专题06+平面解析几何5个考点（天津专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 平面解析几何 5大考点概览 考点01直线方程与圆的方程 考点02双曲线方程及其性质 考点03抛物线方程及其性质 考点04圆锥曲线弦长面积问题 考点05圆锥曲线定点定值问题等综合问题 直线方程与圆的方程 考点1 一、填空题 1．（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 2．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 3．（2026·天津南开·一模）过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 4．（2026·天津河西·一模）直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 5．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 6．（2026·天津河北·一模）抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 7．（25-26高三上·天津西青·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________. 8．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 双曲线方程及其性质 考点2 一、单选题 1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（2026·天津和平·一模）已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 7．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·天津蓟州·期末）直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·天津·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，在直线的左边，与双曲线的一条渐近线交于点，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·天津河东·期末）已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·天津·期末）双曲线的左、右焦点分别为，过与双曲线的一条渐近线垂直的直线交双曲线右支于点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·天津和平·期末）已知为坐标原点，双曲线：的左，右焦点分别为，点为上一点，且在第一象限，的平分线与轴的交点为，过点作的垂线，垂足为点，点到的一条渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·天津南开·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 抛物线方程及其性质 考点3 一、单选题 1．（2026·天津红桥·一模）设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 二、填空题 3．（2026·天津·一模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 4．（2026·山东德州·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点．若，点M到l的距离为4，则的值为______． 6．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 7．（25-26高三上·天津·期末）已知圆，抛物线上一点满足，直线与圆相交于两点，则___________． 8．（25-26高三上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 9．（25-26高三上·天津和平·期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为4，过点且倾斜角为的直线被圆截得的线段长度为___________. 圆锥曲线弦长面积问题 考点4 一、解答题 1．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 2．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 3．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 4．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 5．（2025·天津滨海新区·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 6．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 圆锥曲线定点定值问题等综合问题 考点6 一、解答题 1．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 2．（2026·天津河西·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切，过F作直线l的垂线，垂足为H，线段的长度是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 3．（2026·天津南开·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值. 4．（2026·天津·一模）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上，且，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上（在轴的上方），若，求直线的方程. 5．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 6．（2026·天津和平·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若点，且点关于轴的对称点在直线上，求直线的方程． 7．（25-26高三上·天津和平·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆下顶点，为等腰直角三角形，其周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点与椭圆交于点（异于椭圆顶点），线段中点为，射线与直线交于点，点在以为直径的圆上，求直线的方程. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面解析几何 5大考点概览 考点01直线方程与圆的方程 考点02双曲线方程及其性质 考点03抛物线方程及其性质 考点04圆锥曲线弦长面积问题 考点05圆锥曲线定点定值问题等综合问题 直线方程与圆的方程 考点1 一、填空题 1．（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得圆心坐标为，则，，则，准线方程为 不妨取，因为该圆与抛物线交于，两点，则， 联立，解得或（舍去）， 则根据对称性有，解得， 则圆，则. 2．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可. 【详解】设圆心，， 由题意得，解得或0（舍去）， 则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 3．（2026·天津南开·一模）过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【详解】联立，解得或， 所以交点坐标为或， 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 综上所述，弦长为 4．（2026·天津河西·一模）直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 【答案】1或 【详解】由，得，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，又， ，解得. 5．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设到直线的距离为， 则有， 即，解得， 故实数的取值范围为. 6．（2026·天津河北·一模）抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】确定抛物线的焦点与过点的切线，求出，可知，进而有外接圆以为直径，即可求解. 【详解】由题意，，设， 因为，所以切线方程为， 代入得，点P在第一象限， 所以，从而， 所以外接圆以为直径， 当时，圆心为，半径为， 圆的方程为； 所以外接圆的标准方程为． 7．（25-26高三上·天津西青·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________. 【答案】2 【分析】由焦半径公式可求出点的坐标，进而求出圆的方程，令，即可求解. 【详解】由题意知，， 又点在抛物线上且在第一象限，所以，故点为， 则以点为圆心3为半径的圆的方程为， 令得或，故以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 8．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 【答案】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为0，从而得到直线过圆心，则为圆的直径，从而得到，求出点到直线的距离，利用三角形面积求出的面积. 【详解】，， 圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 过圆心， 直线与圆：交于，两点， 为圆的直径，， 点到直线的距离为 故答案为：. 双曲线方程及其性质 考点2 一、单选题 1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 2．（2026·天津·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】由可得为中点，再设出点坐标，可表示出点坐标，则可利用及点在双曲线上列出与、、有关等式，最后利用离心率定义计算即可得. 【详解】由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 3．（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，双曲线（，）的渐近线方程为， 取，即，因为，且圆的半径为， 则到的距离为， 所以，结合， 整理得到，即的离心率为. 4．（2026·天津和平·一模）已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的，求出，再结合直线的斜率为可得，进而结合的关系求解即可. 【详解】抛物线的准线的方程为，则焦点， 而双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第四象限内的点， 联立，解得，即， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，易得， 而，， 在中，，即， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 5．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 6．（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量垂直的条件构建等式，找出双曲线中的关系，从而得离心率. 【详解】对于双曲线，右焦点为，其中，离心率， 渐近线为， 因为抛物线以为焦点，故，即. 又因为准线交渐近线于，将代入渐近线方程得：，过作轴的垂线，交抛物线于第一象限的点， 因为，即向量， 又因为，， 所以，整理得：， 所以离心率. 7．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 8．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出渐近线方程. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得，即， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：B 9．（25-26高三上·天津蓟州·期末）直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得,又B、P关于原点对称， 故， 则， 因为，所以， 所以， 化简可得，所以，， 因为，所以， 所以，即，即 ， 所以，所以渐近线方程为. 故选：D. 10．（25-26高三上·天津·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，在直线的左边，与双曲线的一条渐近线交于点，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点得出平行关系，结合渐近线斜率得到，结合定义和余弦定理可求答案. 【详解】如图，因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以. 设焦距为，直线与轴的交点为， 因为，所以; 所以，又，所以. 又，所以， 由双曲线的定义可得； 在中，由余弦定理可得， 解得或（舍），所以，， 双曲线的方程为. 故选：D    11．（25-26高三上·天津河东·期末）已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合圆的定义和方程，双曲线渐近线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由双曲线和抛物线的方程可得， 因为，所以点在以线段为直径的圆上， 显然该圆的圆心坐标为，半径为， 根据双曲线和圆的对称性， 不妨设点在双曲线的渐近线上，， 点在渐近线和圆上， 所以有到直线的距离不大于， 即， 即，而，所以. 故选：D 12．（25-26高三上·天津·期末）双曲线的左、右焦点分别为，过与双曲线的一条渐近线垂直的直线交双曲线右支于点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图利用点线距和勾股定理求出，过点作于，推理可得，根据解三角形和双曲线的定义可得，即可求离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 则，，， 如图，过点作于，则， 且为线段的中点，所以，， 因为， 则为锐角，且， 可得，， 由双曲线定义得，即，解得． 所以该双曲线的离心率为． 故选：C． 13．（25-26高三上·天津和平·期末）已知为坐标原点，双曲线：的左，右焦点分别为，点为上一点，且在第一象限，的平分线与轴的交点为，过点作的垂线，垂足为点，点到的一条渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确，再根据三角形的中位线的性质得到，再结合双曲线的定义得到，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图：    双曲线的右焦点到渐近线即的距离为. 所以. 因为平分，且，延长交于，则为等腰三角形，，且为中点. 又为中点，所以. 根据双曲线的定义，， 即. 所以双曲线的离心率为. 故选：D 14．（25-26高三上·天津南开·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用双曲线的定义用表示，，再用余弦定理表示，联立中的余弦值，齐次化后即可求解. 【详解】不妨设直线与直线垂直，垂足为，如下图： 由双曲线定义可得，，故， 且有，即，， 在中，由余弦定理得， 在中，，易得，所以， 所以有，， 两边同时平方得，， ，， 同除以得，化简得，， 因为双曲线，故，. 故选：A. 抛物线方程及其性质 考点3 一、单选题 1．（2026·天津红桥·一模）设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得点为靠近的三等分点，故设，得到，再根据焦半径公式得，再将点的坐标代入抛物线方程即可求得. 【详解】由题知抛物线的焦点，准线为， 设，由可知点为靠近的三等分点， 所以， 因为点到抛物线准线的距离为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，， 将点代入抛物线方程得，解得， 所以点的纵坐标为. 2．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【分析】先根据双曲线的性质求出抛物线的参数，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后计算的面积. 【详解】双曲线的右焦点为，即为抛物线 的焦点， 所以，解得，抛物线方程为，其准线方程为， 因此准线与轴的交点的坐标为；焦点的坐标为， 设点，因为在抛物线上，所以， 则 ，又，且， 代入得：，化简得， 结合，代入展开并整理：， 将代入，得，因此点坐标为或， 则，点到轴（所在直线）的距离为， 则. 二、填空题 3．（2026·天津·一模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 【答案】 【分析】设出点坐标，利用勾股定理解得坐标，求出圆半径. 【详解】由可知，. 设，则由抛物线定义可得，即圆半径为， 而点到轴距离为，，则由勾股定理可得， 解得，所以圆半径为. 4．（2026·山东德州·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义，结合已知建立方程，再利用给定的三角形面积列式求解. 【详解】抛物线，焦点为，准线为， 准线与x轴交点，； 设，由抛物线定义可得，且满足， 由于，则， 即， 故，可得，即得， 结合，可得， 的面积为2，故，即，解得. 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点．若，点M到l的距离为4，则的值为______． 【答案】 【分析】设PQ的倾斜角为，根据抛物线第一定义可求出，焦点到准线的距离为，借助三角函数值表示与之间关系，再根据梯形中位线等于上底和下底和的一半即可求出答案. 【详解】设PQ的倾斜角为，根据抛物线第一定义可求出， ，而， 所以， 又因，所以则有，解之可得， 点M到l的距离为4，所以可得， 而， 解之可得. 故答案为： 6．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【分析】由题知设圆心为 且，利用圆心到直线：距离为，求得，所以再利用弦长公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设圆心为 ，且， 所以， 因为圆心到直线：距离为， 所以， 因为，所以.所以， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 7．（25-26高三上·天津·期末）已知圆，抛物线上一点满足，直线与圆相交于两点，则___________． 【答案】/ 【分析】先根据焦半径公式求出的坐标，求出直线的方程结合垂径定理可求. 【详解】由题设可得，故为抛物线的焦点，故， 故，故，由抛物线和圆的对称性不妨设， 故，故直线， 故到直线的距离为，故， 故答案为：. 8．（25-26高三上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出点坐标及直线的方程，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得， 抛物线方程为，设点，由，得，解得，， 点，而，直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得. 故答案为：3    9．（25-26高三上·天津和平·期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为4，过点且倾斜角为的直线被圆截得的线段长度为___________. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式求直线与圆相交所得弦的弦长. 【详解】抛物线，焦点到准线的距离为4，所以，所以焦点. 则过点且倾斜角为的直线方程为：，即. 因为，圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为：， 所以直线被圆截得的线段长度为：. 故答案为： 圆锥曲线弦长面积问题 考点4 一、解答题 1．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程； （2）①直线与圆相切得到，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到即可求证； ②利用结合①可得答案. 【详解】（1）依题意，解得， ∴椭圆的方程为． （2）①∵直线与相切， ∴，即． 联立消去得， 设，则， 所以 ， ∴． ②直线与椭圆交于不同的两点，∴， ∴， 由①知，∴，即， ∴，又，∴的取值范围为． 2．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2． 【分析】（1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程； （2）（i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率； 法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率； 法三：由，可设直线为，不同时为0，联立直线与椭圆方程化简得，可得，即直线的斜率为定值． （ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知 法一：易知，当时，的面积取最大值2． 法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2． 【详解】（1）设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． （2）（i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 3．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件可得出关于、、的方程组解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，则点，分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，其中，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合不等式的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）如下图所示： 设点、，则点，易知点. 若直线与轴重合，则点与原点重合，不符合题意， 根据题意，设直线的方程为，其中， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以 直线的方程为， 在直线的方程中，令可得， ，即点， 所以， 因为，所以，故. 故面积的取值范围是. 4．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由离心率可得，再由弦长求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出三角形面积的比，再结合韦达定理求出的纵坐标的比值即可得解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则，半焦距， 又过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为， 由，得，于是，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，直线不垂直于轴， 设直线的方程为，， 由消去得，，， ， 于是，而， ，因此，设， 则，解得， 于是， 所以与的面积之比的取值范围是. 5．（2025·天津滨海新区·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）存在，点或. 【分析】（1）由离心率及已知有求椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，再应用面积公式求范围；（ii）由题设直线为，直线为，进而得，令得，再设点的坐标，由向量数量积的坐标运算列方程求参数，即可得结论. 【详解】（1）由题意，又，解得，椭圆的标准方程为； （2）（i）设直线的方程为，， 消得，即， 所以，设，，恒成立， ，， ， 令，，则， 由在上单调递增，则，故， 所以； （ii），，由（i）， 直线的方程为，直线的方程为， 因为，，所以． 令 ∴， ∴，，点的横坐标为定值，设点的坐标， 因为，，， 解得，得出或，所以存在点或满足条件. 6．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】首先根据三角形面积公式确定，【算法一】设直线方程为，联立直线和直线求得点的坐标，思路一，根据求点的坐标，代入椭圆方程，即可求解；思路二，直线与椭圆方程联立，求点的坐标，再根据，即可求解；【算法二】设直线方程为，，后面的过程同【算法一】. 【详解】（1）由题意得：， 所以 所以椭圆方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且为正， 直线方程为， 因为三角形的面积是三角形面积的5倍 ∴ ∵  ∴ 又由题意可知、均在轴右侧，∴ 【算法一】设直线方程为，由，解得 ， 思路一： 所以 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 思路二：由得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 【算法二】设直线方程为， 由，解得， 思路一：． 所以由  得 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即．15分 思路二：得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即 圆锥曲线定点定值问题等综合问题 考点5 一、解答题 1．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆过的点与椭圆的基本性质求解椭圆方程即可. （2）联立方程组得到，利用直线与椭圆的位置关系得到，再结合题意与中点坐标公式得到，最后结合题意求解出参数，得到目标直线方程即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为. （2）如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或. 2．（2026·天津河西·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切，过F作直线l的垂线，垂足为H，线段的长度是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定值为2 【分析】（1）由离心率得，，再待定系数求解即可； （2）根据题意设直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合位置关系得，再求得直线，与直线的方程联立求得，最后计算即可得答案. 【详解】（1）解：因为离心率，所以，，， 所以椭圆的标准方程为， 因为经过点，所以，所以 所以椭圆的标准方程为 （2） 解：因为直线l不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在且不为0， 设不垂直于坐标轴的直线的方程为 所以联立得 因为直线l与椭圆C相切， 所以，即， 因为右焦点为F的坐标为， 所以过F作直线l的垂线的方程为， 因为垂足为H，所以联立，得，即 所以 将代入得， 所以，线段的长度是定值，这个值为2． 3．（2026·天津南开·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据椭圆的定义及勾股定理求出即可得解； （2）假设存在，直线与椭圆方程联立，再由韦达定理及向量的运算求出C点坐标，再由列出方程求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，. 因为，， 所以，因为，所以，， 所以椭圆方程为. （2）设，， 联立方程得， 所以，整理得    ①， 所以，， . 因为上存在点使得四边形为平行四边形， 所以，即， 将代入得， 整理得   ②， 所以 ， 由②知， ， 因为， 所以， 整理得，解得， 由②知，符合①，因为，所以 4．（2026·天津·一模）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上，且，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上（在轴的上方），若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表示出点坐标与直线的斜率后计算即可得； （2）法一：设直线的方程为，联立曲线方程，可用表示出点坐标；思路一：可利用正弦定理及二倍角公式得到或，再分类计算可得，即可得解；思路二：过点作交于点，则可得，即有，再利用两点间距离公式计算即可得解；思路三：利用向量夹角余弦的公式及数量积公式结合两点间距离公式计算即可得解；思路四：利用三角恒等变换，可将转化为，再利用正切定义及两点间距离公式计算即可得解；法二：设直线的方程为，联立曲线方程，可用表示出点坐标，再利用正弦定理及二倍角公式得到或，再分类计算可得，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，点的坐标为， 则，解得， 故椭圆的方程为； （2）法一：由题意可知直线的斜率存在且大于， 设直线的方程为， 由方程组，整理得， ， ，得， 则， 思路一： 在中，， 得， 因为在中，所以或， 若， 即不成立. ， ， ， 所以， 得，因为，所以， 直线的方程为. 思路二： 过点作交于点， 则， 因为，所以， ， ， ， ， ， 解得，因为，所以， 直线的方程为. 思路三： 因为，所以， 则， ， ， ， 即， 解得，因为，所以， 直线的方程为. 思路四： 因为， ， ， 因为，所以， ， 即， 解得，因为，所以， 直线的方程为. 法二：由题意可知直线的斜率存在且大于， 设直线的方程为. 由方程组，整理得， 解得，或，由题意得， 在中，， 得 因为在中，所以， 或，若， 即不成立， ， ， ， 所以， 得，因为，所以， 直线的方程为. 5．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知，，，， 且，，， ，，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，， 设过点的直线方程为，过原点且与直线平行的直线为， 联立可得， 则点的坐标为， 联立可得， 则点的坐标为， 所以，， 由，整理为，解得，（舍）， 即直线的斜率为. （3）由题知，， ， ， 由（2）整理为，解得，（舍）， 所以直线的斜率为. 6．（2026·天津和平·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若点，且点关于轴的对称点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知及椭圆参数关系列方程，解出即可求解； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据题设可得，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故椭圆方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时点关于轴的对称点即为点，显然满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，点，点， 联立，整理得， 则， 而直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意有，即，则， 整理得， 故，解得， 则直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 7．（25-26高三上·天津和平·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆下顶点，为等腰直角三角形，其周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点与椭圆交于点（异于椭圆顶点），线段中点为，射线与直线交于点，点在以为直径的圆上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆的标准方程. （2）直线的方程为，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得到点坐标，再根据直线的方程求出点坐标，利用可求的值，即得直线的方程. 【详解】（1）依题意，解得. 故椭圆方程为. （2）如图： 依题意，直线斜率显然存在，设直线的方程为， 设点，由方程组， 整理得， ，故，有， 即， 故中点， 所以直线方程为，则， 又因为点在以为直径的圆上，故有①， 由代入①式，解得， 故直线的方程为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平面解析几何 考点1 直线方程与圆的方程 2W5 2.(x-62+y2=81 3.4v2 4.1或-1 5.（-2,2 6 (x-1)2+y2=2 7.2 8.2 考点2 双曲线方程及其性质 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 答案 A D A D A B D D 题号 11 12 13 14 答案 D C D A 考点3 抛物线方程及其性质 题号 1 2 答案 A 3.5 1/30 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.2 5.3 6.65 4543 7.3/3 8.3 9.25 考点4 圆锥曲线弦长面积问题 x2 1.(02+2=1 (2)①证明见解析； a,b 【分析】(1)根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程； (2)①直线：y=红+m与圆相切得到-号1+)，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到 xx3+y2=0 即可求证： 1 A=AMIVOR +-2 23 ②利用BMOB2-严√号+片-r .1结合① +号 可得答案. XX2+yy2=0 2/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.2bc=1 ② c 【详解】(1)依题意 a=62+c2’解得 2 a=√2，b=c=1 x2 六椭圆C的方程为2+严=1 （2)①：直线1：=+m与+少-相切， 2 安后。即m+. m y=kx+m 联立 +2=1消去得 x2 y(1+2k2）x2+4x+2m2-2=0 4km 设，B则+号22e号2， 所以O1-0B=西+=+（点+m(c,+m=1+k2)xx+m玉+5+m -1+2)2m2-2 4km 1+2+m1+2 +m2=3m2-22-221+k2)-2k2-2 1+2k2 1+2k2 =0 .OA⊥OB. 4 ②直线I:y=+m与椭圆交于不同的两点A,B,2 +=1,李+=1 2 3/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :Og 21 +2-2 X十 V23 BMOB2-r2 Vx2+y2-r2 1 V2+3 V23_2+3x2 +1 4,又 V23 、的取位范为修 0≤x2≤2元 2.(1)82 (2)(i)证明见解析；(i)2. 【分析】(1)根据点M以及焦点坐标，解方程可求得椭圆C的方程： （2)G)法一：设直线4B的方程为'=c+”,并与椭圆方程联立，结合韦达定理由 kMa+kMB =0 可得直 线B的斜率k= 怯三：改直线的方程为v-1x-2，联立箱圆方程可解得，头之，同理可得 MA 2=8+8k-2 k=y4-yg=kx4+)-4k_1 4k2+1,化简可知直线AB的斜率x-x XA-X8 2: 法三：由：+k=0,可设直线AB为m(-2列+m川y-1=1,m,”不同时为0，联立直线与椭圆方程化简 得4m+)+4(2m+m)k+42n+k=0,可得2m+m=0,即直线AB的斜率为定值2. x4+xg=-2t, (i)设直线4B为y=2+(,联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知x,x,=2-4 法一：易知S.wa=MN,-x=-2°+4，当，=2时，△MAB的面积取最大值2. 4/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24 d= 5 法二：由弦长公式可知 =54-又点M2, 到直线的距离 所以 AB 2 S.MB=√-(-2+4，当2=2时，△MAB的面积取最大值2. x2,y2 【详解】(1)设椭圆C的方程为a+?-(a>6>0) 显然0=v6,a2=b2+c2=b+6 将点M2代入脂西方程云6会1，即6方=1，架码：成3合去) 2 所以深（的方程为后+苦=1。 (2)(i)法一： 设直线AB的方程为y=+t(由对称性知k存在)，如下图： B 联立专苦=1用+4红=：化简a状4m4r-2小-0 -8kt x4+xg=4k2+1 由知 则 42-2, △>08k2-t2+2>0 4g=4k2+1 -+h-1-0-x-2+4-x。-2-0 因为kwM+kMB=0,所以x4-2'xg-2,即（xA-2)(xg-2) 化简得(2-1川2k-1+=0,因为直线4B不过点M(2,1,所以2+11， 5/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故k=2 法二： 设直线M的方程为”-1=(x-2) 联立亏号1，符r4k-2+°-8，化简r+441-2=8 得42+r+81-2x+41-22-8=0 2,则w=41-22-8 由△>0知42+4h+1>0,即≠ 4k2+1, 又w=2,所以x=82-8跳-2 4k2+1, 因为直线 M1,MB与轴围成一个以M为顶点的等腰三角形，所以 a+kyB=0 同理可得。=8+8k-2 4k2+1 16k2-4 由此可知x4+xB= 4k2+1,xA-xB=43 k=4=(4+x-41 则直线AB的斜率xA一xg XA-XB 2, 1 故直线AB的斜率为定值2. 法三： 因为直线 A,MB与'轴围成一个以M为顶点的等腰三角形，所以 kma+kyn =0 因为A,B为椭圆上异于M的两点， 所以可设直线B为mx-2+y-1=1,m”不同时为0， 联立mx-2+my-1=1与8+21， 得(4m+(x-2+42m+(x-2y-1+42m+1(y-2=0 等式两边同时除以(x-2,记k-二) x-2 6/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 化简得4m+)+42m+川k+42n+1)k2=0 由于kMa+kB=0,所以2m+n=0,说明直线AB的斜率为定值2. (i设直线AB为'2x+t 联立y=5x+1与82，得：2+2x+2-4=01 因为△=4-42r-4到>0，所以2<4 x4+xB=-2t, 由韦达定理知x4xg=212-4, 法一： 过点M作x轴的垂线交直线4B于点N,则点N的坐标为21+， S.w-MN-，即Swx,+,P-4, 化简得SwB=V-(2-22+4, t2=2 当且仅当时， △MAB 的面积取最大值2. 法二： 易知=k-5+--54子， d=- M2)到直线 的距离 =5 AB 所以5.B=8d=小V4-i=+4=V-2+4, 当且仅当=2时，△MB t=2 面积取最大值2. 7130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(1)84 20,22 【分析】(1)根据题中条件可得出关于a、b、C的方程组解出这三个量的值，即可得出椭圆C的标准方 程 （2)设点4，)、B,为)，则点D,),分析可知直线B不与x轴重合，设直线B的方程为 x=y+2 ，其中m≠0 ,将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，利用三角 形的面积公式结合不等式的基本性质可求得△OEF面积的取值范围. e=S= 6.1 【详解】(1)由题意可得 a26=1 解得0=2V2 故椭圆的标准方程为 c=√a2-b2 c-2 (2)如下图所示： E 设点4，、8(，则点D),易知点F(20) 若直线AB与x轴重合，则点E与原点O重合，不符合题意， =y+2 根据题意，设直线的方程为 其中m0 [x=my+2 联立x2+2y2=8可得m2+2y2+4my-4=0, 则△=16m+16m+2=32(m2+1>0 8/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由韦达定理可得片+为= 4m 4 m2+2,=- m2+2, 所以-为=V+°-4= 4m2,16 4V2(m2+1可 m2+2m2+2 m2+2 直线n的方程为y-片=+4(x-x), BD x2-x1 在直线B0的方程中，令=0可得=型-@+2县+哪+2丛 x2-x1 m(y-y2) =2my+2(y+ 0, 2myy2+2(y+2) m(y-),即点 m(y-y2), 8m 87m 2my2+2(+2) 22 m2+2m2+2 2W2 m(-y2 4mV2(m2+ Vm2+1’ m2+2 2w2 因为m0,所以m+1>1,故5ae ∈0,2V2 Vm2+1 故a0EF面积的取值范围是(0,22) x2 4①2+2=1 (207-122,) 【分析】(1)由离心率可得a=2b,再由弦长求出a,b即可。 P,Q (2)设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出三角形面积的比，再结合韦达定理求出的纵坐标的比 值即可得解. √a2-b2 【详解】(1)由椭圆C的离心率为2，得a一2，则a=√2b,半焦距c=Va2-b2=b, 9/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又过点F(-60且垂直于'轴的直线x=b被椭圆C:r+2=2 截得的线段长为V反 [x=-b b 2.b 由2+2=2，得，于是235 ,解得b=1, x2 所以稀圆C的标准方程为2*少=1 （2)由D知，F-1,0,1(-5,0,B5,0),直线'不垂直于'轴， 设直线的方程为=-1，P,0(x,h片>0 「x=y-1 2t -1 由2+2y2=2消去x得+2y2-20-1=0,片+%+24+2，乃<0， Sw%(w8w即1=， 2 2 2t2 -412 年是5ge,22 t2+2 ∈(-4,0] SBPF y+=上+业+2 -4<4+业+2≤0凸=1<0 2为片，因此乃片，设八 则4<7+2+2≤0，解得3-22<<-3+22 S@=(2W5-32=7-122,0 于是SBPF 所以△10F与△BPF的面积之比的取值范围是17-12W5, B 10/30