专题02 平面向量与复数4个考点（天津专用）2026年高考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02平面向量与复数 考点1 复数 1.√10 3.2 4.5-6i/-6i+5 5.5 6.2 7.2+i 8.1+5i 9.√2 考点2 平面向量的基本定理及其坐标表示 题号 1 答案 C 2 5 3. 3V5 4 4 3 3W2 11 13 279 1212 40 05 2 42 7 7 1/2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点3 平面向量的数量积 题号 1 答案 B 2. 1-6 4 11 3. 2-3 12 131 279 1212 40 27 5. 3 12 10 6. 1-7 =a+ 2V5+2 4 2/2 专题02 平面向量与复数 3大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的基本定理及其坐标表示 考点03平面向量的数量积 复数 运算 考点1 一、填空题 1．（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 2．（2026·天津南开·一模）是虚数单位，，则______. 3．（2026·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______. 4．（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 5．（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 6．（2026·天津河北·一模）已知（），则_____． 7．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 8．（25-26高三下·天津·开学考试）已知复数满足（为虚数单位），则复数______． 9．（25-26高三上·天津西青·期末）已知为虚数单位，则___________. 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点2 一、单选题 1．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·天津南开·一模）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 3．（2026·天津·一模）在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 4．（2026·天津和平·一模）已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 5．（25-26高三下·天津河西·开学考试）在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 6．（25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 7．（25-26高三上·天津蓟州·期末）在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 平面向量的数量积 考点3 一、单选题 1．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 二、填空题 2．（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 3．（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 4．（25-26高三下·天津河西·开学考试）在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 5．（25-26高三上·天津·期末）在梯形中，，，，．若，其中为实数，则___________；设是线段上的动点，是线段的中点，则的最小值为___________． 6．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 7．（25-26高三上·天津红桥·期末）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数 3大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的基本定理及其坐标表示 考点03平面向量的数量积 复数 运算 考点1 一、填空题 1．（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 2．（2026·天津南开·一模）是虚数单位，，则______. 【答案】 【详解】因为， 所以. 3．（2026·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______. 【答案】2 【详解】由，得，分子分母同乘得：， 故复数的虚部为. 4．（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以. 5．（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 【答案】 【详解】，故. 6．（2026·天津河北·一模）已知（），则_____． 【答案】2 【详解】因为，所以，则. 7．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 8．（25-26高三下·天津·开学考试）已知复数满足（为虚数单位），则复数______． 【答案】 【详解】由题意得，即. 9．（25-26高三上·天津西青·期末）已知为虚数单位，则___________. 【答案】 【分析】利用复数的除法运算化简，再利用求模公式计算. 【详解】因为， 则. 故答案为： 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点2 一、单选题 1．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则，先化简得到，，再利用向量数量积的运算，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 二、填空题 2．（2026·天津南开·一模）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题设，， 所以. , , 3．（2026·天津·一模）在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】先利用中点与共线条件，将点 的位置用参数 表示，并通过向量共线建立方程解出 与 ，从而确定 与 的表达式；再将已知的 的值代入，结合与的夹角关系转化为关于 x, y的方程；最后使用基本不等式求出 xy的最大值，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，因为 是 中点，所以 ，. 又 是 AE 中点，故 ，. 设 ，则 . 由 共线，，即 ， 得 ，，，故 . 又 ，. 设 ，，则， 代入得 . 由基本不等式 ，得 ，当且仅当时等号成立. 平行四边形面积 ，故 . 4．（2026·天津和平·一模）已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 5．（25-26高三下·天津河西·开学考试）在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 / 【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得出的值；建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、， 由题意得，所以，则， 故， 因为、不共线，且，则，，故， 因为，故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 6．（25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 7．（25-26高三上·天津蓟州·期末）在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上的投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 平面向量的数量积 考点3 一、单选题 1．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 因为，所以， 所以点的轨迹方程为， 直线方程为， 联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，， 此时直线方程为， 令，解得，所以， 设，其中， 则，， 所以 ， 其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 二、填空题 2．（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算. （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以； 过作，垂足为， 所以为直角三角形，， 所以，， 由勾股定理可得，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 由，可知，， 则，设， 由可得：，， 所以，， 所以， 当时，取得最小值. 3．（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 4．（25-26高三下·天津河西·开学考试）在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 / 【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得出的值；建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、， 由题意得，所以，则， 故， 因为、不共线，且，则，，故， 因为，故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 5．（25-26高三上·天津·期末）在梯形中，，，，．若，其中为实数，则___________；设是线段上的动点，是线段的中点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】建系并标点，根据题意可得，即可得和；设，结合向量的坐标运算可得，进而分析的最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 可得，，， 因为，则，可得， 又因为， 则，解得，所以； 设，， 即，则，可得，， 则， 当且仅当时，取到最小值. 故答案为：；. 6．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 【答案】 3 【分析】根据平面向量的线性运算结合共线定理即可得的值；由投影向量的定义可得的值，由，结合平面向量数量积的运算性质即可得的值. 【详解】 因为， 整理得，则不在边上， 又，则，所以， 因为三点共线，所以，解得； 向量在向量上的投影向量为， 所以，则， 则 . 故答案为：；3. 7．（25-26高三上·天津红桥·期末）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求出；利用三角形面积公式及数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则， 因此，， 由的面积为，得，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $