专题04+数列4个考点（天津专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 等差数列 考点1 一、单选题 1．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 2．（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 3．（25-26高三上·天津蓟州·期末）等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津和平·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．9 5．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 等比数列 考点2 一、单选题 1．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津红桥·期末）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 4．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津河北·期末）集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 数列求和 考点3 一、单选题 1．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 二、解答题 2．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 3．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 4．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 5．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 6．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 7．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 8．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 等差数列 考点1 一、单选题 1．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 2．（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项可得，进而可得和，代入等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，可得，则等比数列公比， 且首项，所以. 3．（25-26高三上·天津蓟州·期末）等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等差数列的性质求出通项公式，再由与的关系求出通项公式，进而得到数列的表达式，最后利用等比数列求和公式求解. 【详解】由题意：，，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以， 故前8项和为. 故选：A. 4．（25-26高三上·天津和平·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．9 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合通项的性质求解的值即可. 【详解】已知等差数列的前项和为，则， 所以，则. 故选：B. 5．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 等比数列 考点2 一、单选题 1．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【详解】由，则， 当时，则，此时数列单调递增， 当时，则，此时数列单调递增， 故，则数列单调递增， 又当数列单调递增时，所以， 综上，是的充要条件． 故选：A． 2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等差数列的性质求出通项公式，再由与的关系求出通项公式，进而得到数列的表达式，最后利用等比数列求和公式求解. 【详解】由题意：，，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以， 故前8项和为. 故选：A. 3．（25-26高三上·天津红桥·期末）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为， A，当时，，不成等比数列，A错误； B，对于任意公比，，成等比数列，B正确. C，当时，，不成等比数列，C错误； D，当时，，不成等比数列，D错误. 故选：B 4．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 5．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 6．（25-26高三上·天津·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 7．（25-26高三上·天津河北·期末）集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用题中的条件，分别计算出每一次操作去掉的区间的长度，结合对数不等式即可解出. 【详解】第一次操作去掉的区间长度为， 第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为， 第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为， ， 第次操作去掉个长度为的区间，长度和为， 于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为， 由题意可知，，即，解得，又为整数， 所以需要操作的次数n的最小值为4. 故选：B 数列求和 考点3 一、单选题 1．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 二、解答题 2．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）证明见解析. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 3．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 4．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出；后一部分是已知数列的和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法； （2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； （3）先放缩，再求和，最后证明不等式. 【详解】（1）因为， 所以， ， ， ； 因为，所以，； 时，， ， ，， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， . （2）经过变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少，各项之和增加； 经过变换后，奇数项的每一项都增加，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加； 所以经过和两轮变换后，各项之和增加， ， 所以， 即为偶数时，； 为奇数时，为偶数，令，则， ， ； 综上，. （3），， 所以， 所以， 设， 所以， 两式相减得， 设， 则， 两式相减得， ， 所以， 所以， ， 所以. 5．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解， （2）先利用并项求和可得，进而利用错位相减法求和即可， （3）先用反证法证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减，进而得，即可利用放缩法以及裂项相消法求证. 【详解】（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列 所以设公差为d，公比为q，因为，，． 所以，得或， 又因为数列是递增等比数列且，所以， 所以，． （2）因为 所以 设 所以 所以 （3）由已知得，，2，3，…，，，不妨设， 首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减： 假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在 使得或者，所以 此时 则将调换到之前 因此时，取最大值必有，，…， 此时 所以取最大值时， 并且， 此时 当时， 当时， 因为 所以． 综上． 6．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，； (2)8； (3) 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解， （2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解， （3）根据等差数列的性质先求解，进而利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 7．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 8．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可； （2）根据等差数列求和公式得到，然后利用错位相减法求和即可； （3）通过放缩的思路得到，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. （2），，，         ①     ② ①-②得：         ③     ④ ③-④得： ，. （3），， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时， ， 综上，原不等式成立. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 专题04数列 考点1 等差数列 题号 2 3 答案 B D A B C 考点2 等比数列 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A B 0 A D 考点3 数列求和 题号 1 答案 2.(1)an=n, (2)(i)Tn=44n2+n (ii)证明见解析 【详解】(1)因为数列{an}是单调递增的等差数列，故设{an}的公差 设数列{b,}的公比为q. 由a1=b=1,a3b2=1,S2+S3b=1, 待+2a-g=1 (5+4dg2=1' d=1 又d>0,解得 1, 所以a-a+a-d==4g-目 1/12 让教与学更高效 B 为d(d>0). 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)(i)由(1)知Sn=na,+ n(n-I)d=n+ n(n-1)n(n+1 2 2 2 M川n+山 所以c,=(-1)2n2, 4(4k+1 c4=(-1)2(4k)2=(4k)}2, 同理c4-3=-(4-3)2,c4-2=-(4k-22,c4-1=(4k-12,1≤k≤n,k∈N） c4+c-3+c4-2+c4-1=(4)2-(4k-3)2-(4k-22+(4k-12=4(8k-3),1≤k≤m,n∈N）, 所以Tn=4[(8-3)+(8×2-3)+(8×3-3)+…+(8n-3)]=4(8×1+2+3+…n)-3n)=4(4n2+n: *乐6-4++4（-224+可g<2”"G, +46<4+写=123m 设R-5写9个G+13得++4a+[传，@ 则=5x+x眉+13周+6”，e @g-周--传+++ -6 则R<了，所以+4-h< 7 k=1 3.(1)an=3”,bn=3n+2 (2)证明见解析 (-小+a+3 【分析】(1)根据等差、等比数列的概念和公式求通项 (2)结合(1)的结论，先明确Tm,和T的表达式，再利用反证法进行证明. 2/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)先分析集合H中元素的特征，表示出元素和M=(n-1an+(n-3)a-+.+(1-na, 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得M=2∑ka:-(n+1∑4，利用错位相减求和法求∑ka4,利用公式法求∑a,即可得 k=1 k=1 k= k M. 【详解】(1)设等比数列公比为9,4，=S,=3,a,=S,-S=9,g=42=3,故a,=3” a 设等差数列公差为d,b,=5,b-1=4+2d,b。=5+5d, 由已知有(4+2d)=5(5+5d), 解得4d2-9d-9=0,即(d-3)(4d+3)=0, 则d=3或d=-3 4 (舍)， 则bn=b,+n-1d=3n+2 (2)不妨先设m<r,s<t,Pn=23”, Tor=Pm +Pmei+...+Pr= 233-1-33-小 2 T=p,+P41+.+p,= 233-=331-0 2 可知m=r,s=t时也成立， 假设T,=T,即3m(3-m1-1=3(3-s+1-1成立， 若m≠s,不妨设m<s, 则3m(3-m1-1=3(3-s1-1等价于3-m1-1=3-m(3-s+1-1, 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时Tm,≠T·同理m>S时，Tm,≠T; 若m=S,则r≠t,不妨设r>t, 因为pn=23”>0,n∈N, 故Tn,=Pm+Pm+1+…+p+p41…+P,=(p,+P+1+…+P+P+1…+P, =T+P+…+P,>T·同理r<t时，Tm,<T· 3/12 命学科网 www.zxxk.com 综上当(m,r≠(s,t时，T≠T (3)先证取不同的i,j,a;-a,的值各不相同，不妨设i>广≥1， 所以a-a,=a-a=(a-a-）+(a-1-a-2）+..+a1-aj), 而a,-a1=3-3=231=p1, 所以a-a=(a,-a-)+(a--a-2)+…+aH-aj）=p-+P-2+…+p 由(2)可知，对不同的ij取值，T-均不相同. 故M=(an-a1)+(an-a2+…+(an-am-)+am-1-a1)+…+a2-a1). 考虑M中含有n-1个an,n-3个am-1,n-5个an-2,…, 因此M=(n-1an+(n-3)a-1+…+(1-na1. 法（一） M=(1-n×3+(3-n×32+(5-n×33++n-1×3", 3M=(1-n×32+(3-n×33+…+(n-3×3”+(n-1×3+, 两式相减得：-2M=3×(1-n)+2×32+33+..+3"）-(n-1)×3*1 =3-3n+2x32-3-n-1×3=-3n-6-(m-2×3m, 1-3 2 法（二） M=n-la.+a-a+…+1-4-2[2k-(a+a]=22a, 设风=立a,=1k3+2x3+3x39++nx3 3R,=1×32+2×33+3×34+…+n×3m+1, 两式作差， 2R=3+4+3-a3m3-3} 1-3 3m+1-3 k=1 4/12 让教与学更高效 T-’ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以，Ma+2a+gr-刂-后a-小+4 4.(1)A4=[14,-8,14,-8,14,-8,14,-8,bn=1×4"-1=4-: [n2+2n,n为偶数 (2)an= n2-4n+3,n为奇数 (3)证明过程见解析 【分析】(1)本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出A;后一部分是已知数列的和， 求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法： (2)先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； (3)先放缩，再求和，最后证明不等式 【详解】(1)因为A=[0,0,0,0,0,0,0,0], 所以A,=H（A)=[1,-1,1,-1,1,-1,1,-1, A2=H2A)=[5,-3,5,-3,5,-3,5,-3, A3=H,A2=[6,-6,6,-6,6,-6,6,-6], A4=H4A3）=14,-8,14,-8,14,-8,14,-81; 因为3Tn=4bn-1,所以3b=3T=4b,-1,b,=1; n≥2时，3Tm-1=4b.-1-1, 3bn=3Tm-3Tm-1=4bn-4b-1, bm=4, b=4b-B- 所以数列{b}是首项为1，公比为4的等比数列， bn=1×40-1=4m-1 (2)经过H2变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少2k-1,各项之和增加 41-(2k-1)1=8-8k; 经过H2k变换后，奇数项的每一项都增加4从，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加4(4k-2)=16k-8; 所以经过H24-和H24两轮变换后，各项之和增加8-8k+16k-8=8k, 5/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a2=45-3=8, 所以a24=8+16+24+…+8k=4k2+4k, 即n为偶数时，an=n2+2n; n为奇数时，n-1为偶数，令n=2k-1,则2k=n+1, 8-8k=8-4n+1=4-4n, an=am-1+4-4n=(n-1)2+2(n-1+4-4n=n2-4n+3; n2+2n,n为偶数 综上，an= n2-4n+3,n为奇数 (3)02=4k2+4k,b=4-, 所以 azk azk +2) aik +2a2k< a24+2a2k+1a2k+14k2+4k+1 be b b Be 21 所以 azk (azk+2) 了4k2+4k+1 台V b 2-1 设5-立然+1-9+25,40…+n4n+1,n+4n1 224 2-2 2-， 所以5=9+25+49+…+4n2-4n+1+4m2+4n+1 2 248 2”-1 2 两式相减得3=9+16+24+32+…+8n_4n2+4n+1 一十 十…十 248 2-可 2 设7=16+24+328m 2482’ 则7=16+244328m +…十 4816…2’ 两式相减得7-8+88 +8_8n 4816 2"2’ 11)-2 2- =8+ 8n+16, 11 8n=12 2” 2 所以7=24-8n+16 2-, 所以5=9+T-4n+4n+1=33-4m2+20n+3 2 20 2 s=66-4n2+20n+33<6, 20-1 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以 azk (azk+2) <66 台V b 5.(1)an=2n,bn=3 (2)8n+3)×9-27 24 (3)证明见解析 【分析】(1)根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解， (2)先利用并项求和可得(a2n-(-2a.A+(a--”a.=2n+19,进而利用错位相 减法求和即可， (3)先用反证法证明Tk取最大值时，C,C2,C,,C2k中不存在连续3项递增或递减，进而得 Tk=4k2-2,即可利用放缩法以及裂项相消法求证」 【详解】(1)因为数列{an}是等差数列，前n项和为Sn,数列b,}是等比数列 所以设公差为d,公比为9，因为b=a,+1=3,S,=b+b2,S=b+b. 2 [3×2+3d=3+3q d=2 d=- 3 所以 5×2+10d=3+3g2,得 93或 1 /9= 3 d=2 又因为数列{b}是递增等比数列且b=3,所以 (9=3 所以an=2n,b。=3”. (2)因为02-H1-(-l4a2n)b+a1-(-1”a2nb=(an+4ni)32-+(a41-an)32 =32(3aa-2a+a-32(3n+4到-g2n+9 所以2[a-旷a]6-2[2n+19]2[2+9r] 设形，=2[(2m+1)9]=3x9+5x92+7x93+…+(2n+1)9 9Wn=3×92+5×93+7×94+…+(2n-19”+2n+1)9m+ -8W,=27+2×92+2×93+…+2×9”-（2n+1)9m -8形=27+2×81-9 1-9 -2n+1)91 7/12 可学科网 www.zxxk.com -8m,=27-(8n+3)9 所以m,=8n+3到×91-27 32 所u[-a]h-乞I2+9]-%=8+3-27 24 (3)由己知得c,∈{2,4,6，，4k,i=1,2,3,.,2k,k∈N,不妨设C<C2 首先证明Tk取最大值时，G,C2,C,…,C2k中不存在连续3项递增或递减： 假设C,C2,C,…,c2k中存在连续3项递增或递减，即存在m∈{1,2,3，…，2k 使得Cm<Cm1<Cm2或者Cm>Cm+1>Cm+2,所以Cm-C+l+Cm+1-Cm+2=Cm-Cm+2 Tk=C-c2+C2-C++Cm-Cm+Cm-Cm2++C2--Czx =G-C2+C2-C3++Cm-Cm+2++C2k-1-C2k 则将Cm+1调换到G,之前 Tk =Cml-c+c-c2+c2-c3++Cm-Cm2++Czk-1-Cz>T2 因此C<c2时，T2k取最大值必有C<C2,C2>C3,…,C2k-1<C2 此时T2k=C2-C1+C2-C3+C4-C3+…C2k-2-C2k-1+C2k-C2k-l =2(C2+C4+…+C2)-2(G+C3+…+C2k-)+G-C2k 所以Tk取最大值时c2-1∈{2,4,6，…，2k},C2∈{2k+2,2k+4,2k+6,,4K 并且C,=2k,C24=2k+2 此时T=2(2k+2+2k+4+…+4k)-2(2+4++2k)+2k-(2k+2=42-2 1111 当k=1时，1,4216 当t含云品日区名4日2 为日 n-1n+1 8/12 让教与学更高效 2 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以21<1+1x3山 台T242'4416 综上1<Ⅱ “台T2k16 6.(1)an=2n-1,bn=2.3"-; (2)8; 3∑∑4，=1+2m-1-3 i=1j=1 【分析】(1)根据等差等比数列基本量的计算即可得解， (2)利用裂项相消法求和，即可解不等式得解， (3)根据等差数列的性质先求解∑4，= d,+上_+6上_23+2-31=4-3，进而利用错位相 2 2 j=1 2 减法即可求解. 【详解】(1)设{b}的公比为9，依题意，有 2a+6=2g2-10, 2q+3=a+8, 解得q=3,a,=1,所以an=2n-1,bn=2·3m- (2)由(1)知S.=n1+2n-=m, 2 4n 所以T= 1- 1 (2n-1)2(2m+12222n+1, 由S2m1Tn>112, 得11 (2n+12 (2n+12>224, 化简得(2n+1)2>225,解得n>7,所以n的最小值为8. (3)依题意， 24,=d,+d++d-4+d_6+2_2-3+2-3）-3, 2 2 2 则M=∑4=43=43”+8-3+12.32++4n-4到32+4n3 3M。=43+8.32+1233+…+4n-4）3-+4n3", 两式相减可得：-2M,=4+4.3+432+…+43-1-4n3m 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =43°+3+32+32++3)-4n-3°=4.1-3” -4n3", 1-3 所以∑∑4=1+(2n-3” 7.(1)a2=0,a3=4,证明见解析 (2)Tn= 3n-4 、9 (3)证明见解析 【分析】(1)根据递推公式及等比数列的定义证明即可； (2)由(1)求出a2m-1,即可求出2m,从而得到b.=(n-1)4”，利用错位相减法计算可得； 2 1 (3)由数列的通项公式可得Cn= 利用放缩法即可得到Cn<1+ (n+1)1 n(n+,再利用裂项相消法即 可证明 【详解】(1)当n=1时，可得a2=log2a1=l0g21=0, 当n=2时，可得4，=2+2=22=4， 因为a2+1=2+2=2882=22a2a-1=4a2-l,n21,a,=1, 所以2=4(n≥1）， a2m-1 所以数列{a2m-}为首项为1，公比为4的等比数列. （2)由(1)得a2m-1=4"-,(n≥1， 则a2n=l0g2a2m-1=l0g24"-=2n-2,(n≥1， 所以6，=a-42n-2刘=n-1, 2 2 所以Tn=0×4+1×42+……+(n-1×4”, 则4T。=0×42+1×43+…+(n-1×4"1, 所以-3现=+++4-a-4_4-4-a-4.4”-6-m-l4 1-4 33 4-3n41_16 3） 3 10/12