精品解析：天津市九校联考2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试卷

天津市九校联考高三年级模拟考试（一） 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应題目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A与事件B互斥，那么． ·如果事件A与事件B相互独立，那么． ·棱柱的体积公式，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为4 B. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 C. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.01 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上有且仅有一个零点 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 8. 已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ） A. 30 B. 4944 C. 9876 D. 14748 9. 《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知i是虚数单位，化简的结果为________． 11. 在的展开式中，的系数为________． 12. 已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为________． 13. 某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为________；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为________． 14. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 15. 已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角； （3）求点M到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围． 19. 已知等差数列满足，记数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 20. 已知函数． （1）求函数 的单调区间； （2）若对 ，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市九校联考高三年级模拟考试（一） 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应題目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A与事件B互斥，那么． ·如果事件A与事件B相互独立，那么． ·棱柱的体积公式，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交，补运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】对于函数在R上单调递增，由，，知， 由函数在上单调递增，则，故充分性成立； 由上，有，进而有，故必要性也成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合即可求解. 【详解】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为4 B. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 C. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.01 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数的定义计算可判断A；利用决定系数的意义可判断B；利用相关系数的意义可判断C；利用独立性检验的意义可判断D. 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为5，故A错误； 对于B，决定系数，残差平方和为，根据决定系数公式可得越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.故B正确； 对于C，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故C错误； 对于D，根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不大于0.01，故D错误. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 6. 已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 8. 已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ） A. 30 B. 4944 C. 9876 D. 14748 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，利用，可求解. 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 9. 《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将刍甍补成如图所示的三棱柱，首先证明三棱柱是直三棱柱，然后根据体积的转换即可求解. 【详解】因为， 所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱， 不妨设的面积为，三棱锥的体积为， 从而. 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知i是虚数单位，化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复乘除法运算直接化简可得. 【详解】， 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 12. 已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为________；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解. 【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为. 设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件, 事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况， 所以， 根据条件概率计算公式, 故答案为：；. 14. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分析得且，进一步分和，两种情况讨论即可，原问题可以转换为的图象与的图象的交点个数为4来求参数，从而可以通过画图进行求解. 【详解】若，则等价于，解得或， 当或时，函数是二次函数， 其零点不超过两个， 从而必然有且， 的零点有四个等价于的图象与的图象的交点个数为4， 如图，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较小的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点， 从而， 所以时，， 即，解得， 当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较大的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点， 从而， 所以时，， 即，解得或， 综上所述，所求为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长； （2）根据已知得，再由正弦定理求； （3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； 【小问2详解】 由且，则， 由正弦定理，则； 【小问3详解】 由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角； （3）求点M到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接, 由于为的中点， 所以且， 又且， 因此且，所以四边形为平行四边形， 故, 平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形为平行四边形，即可利用线面平行的判定求解， （2）根据线线垂直可得平面，即可知为直线与平面的夹角，利用三角形的边角关系即可求解， （3）由线面角的大小，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角， 取的中点为，连接, 由于所以, 又平面平面，所以, 平面， 故平面，所以为直线与平面的夹角， 由于， 所以, 由于为锐角，所以， 故直线与平面的夹角为. 【小问3详解】 由（2）知直线与平面的夹角为， , 故点M到平面的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率的定义，三角形的面积，椭圆中，解方程可得； （2）分直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再利用图形化简面积表达式，然后利用非对称韦达定理表示出面积表达式，再设，构造函数，利用单调性求取值范围可得. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则四点共线，不存在面积比，不符合题意； 若直线的斜率存在， 如图，设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，即， 所以， 因为，， 又，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 设，由于在之间，所以，即， 设，在上单调递增， 令，解得， 令，解得（舍）或， 故， 所以. 19. 已知等差数列满足，记数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据列方程组可求数列的通项公式 （2）（i）根据，可得，构造等比数列可求数列的通项公式； （ii）当为奇数时，利用错位相减法求和；当为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列的前项和. 【小问1详解】 设数列的公差为， 因为， 则解得 故. 【小问2详解】 (ⅰ)， ， 所以， 即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. . (ⅱ)当为奇数时，， 记， 则， ， 两式相减，得 ， 化简，得， 得； 为偶数时， 记， 则 . 故 . 20. 已知函数． （1）求函数 的单调区间； （2）若对 ，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，有． 【答案】（1）当时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）； （3）取 ，由（1）知函数在 上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 【解析】 【分析】（1）求出函数 的导数，再分类讨论求出其单调区间. （2）求出函数 的导数，进而求出其最大值，由 的取值情况及零点个数可得，再利用导数求出 的范围. （3）利用（1）中信息，取 得，取，利用累加法证得不等式右端成立；再构造函数，利用导数结合赋值法证得不等式左端成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时， ，函数 在上单调递增； 当 时，由 ，得；由 ，得， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 而 ，由 ，得；由 ，得， 函数 在上单调递增，在上单调递减，， 又，当 从大于0的方向趋近于0或 趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数 恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $