－FP＝x－r，又AO＝x， 则2＋2＝r2　　①， 由V＝πr3＝π，得r＝， 代入①式，可得x＝2，所以PO＝，BD＝2，故S△PBD＝××2＝2 4．(多选题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 ABC　解析：因为M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，所以M∈平面A1ACC1，又因为M∈平面AB1D1，所以M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，所以A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面．因为平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，所以M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面．故选ABC． 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° C　解析：如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝AD，所以A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.故选C． 6．(多选题)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．直线BE与直线CF异面 B．直线BE与直线AF异面 C．直线EF∥平面PBC D．平面BCE⊥平面PAD BC　解析：将平面展开图还原成直观图如图所示． 因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD．又四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，所以B，C，F，E四点共面．所以直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故A错误．因为E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，点E不在直线AF上，B∉平面PAD，所以直线BE与直线AF为异面直线，故B正确．因为EF∥BC，BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正确．假设平面BCE⊥平面PAD，即平面BCFE⊥平面PAD，又平面BCFE∩平面PAD＝EF，作PM⊥EF，垂足为M，可得PM⊥平面BCE，但由题中条件无法证得PM⊥平面BCE，故假设不成立，故D错误． 7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． B　解析：由正方体特征知BD∥B1D1，又BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可得A1D∥平面B1CD1，又BD∩A1D＝D，BD，A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面B1CD1，所以MN的最小值为平面A1BD到平面B1CD1的距离，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为64，设正方体棱长为a，则a3＝64，所以a＝4，所以AC1＝a＝4，所以MNmin＝AC1＝. 8．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 ACD　解析：由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的． 9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有(　　) A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点 C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点 ACD　解析：如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面， 由EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，则EM∥平面ACD1， 同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，则得平面EMGHIJ∥平面ACD1，要使EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，ACD 10．在正方体中ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　解析：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF∥AC． 又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1， 所以AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1. 又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确； 对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误； 对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，选项D错误． 11．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　) A． B．1 C． D．2 A　解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝＝.由面积相等得×＝x，得x＝. 12．(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则下面结论正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．平面ACC1A1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° ABC　解析：对于A，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，故A正确；对于B，连接AC，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AC1，故B正确；对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1，则平面ACC1A1⊥平面CB1D1，故C正确；对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角即∠BCB1，又∠BCC1＝45°，故D错误．故选ABC． 13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是________． 　解析：连接DA1，DB(图略)，则CB1∥DA1，所以∠A1DP(或其补角)为异面直线DP与CB1所成的角，点P与B重合时，∠A1DP最大，为；当点P与A1无限接近时，∠A1DP趋近于零，故异面直线DP与CB1所成角的取值范围是. 14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________；直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________. 相交　平行　解析：在平面AA1D1D中，四边形AA1MD是梯形，且AA1，MD是两腰，则直线MD与直线AA1相交，所以直线MD与平面A1ACC1相交．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，因为MD⊂平面AA1D1D，所以MD∥平面BCC1B1. 15．如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号) ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD⊥平面BCD； ③平面BAC⊥平面ACD； ④该多面体外接球的表面积为5πa2. ①②③④　解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；因为AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，所以AP⊥平面BCD． 又因为AP⊂平面ABD，所以平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④. 16．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面α过点E，且与直线OC1垂直．若AB＝1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为________． 　解析：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，AB＝1， 则OC＝CC＋OC2＝1＋＝，OE2＝OA2＋AE2＝＋＝，EC＝A1C＋A1E2＝2＋＝，所以OC＋OE2＝EC，所以OE⊥OC1.又BD⊥平面ACC1A1，OC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥OC1，且OE∩BD＝O，所以OC1⊥平面BDE，且S△BDE＝BD·OE＝××＝，即α截该正方体所得截面图形的面积为. 17．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2， PA＝2.求： (1)三棱锥P-ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC， 所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝＝. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 18．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，求动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度． 解：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH，如图所示， 则BE＝BH＝2.在直角三角形BAH中，cos∠HBA＝＝， 所以∠HBA＝，∠HBG＝－＝， 所以＝2×＝π， 同理＝π. 在直角三角形HAE中，∠HAE＝，AH＝AE＝＝， 所以＝×＝. 在等边三角形BCD中，∠CBD＝， 所以＝2×＝. 则所求曲线的长度为π＋π＋π＋π＝π. 19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． (1)证明：如图所示，将几何体补形为长方体， 作EE′⊥AB于点E′，作FF′⊥BC于点F′，连接E′F′. 由于底面为正方形，△ABE，△BCF均为等边三角形， 故等边三角形的高相等，即EE′＝FF′， 由面面垂直的性质可知，EE′，FF′均与底面垂直， 则EE′∥FF′，四边形EE′F′F为平行四边形，则EF∥E′F′， 由于EF不在平面ABCD内，E′F′在平面ABCD内， 由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD． (2)解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积， 其中长方体的高AA1＝EE′＝4， 长方体的体积V1＝8×8×4＝256(cm3)， 一个三棱锥的体积V2＝××4＝(cm3)， 则包装盒的容积为V＝V1－4V2＝256－4×＝(cm3)． 20．如图，平面EFGH分别与空间四边形ABCD中的BD，AD，AC，BC交于E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH，CD＝a，AB＝b，CD⊥AB． (1)求证：四边形EFGH为矩形； (2)点G在什么位置时，SEFGH最大？ (1)证明：因为CD∥平面EFGH，平面EFGH∩平面ADC＝FG，平面EFGH∩平面BDC＝EH， 所以FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，同理可证EF∥GH， 所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为AB⊥CD，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH为矩形． (2)解：设AG＝x，AC＝m，则＝，＝，所以GF＝x，GH＝(m－x)， 所以SEFGH＝GH·GF＝x×(m－x)＝(mx－x2)＝， 所以当x＝时，SEFGH最大，此时SEFGH＝·＝. 21．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积． (1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE.因为AD＝CD，E为AC的中点， 所以AC⊥DE，又因为BE∩DE＝E. 所以AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD． (2)解：由(1)可知AB＝BC， 所以AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，△ABC是等边三角形，边长为2， 所以BE＝，AC＝2，AD＝CD＝，DE＝1，因为DE2＋BE2＝BD2，所以DE⊥BE， 又因为DE⊥AC，AC∩BE＝E， 所以DE⊥平面ABC， 由(1)知△ADB≌△CDB，所以AF＝CF，连接EF，则EF⊥AC， 所以S△AFC＝×AC×EF＝EF， 所以当EF⊥BD时，EF最短，此时△AFC的面积最小， 过点F作FG⊥BE于点G，则FG∥DE，所以FG⊥平面ABC， 因为EF＝＝， 所以BF＝＝， 所以FG＝＝， 所以三棱锥的体积F-ABC的体积V＝×S△ABC×FG＝××22×＝. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $