精品解析：重庆市2026届高三下学期二模考试数学试卷

2026届重庆市高三下学期二模考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若 ，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使 ，则. 综上. 2. 已知向量与满足，且，则（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 所以. 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 4. 树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（    ） A. 8种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【详解】4名学生排列总数：， 甲跑第一棒的情况： ， 丁跑第四棒的情况： ， 甲跑第一棒且丁跑第四棒的情况： ， 总顺序数：． 5. 已知中，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为，所以均为锐角， 可得，， 所以， 又因为，所以，所以为直角三角形， 因为，可得， 所以的面积为. 6. 已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，可知等比数列为单调递减数列， 由，要使取得最大值，需满足， 则，即且，即且， 因为，所以当时满足要求. 7. 若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（    ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【详解】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得 ，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得 . 8. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，则， ，所以A错误， 又，则， 所以，所以B正确， 又因为，所以C正确，D错误. 10. 在平面直角坐标系中，经过点的直线交坐标轴于点（可重合），若点满足，记的轨迹为曲线C，则（    ） A. 曲线C的方程是 B. 直线是曲线C的切线 C. 曲线C关于直线 对称 D. 曲线C关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，利用直接法推理计算即得曲线C的方程判断A，将直线方程与曲线方程联立，利用判别式推得当且仅当时直线与曲线相切排除B；利用轴对称与中心对称的判断方法判断CD即可. 【详解】对于A，如图，当不重合时， 设，则过的直线满足， 因点 在直线上，则， 设点坐标为 ，由可知点为的中点， 则， 故点的坐标满足，即，当重合时， 也满足该方程，故A正确； 对于B，由联立消去得， 由， 当时，曲线的轨迹为一个点，不具有切线，所以且 ， 上式两边同除有，即， 因为，所以， 所以仅当直线的方程为时，直线才与相切，故B错误； 对于C，设点满足方程， 因为点关于直线 对称的点也满足方程， 所以曲线关于直线 对称，C正确； 对于D，设点满足方程，则， 把代入中， 可得， 故也满足方程，即曲线关于点对称，故D正确． 11. 已知数列满足，则（    ） A. 存在，使得是常数列 B. 存在，使得是递减的等比数列 C. 不存在，使得是递增的等差数列 D. 存在，使得，且 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特殊值法验证判断选项A：利用等比数列的性质，结合特殊值法验证判断选项B；利用等差数列的性质结合数列递增判断选项C；利用特殊值法结合三角函数的性质判断选项D． 【详解】当或时，是常数列，故A正确； 若是等比数列，则， 即，化简得， 是递减数列，，则， 同理，从而，矛盾，B错误； 若是递增等差数列，则， ， ，，同理， ，矛盾，C正确； 当时，令，其中， 则， 令，则， ，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】由题意复数，则， 故. 13. 已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【解析】 【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数. 【详解】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 14. 已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，得，，从而得，构造函数，利用导数，求出的最大值，即可求解. 【详解】设，由，消得到， 所以，即 ，且， 则以为邻边的平行四边形面积． 令，则， 当时， ，当， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当最大，最大值为，所以的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若曲线关于直线对称，求以及的值域． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的周期公式得解； （2）根据对称性取特殊值求解，再检验得出函数解析式，根据正弦型函数值域求解. 【小问1详解】 因为， （其中） 所以最小正周期 ； 【小问2详解】 因为曲线关于直线对称， 所以，即， 所以，解得， 此时， 当时，，符合题意， 因为，所以． 即的值域为． 16. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，． （1）若是棱 的中点，证明：面 ； （2）若 ，，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1） 设与的交点为，连接 ， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱 的中点，所以， 因为平面 ， 平面 ， 所以平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，根据中位线求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）过作，先证明 平面，再求证 平面，即可以为原点建系，计算两个平面的法向量，根据向量夹角和平面夹角的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，连接， 因为，所以 ， 又 ，且平面，所以 平面， 又 平面，所以， 因为平面，所以 平面， 作，则有 平面，以为原点， 所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为 ，， 所以， 因为，所以，则， 则， 则，， 设平面 的法向量为，则， 取 ，可得平面 的一个法向量为， 设平面 的法向量为，则， 取 ，可得平面 的一个法向量， 设平面 与平面 夹角为，所以， 综上，平面 与平面 夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，若 ，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在 单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为 ，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以 ，则有，所以在单调递减； 【小问2详解】 当时， 等价于 ， 即 ， 令，则， ①若 ，即，则，在上单调递减，所以 ，满足题意； ②若 ，即，令 ，得， 当时， ，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以 ， 令 ， 是减函数， 又 ，所以 ，与条件矛盾， 综上，所以． 18. 小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用． （1）记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望； （2）记第 次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为． （i）求； （ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 【答案】（1） （2）（i）（ii）第3次 【解析】 【分析】（1）根据的可能取值求出对应的概率，再由数学期望公式计算； （2）（i）记事件，，，分析在不同抽取次数下各事件发生的情况，分别考虑时一次性电池恰好使用完毕的概率，利用全概率公式求出的表达式，借助于等比数列求和公式计算即得；（ii）在（i）求得的基础上，利用作差比较法判断其增减性即得结果. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2， 所以， ， 所以； 【小问2详解】 （i）记事件：第一次取到一次性电池，事件：取到可充电电池，事件：第二次取到一次性电池， 由条件，假设第次抽取时，事件发生，概率，第 次抽取时，事件发生，概率， 在事件前面每次发生事件的概率为，后面每次发生事件的概率为，则有 抽取次数 1 2 ．．． ．．． 事件 ．．． ．．． 所以 即 （ii）令， 即，所以， 所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 【点睛】关键点点睛：在求解的表达式时，关键在于弄清在时一次性电池恰好使用完毕的概率，再求和. 19. 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． （1）求的离心率； （2）已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于 的一个定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由题意，椭圆方程为 ， 设的左焦点为， 直线的方程为，所以， 线段 的垂直平分线方程为，此直线与轴相交于点， 的外接圆方程为⑥， 将代入方程⑥，得⑦，因为点在椭圆上，所以⑦恒成立， 即四点始终在同一个圆上，故的外接圆过点． 【解析】 【分析】（1）由已知可求得，进而可求离心率； （2）（i）设，且，代入计算可得，进而得点的轨迹方程； （ii）设的左焦点为，计算可求得，计算可得四点始终在同一个圆上，进而可得结论. 【小问1详解】 由条件知，且，所以， 所以的离心率； 【小问2详解】 （i）以为直径的圆：，设， 由题意设①， 且有②，③， 将①代入②有，即④， ①代入③有，即⑤， 联立④⑤有，即点的轨迹方程为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市高三下学期二模考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若 ，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知向量与满足，且，则（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 4. 树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（    ） A. 8种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知中，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（    ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，经过点的直线交坐标轴于点（可重合），若点满足，记的轨迹为曲线C，则（    ） A. 曲线C的方程是 B. 直线是曲线C的切线 C. 曲线C关于直线 对称 D. 曲线C关于点对称 11. 已知数列满足，则（    ） A. 存在，使得是常数列 B. 存在，使得是递减的等比数列 C. 不存在，使得是递增的等差数列 D. 存在，使得，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 14. 已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若曲线关于直线对称，求以及的值域． 16. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，． （1）若是棱的中点，证明：面 ； （2）若 ，，求平面 与平面 夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，若 ，求实数的取值范围． 18. 小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用． （1）记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望； （2）记第 次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为． （i）求； （ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 19. 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． （1）求的离心率； （2）已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $