天津市耀华中学2026届高三年级第一次校模拟考数学学科试卷

天津市耀华中学2026届高三年级第一次校模拟考 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题)和第IⅡ卷（非选择题)两部分，共150分，考试用时120 分钟. 第I卷（选择题共45分) 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一 项是符合题目要求的，将答案涂在答题纸上. 1.已知全集U={x<x<6,x∈N,A={2,3},B={2,4,5},则(CA)UB=（) A.{4,5} B.{2,3,4,5} c.{2) D.{2,4,5} 2.0-子+2k减0=智+2kx快eZr是*an0=2o(经+0的（)） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数f(x)=cos2x Inx2+可的图象大致是() 中 4.下列说法正确的是（) A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17： B.根据分类变量X与y的成对样本数据，计算得到x2=4.712,根据小概率值α=0.05 的独立性检验(xos=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05： C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数”越接近于1： D.若随机变量5,7满足7=3衫-2，则D()=3D(5)-2. 第一次校模拟高三年级数学学科试卷第1页（共5页) 5.己知m,n为两条不同的直线，a,阝为两个不同的平面，则下列命题正确的是（) A.若aIIB,m/1a,n/IB,则ml1nB.若a⊥B,m⊥a,则m/IB C.若m⊥B,m/1a,则a⊥B D.若a⊥B,m/la,n/1B,则m⊥n 6.设a,b,c均为正数，且2°=l0g1a =1og2c.则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 7.已知函数∫(x)=Asin(ox+p)(A>0,o>0,0<p<π)的图象满足以下特征：图象经过点 (0,),并且在y轴右侧的第一个零点为号第一个最低点为g-2, 5元 函数(x)在 (m 上的值域为(-1,2]，则m的取值范围是() .（引 8.在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，点E为棱CC的中点，点F在底面ABCD内 运动，且满足直线EF∥平面BDA,将正方体沿平面DBF切割，得到两个多面体，下 列说法中错误的是() D A.点F的轨迹是一条线段，且其长度为22 B B.过D,B,F三点的截面面积为18 C.沿平面DBF切割正方体得到较大的多面体体积为124 B D.在棱BB,上不存在点P,使得CP⊥平面DFB 9.已知0为坐标原点，双曲线C善岁=1a>0,60)的左、右焦点分别是斤，5，点 P是C的右支上异于顶点的一点，过F作∠FPF的平分线的垂线，垂足是M,且 MO=V6,又过F作一条渐近线的垂线，垂足为点N(点N在第二象限)，且∠F,NO= 6’ 则双曲线的方程为（) A若若1B苦若1c若51n苦若1 第一次校模拟高三年级数学学科试卷第2页（共5页) 第Ⅱ卷（非选择题共105分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上 10.复数=满足+(1-)=1+V团，其中i为虚数单位，则复数三的虚部为▲ 11.(2x2-)展开式中x项的系数为▲·（用数字作答） 12.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，以F为圆心的圆与抛物线C交于M,W 两点，与准线1交于P,Q两点，且P=4V5，设直线MF的斜率为k,则k=▲ 13.人工智能浪潮滚滚而来，人工智能大模型所用到的数学并非都是遥不可及的高深理 论，概率就被广泛应用于人工智能的大模型中.某学习小组设计了如下问题进行研究： 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱 中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在己知抽到红球的条件下，则2 个球都是红球的概率为▲；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子 中随机抽出1个球：如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球， 则它是来自乙箱的概率是▲ 14.如图，△ABC中，点D,E,F分别是线段AF,BD,CE的 中点，设AB=a,AC=b,则AF=_▲（用a,b表示）： 已知∠BAC=60,BC=1,B丽=)C,则AFA丽的最大 值为▲. B 15.已知函数f(x)=2+x2-m-a-2,若关于x的不等式f(x)<0恰有两个整数解， 则实数a的取值范围是▲一 第一次校模拟高三年级数学学科试卷第3页（共5页） 三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题纸上。 16.(本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(2a-c)cosB=bcosC. (I)求角B的大小： (Ⅱ)设a=4,b=2万. (i)求c的值： (i)求sin(2C+B)的值. 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,F为B,C,的中点， 点D,E分别在棱AA和棱CC上，且AD=1,CE=2.A (I)求证：AF∥平面BDE: (IⅡ)求平面ACC,A与平面BDE夹角的余弦值： D (I)求点A到平面BDE的距离. 18.(本小题满分15分) 设椭圆c:+上 京+尔=1(a>b>0)的右焦点为F,左项点为A,上顶点为B,IAF卡3.点P 是椭圆C上的一点，PF⊥x轴，且koP=V3kB (I)求椭圆C的标准方程： (Ⅱ)若过点(-3,0)且斜率不为零的动直线1与椭圆C相交于两个不同的点T,S,过线段 S的中点Q作直线1的垂线与x,y轴分别交于M,N,求|MQW的取值范围. 第一次校模拟高三年级数学学科试卷第4页（共5页) 19.(本小题满分15分) 在数列{an}中，a=1,(2n-1)an1=(2n+1)an. (I)求{an}的通项公式： ()己知集合An={a,42,a3,…,an},记An的非空子集为B,(1≤i≤2”-1)，B中的所有元 素的和为T,记b,=~1.I+乃+3++7 2m- (i)求数列{bn}的前100项和H1: (i)记B中最小的元素为D,求D+D2+D+…+D- 20.（本小题满分16分) 已知函数fx)=xnx-2m-x+2. (I)若a=2,求函数(x)在x=1处的切线方程： (IⅡ)设g(x)=f(x)+(2-a)x有且仅有一个极值点，求a的取值范围： (I)若函数f(x)存在2个极值点，x2(x,<:2),且满足x,≥e,求证：1<x<2. 第一次校模拟高三年级数学学科试卷第5页（共5页) 天津市耀华中学2026届高三年级第一次校模拟考 数学学科参考答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A A B A C C C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10.-1 11.-160 12.±√5 13. 1.2 35 14.a+2 2+4613 s[器-》8 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.(本题满分14分) 解：(I)由(2a-c)cosB=bcosC, 根据正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sinB cosC, 可得2 sinAcos B=sin(B+C=sinA, 因为0<A<元，故sinA≠0，则cosB= 又0<B<元，所以B=T 3 ()由(D知，B=骨且a=4,b=2万， (i)则cosB=02+c2-6 2ac 即5=16+c-28,解得c=-2（舍)，c=6. 22×4×c 故c=6. (ii)(2a-c)cosB=bcosC, 第一次校模拟高三年级数学学科参考答案第1页（共6页) 得(2x4-6)×)=2W7c0sC, gc则c阁9。 sin2C-2sinCcosC= 14 cos2C=2cos2C-1=-13 4 sin(2C+B)=sin2C cos B+cos2CsinB 17.(本题满分15分) AZ (I)证明：取BE的中点G,连接FG,DG,则FGIICC∥AA, 且FG=CE+BB=I+3=2,:FGMD且FG=AD, B 2 2 则四边形ADGF为平行四边形，∴.AFDG. 又AF文平面BDE,DGC平面BDE, ∴.AF∥平面BDE. (I)解：直三棱柱ABC-AB,C,中，AC⊥BC.以C为原点，以CACBCC的方向为x 轴、y轴、二轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(02,0),E(002),D(201)BE=0,-22)BD=,-2b), 7-BE=-2y+2z=0, 设平面BDE的一个法向量为万=(xy,),则{ n.BD=2x-2y+z=0, 即令y=1,则：=1x=分，得到平面0E的-个法向量万=行 易知平面ACC,A的一个法向量为m=(0,1,0). 第一次校模拟高三年级数学学科参考答案第2页（共6页） 设平面ACC,A,与平面BDE的夹角为8， 则cos0=kcs(m,- m 0+1x1+1x0 2 V+1+1 B平面ACC4与平面BDE夹角的余弦值为号 (Ⅲ)解：A(2,03),AD=(0,0,-2), ∴点A到平面BDE的距离d= 可_2_ 3 3 2 18.(本题满分15分) (I)由题意可得A(-a,0),B(0,b), 使题意，点P在第一象限，故得P6） D a+c=3 由|AF卡3，koP=V3kB,得 =5x名， ac a2=b2+c2 解得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=4-1=3, 所以椭圆标准方程为子+上=1。 43 (Ⅱ)设直线1的方程为x=my-3,点T(x),S(2,2). x=my-3 联立 3x2+4y2=12'得(3m2+4)y2-18my+15=0, 由△=324㎡-60(3m+4小>0解得m>号 第一次校模拟高三年级数学学科参考答案第3页（共6页） 18m 15 且为+2= 3m+4'=3m㎡2+4 所以 -12 9m +12_}+,9m 34+4从而wy=-m+3m+d34 解得M 所以eMl№N=(1+m) 9 12108(1+m2） 3m2+4*3m2+4(3m2+4)2 令1=l+m 传e6. 综上，242N的取值范围为0号) 19.(本题满分15分) D在数列a中，由2n-a=(0+4,得2品 因此数列-是常数列，则3==1，口，=2n-山， 2n-12×1-1 所以{an}的通项公式为an=2n-1. (Ⅱ)(i)集合A的每个元素在非空子集中出现的次数均为 C8-+C-1+C21+…+Cm1=2"-, 因此了+7+5++71=0+3+5+…+2n--2=0+2”-n2=m22, 2 6=e.I+5+7++74-ern, 21 所以H10=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+(-992+1002) =3+7+11++19=3+19)x50=5050. 2 (ii)依题意，An=L,3,5,7,…,2n-1}的非空子集有2”-1个， 其中最小元素为1的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有C个， 含3个元素的子集有C个，…，含n个元素的子集有C个， 第一次校模拟高三年级数学学科参考答案第4页（共6页） 因此最小元素为1的子集有C-+Cn1+C1+…+C=2个. 同理得最小元素为3的子集有C2+C2++C子=22个， 最小元素为2n-1的子集有2°个， 则D+D+D++D2=k2-+32-2+52-3++(21-12°， 记X=12”-1+32"-2+52”-3+…+(2n-1)-2°， 则2X=12”+321+522+…+(2n-1)-2, 两式相减得 X=2+2x2+2-2+…+2）-2n+1=2+2x22-2n+1=3-2-21-3, 2-1 所以D+D2+D3+…+D-1=3×2”-2n-3. 20.（本题满分16分) (I)当a=2时，f(x)=xlnx-x2-x+2, f'(x)=lnx+1-2x-1=lnx-2x,且f0)=0,f'(1)=-2, 故f(x)在x=1处的切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0, （mDgt创=fe)+2-ox=xnx-m2+-a+2e>0. g'(x)=Inx+1-ax+1-a=Inx+2-ax-a, 由8'(x)=0可得a=nx+2, 令h()=hx+2 x>0, x+1 x+1 (x+1)-(nx+2)-1nx-1 则H(x)= ~_Y (x+1)2 (x+)2 令1)=lnx-l山，在xe0,+网)上单调递减，且=0， 则当x∈(0,1)时，1(x)>t()=0,则h(x)>0,即h(x)在(O,1)上单调递增， x∈(L,+∞)时，t(x)<()=0,h(x)<0,即h(x)在(L,+o)上单调递减， 第一次校模拟高三年级数学学科参考答案第5页（共6页） 且又x→0*时，h(x)→-∞，x→0时，h(x)→0， 由题得，a=x+2有且只有一个变号根，故ae(0,] x+1 Inx (Ⅲ)由'(x)=lnx+1-x-1=lnx-ax=0,可得a= x 令s)=h,则s)=1-nx,由s>0得0<x<e,由s<0,得xe x2 故s(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，且s()=0,当x→+o时，s(x)→0*， 因s(x)=a>0,对于x>1,有s(x)>0,1<x<e<为，故x2>e,e>e, 则由x2≥e台s(2)≤s(e*),又s()=s(),故s()≤s(e, 令F(=a(-e)=言xe,则F(倒=g, 因>0。<0，则r(>0,故F闪在L9上单调遥指， 又r0-c0Fg=日-0. 则F(x)=0在x∈(L,e)上存在唯一解x。,∴.x<, 叉r0<0,F②=22-en2-4chE-4 2e-42(c-6>0 3 2e22e2 2e22e2 6e2 则有x。<2,故可得1<x,<2. 第一次校模拟高三年级数学学科参考答案第6页（共6页)