5.1 随机事件与样本空间-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．1　随机事件与样本空间 5．1.1　随机事件 [素养目标]　1.结合实例，了解确定性现象和随机现象，不可能事件、必然事件及随机事件的定义，通过定义的学习发展数学抽象的核心素养．　2.结合实例了解事件与基本事件的定义，会求试验中的基本事件空间以及事件A包含的基本事件的个数．借助事件与基本事件空间的学习，培养学生逻辑推理的核心素养． 一、随机试验 1．随机现象 在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果．我们把这种现象称为随机现象． 2．随机试验 对随机现象进行试验，观察或观测称为随机试验，随机试验一般用大写字母E表示． 理解1　随机试验的理解 ►【典例1】　掷硬币这个试验中，试验可以重复进行，每掷一次，就是进行了一次试验，且试验结果“正面向上” “反面向上”是明确可知的，每次试验之前不能确定出现哪个结果，但________(填“一定”或“不一定”)会出现这两个结果中的一个． [解析]　由随机试验的特点知“正面向上” “反面向上”这两个结果一定会出现一个．故填“一定”． [答案]　一定 随机现象与随机试验的特点都是结果是随机的，在试验完成之前不能确定． 1．下列现象中，是随机现象的有(　　) ①在一条公路上，交警记录某一小时内通过的汽车超过300辆； ②若a为实数，则|a＋1|≥0； ③发射一颗炮弹，命中目标； ④检查流水线上一件产品，这件产品是次品． A．1个　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选C．当a为实数时，|a＋1|≥0恒成立，是确定性现象，其余3个均为随机现象． 二、样本空间 1．样本点 对于一个随机试验，将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω表示． 2．样本空间 将随机试验所有样本点构成的集合，称为此试验的样本空间，用Ω表示． 3．有限样本空间 如果样本空间中的样本点是有限的，则称该样本空间为有限样本空间． 理解2　样本空间中样本点的求法 ►【典例2】　一个口袋中有除颜色以外完全相同的1个白球、2个黑球、2个红球，从中任取2个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点数； (3)“至少有1个黑球”这一事件包含哪几个样本点？ [解]　(1)记1个白球为A，2个黑球分别为B，C，2个红球分别为D，E. 这个试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}． (2)这个试验共有10个样本点． (3)“至少有1个黑球”包含以下7个样本点：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)． ►【典例3】　将数字1，2，3，4任意排成一行组成没有重复数字的四位数，试写出该试验的样本空间，并指出事件“得到偶数”包含多少个样本点． [解]　这个试验的样本点就是由1，2，3，4这四个数字组成的没有重复数字的四位数，用树状图表示，如图所示． 这个试验的样本空间Ω＝{1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321}． 事件“得到偶数”包含12个样本点：1234，1324，1342，1432，2134，2314，3124，3142，3214，3412，4132，4312. 1．寻找样本空间中样本点的方法 (1)列举法 列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的问题，计算时只需一一列举，即可得出样本空间中所包含的样本点．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏． (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，也可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中元素常用坐标表示． (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法． 2．求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点．对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏．写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关． 2．先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0. (1)试写出这个试验的样本空间； (2)写出事件“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点． 解：记三次抛掷该枚硬币所得结果为(x，y，z)，其中x表示第一次抛掷硬币的结果，y表示第二次抛掷硬币的结果，z表示第三次抛掷硬币的结果． (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)