精品解析：江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件.（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 函数的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 5. 在边长为3的等边三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 8. 如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若是等边三角形，则 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 是函数图象的一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则的值为_____. 13. 已知，则_____________． 14. 点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）证明：； （2）若，边上中点为D，求的值. 16. 已知 （1）求的值； （2）已知，，，求的值. 17. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围； （3）若，求的最大值及对应的. 18. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 19. 设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量. （1）设函数求函数的友好向量； （2）若向量的友好函数在处取得最大值，求； （3）设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可. 【详解】在中，由正弦定理： ，即，解得：. 故选：B 2. 计算的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 . 3. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件.（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】若，则，则角为锐角，但不能说明角也是锐角，所以不能推出为锐角三角形， 反过来，若为锐角三角形，则角是锐角，则，即， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 4. 函数的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用二倍角公式化简即可. 【详解】，所以. 5. 在边长为3的等边三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的数量积计算． 【详解】， ． 故选：C． 6. 若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大边对大角，只需边长对应的角为锐角，由余弦定理即可求出. 【详解】因为三角形是锐角三角形,所以最大边长对应的角为锐角，设该角为, 所以,即,解得或（舍去）. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，，得 . . . 8. 如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值 【详解】如图可知x，y均为正，设， 共线， ， ， 则， ， 则的最小值为，故选D. 【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则，故A正确； 对于B，在平行四边形中，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在平行四边形中，， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若是等边三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据是锐角三角形，得，再根据正弦函数的单调性可得，可得A正确； 对于B、C、D分别根据余弦定理角化边，可判断B、C、D. 【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，即，故A正确； 对于B，由及余弦定理，可得，化简得，得或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由及余弦定理得 化简得，所以等腰三角形，故C正确； 对于D，由是等边三角形，所以，，所以，所以，故D正确． 故选：ACD 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 是函数图象的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换的公式化简，然后再逐项进行分析即可. 【详解】因为， 所以， 所以， A．，故正确； B．因为，所以， 由在上单调递减可知在上单调递减，故正确； C．函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍， 得到函数，不是，故错误； D．令，所以， 当时，，所以是函数图象的一个对称中心，故正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则的值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】已知，， 因此： ， 由题意 ， 即 ，  解得. 13. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式求解即可． 【详解】 故答案为： 14. 点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点平面直角建立坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示得出所求表达式，再配方求最值即可． 【详解】如图，以为原点平面直角建立坐标系， 则，设， ， 则当时，取得最小值，最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）证明：； （2）若，边上中点为D，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，求得角，即可证明； （2）根据（1）的结果，再结合，再根据余弦定理求和，再根据余弦定理求的值. 【小问1详解】 由正弦定理可知，， 即，则（舍）或， 又，所以，即； 【小问2详解】 由条件可知， ，且， 中，，即， 中，. 16. 已知 （1）求的值； （2）已知，，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先化简，算出，即可齐次化求解. （2）先求出，进而求出，再通过即可求解. 【详解】（1）由已知得，所以 （2）由，可得， 则 因为，所以，又，则 因为，，则，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是缩小角的范围，要注意和一些特殊角的三角函数值比较大小，从而缩小角的范围. 17. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围； （3）若，求的最大值及对应的. 【答案】（1） （2） （3），对应. 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式求解即可. （2）把与的夹角为锐角，转化为数量积大于0，再结合角的范围求解即可. （3）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值． 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以，即. 因为，所以. 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线. 化简得. 因，故，时，. 由（1）知共线时，需舍去. 故的取值范围为. 【小问3详解】 . 因，故，的最大值为， 此时，的最大值为. 故最大值为，对应. 18. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）不是定值，取值范围为. 【解析】 【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值； （2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值； （3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围. 【小问1详解】 因为，，所以, 又因为，所以，，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 在菱形中，，所以，所以 【小问3详解】 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由菱形边长为，，得，，，， 因为，易得，由可得， 在线段上，则 ，. ，，所以，又， 所以，又因为，所以. 故不是定值，取值范围为 . 19. 设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量. （1）设函数求函数的友好向量； （2）若向量的友好函数在处取得最大值，求； （3）设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式对展开，结合题目中的定义即可得解； （2）利用辅助角公式及正弦函数图象求出，再利用倍角公式即可求出答案； （3）将方程化为，令，作出的图象，数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以函数的友好向量为. 【小问2详解】 向量的友好函数为（其中）， 函数在处取得最大值，即， 所以， 则. 【小问3详解】 由题意，向量的友好函数， 方程为， 则方程有四个实数解， 所以有四个实数解， 令， ①当， ②当， 据此作出的图象： 由图可知，当时，函数与有四个交点，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $