精品解析：湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高一下学期4月份检测数学试卷

邵阳市第二中学2026年上学期高一4月份阶段检测数学试题 测试时间：120min 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再求模长即可. 【详解】， 所以． 故选：D. 2. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 3. 已知向量，下列选项正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为6 D. 若与垂直，则 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量平行垂直的坐标结论，结合模长公式计算判断即可. 【详解】对于A选项，若，已知， 有，即，所以，A选项错误. 对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，. ，则. 又因为，联立方程组，解得，B选项错误. 对于C选项，先求的坐标，. 则. 展开整理得. 其最小值为.所以的最小值为，C选项错误. 对于D选项，若与垂直，则，. 因，，则. 则，D选项正确. 故选：D. 4. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 5. 在中，，若解三角形时有两解，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据三角形有两个解的条件列式即可求得x的取值范围. 【详解】根据题意作图，如下图所示 当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置， 由图可知，两种临界条件分别为： （1）圆与c边所在直线相切，此时，三角形只有一个解， 此时根据正弦定理，，可得； （2）圆过B时，，三角形只有一个解，此时； 所以当时，三角形有两个解， 所以x的取值范围为. 故选：C. 6. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得， 故选：A 7. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 8. 边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知向量等式变形可得取AB中点H，BC中点G，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使，则O 为所求点，然后求解三角形得答案． 【详解】如图，由，得， 即，取BC中点G，AB中点H，连接GH， 则，即， 取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点， 此时， 所以，， ∵点P满足，M为边上的点， ∴当M与A重合时，有最大值，为， 而， ∴的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（     ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，则是等边三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由锐角三角形得，再结合三角函数性质即可计算判断；对于B，由已知条件结合余弦定理即可计算得，从而由题设可得；对于C，由题设结合余弦定理可得即可判断；对于D，根据余弦定理建立关于a的方程并求出a，再由面积求出面积即可判断. 【详解】对于A，若为锐角三角形，则， 所以，所以即，故A正确； 对于B，若，， 则，所以， 所以，所以，所以即， 所以，即是等边三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 若，则，即是等腰三角形，故C正确； 对于D，因为为钝角三角形，且，，， 所以， 所以由余弦定理得即， 整理得，解得或， 当时，，故A为钝角，满足题意； 当时，，故B为钝角，满足题意， 的面积为或.故D错误. 故选：ABC. 10. 如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，，过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则（ ） A. B. C. D. 的最小值为2. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A，B，C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A，B，C，因，依题意，代入， 得，因为三点共线，且三点共线， 所以，得，所以A对，B错； 由可得， 故， 故C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， 由， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的递推关系推导出函数的奇偶性、周期性、对称性，然后逐项进行分析推导求值即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 则，所以. 选项A，当时，，又因为，所以， 由，得，所以，故A错误； 选项B，由，得， 两式相加得， 化简得，即， 又因为，所以， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 选项C，由B知，，即，所以， 所以，故是以6为一个周期的周期函数， 所以，故C正确； 选项D，由B知，，所以，， ， 所以， 由A知，，. 由得，，所以. 所以. 则 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】，， ，， 在方向上的投影向量坐标为：． 13. 已知函数在区间上单调递增，则取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】， 在区间上单调递增， ，解得， 区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间可以覆盖该区间， ，解得， 又， ． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性及值域得到三个单位向量数量积的值或范围，并用坐标表示三个向量，由三角恒等变换和三角函数图象求出取值范围 【详解】当时，，故， 因为是定义在上的奇函数，所以，故，， 当时，，故， 又，故，， 又， 所以， ，， 故，，，故，，， 不妨设，， 由得，由得， 又，故，解得， 故，结合，可得， ， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得，然后利用齐次式即可求值； （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积小于0且不共线，代入坐标计算即可. 【小问1详解】 因为，，且，所以. 因为，所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以，. 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得. 又，即， 所以的取值范围是. 16. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米. （2）平方米. （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. 【小问3详解】 在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18. 如图，中，，为的中点，设与相交于点． （1）若，求的值； （2）求； （3）设动点在线段上（包含端点），求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）表达出，根据三点共线，得到，求出； （2）根据题意进行向量的运算，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. （3）建系，根据的直线方程（一次函数），求出  ，结合二次函数值域求解即可. 【小问1详解】 ， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； 【小问2详解】 设，，N为的中点， 故，， 故 又，，，故， ， ， ， 则. 【小问3详解】 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系， 设，在线段上，方程即为的方程， 设方程为，而直线过点，， 代入直线方程即可解出，故的方程为， 由（1）知，结合可知，而位于线段上，故，  ，，故 ， 而，故，所以 ​  ，而是开口向上的二次函数，对称轴 最小值在对称轴处取到，为， 最大值在端点处取到，为， 故的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若对任意，当时，都有，求实数a的取值范围； （3）设，对任意正整数s，在区间上存在个实数，使，求k的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意结合对数函数性质可得，运算求解即可； （2）根据对数的真数大于0可得，根据题意结合单调性可得，换元结合对勾函数单调性运算求解即可； （3）分析可知，结合单调性分析在内的最值，进而可得，分析求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 若，则， 不等式即为，可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为函数，且，则， 由题意可知：对任意恒成立， 则，可得， 因为在定义域内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减， 则在内的最小值为，最大值为， 若对任意，当时，都有， 则， 可得，整理可得， 令，则，， 可得， 因为在内单调递增，则在内单调递增， 则在内的最大值为，则， 综上所述：实数a的取值范围为. 【小问3详解】 若，则， 因为，且在内单调递增，则， 对任意，则， 因为在定义域内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减， 则在内的最大值为，最小值为， 若，则， 且，即， 结合的任意性可得：，且， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述：k的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市第二中学2026年上学期高一4月份阶段检测数学试题 测试时间：120min 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 3. 已知向量，下列选项正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为6 D. 若与垂直，则 4. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，若解三角形时有两解，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（     ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，则是等边三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为 10. 如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，，过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则（ ） A. B. C. D. 的最小值为2. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量坐标为______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则取值范围为______． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 如图，中，，为的中点，设与相交于点． （1）若，求的值； （2）求； （3）设动点在线段上（包含端点），求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若对任意，当时，都有，求实数a的取值范围； （3）设，对任意正整数s，在区间上存在个实数，使，求k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $