精品解析：河北省名校联盟2024届高三下学期质量检测数学试题

2024届河北省名校联盟高三质量检测 数学 限时120分钟 满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线过点，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入所过的点可求的值，从而可求焦点坐标. 【详解】因为抛物线过点，所以，故， 故，故焦点坐标为， 故选：C. 2. 养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速．如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图： 则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（ ） A. 45 B. 60 C. 80 D. 85 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将样本数据从小到大排列为44，45，60，60，80，85，110． 因为，所以第60百分位数是第5个数，即80， 故选：C 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 25 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，借助二项展开式通项得的展开式为，分析求解． 【详解】∵ 的展开式为， 令，得，则， 令，得，则， 令，得， ∴的展开式中的系数为. 故选：A． 4. 过点与圆相切的两条直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，点到圆心的距离是半径的倍，列方程求解即可. 【详解】圆化为标准方程为， 圆心坐标为，半径， 过点与圆相切的两条直线垂直，则点到圆心的距离为， 即，解得. 故选：D. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】，， 由于为等差数列，所以， 所以 ，也符合， 所以， 所以数列的前项和为. 故选：D 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的斜率得和，由得和，中，由余弦定理列方程求椭圆的离心率. 【详解】由题知在轴上方，直线的斜率为，则，． 由，，得， 所以由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理得， 整理得，得，即， 解得或， 故椭圆的离心率为或． 故选：C. 7. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化切为弦，结合，得到，因为，所以，故，求出. 【详解】， 即， 故， 所以， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 故，解得. 故选：C 8. 定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（ ） A. 6 B. 12 C. 14 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：D． 【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数， ()(为虚数单位)，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限 C. D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可. 【详解】对于A：，所以的虚部为，A错误； 对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确； 对于C：，，所以，C正确； 对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D错误， 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是的图象的一条对称轴 C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D. 在内恰有3个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得，化简函数，由二倍角公式判断A，用代入法计算判断B，由图象平移变换判断C，直接解方程判断D． 【详解】角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， ， ， 对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为，故C错误； 对于D：令，得 解得，仅，即符合题意， 即在内恰有两个零点，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故. 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面，A正确； B选项，取的中点，连接， 因为M，N，P分别是棱，，的中点， 所以，又， 所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形， 其中边长为，故面积为，B正确； C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为， 又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点Q的轨迹， 其中，由对称性可知，， 故半径， 故点Q的轨迹长度为，C错误； D选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点， 所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称， 不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值， 该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切， 由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为， ，故，即，解得， 故球的半径的最大值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，分别求得和，再结合，列出方程，即可求解. 【详解】由不等式，解得，所以， 又由，可得，所以，所以， 因为，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知圆柱的底面周长为，高为15，为线段上一点，现从该圆柱中挖去一个顶点为、底面为圆柱的上底面、母线长为10的圆锥，则剩余几何体的体积为______，表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出圆柱、圆锥的体积，相减得剩余几何体的体积；求出圆柱的侧面积和底面积、圆锥的侧面积，相加得剩余几何体的表面积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则，得，所以圆锥的高为， 圆柱的体积为，圆锥的体积为， 则剩余几何体的体积为． 圆柱的侧面积，底面积，圆锥的侧面积， 则剩余几何体的表面积． 故答案为：；. 14. 设为实数中最大的数．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的斜率为1，求该切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）在上单调递增 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数，分、及讨论即可得. 【小问1详解】 由题意知，，则． 因为曲线在处的切线的斜率为1， 所以，即，即， 所以或， 因此，，， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，， 若，则，在上单调递增， 若，则当时，，， 于是，，， 即，在上单调递增， 若，则当时，，， 于是，，， 即在上单调递增， 因此，函数在上单调递增． 16. 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. （1）求，，. （2）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式. 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据当小球三次碰撞均向左偏或均向右偏时能落入B袋，分别计算出落入B袋和A袋的概率，进而求得； （2）根据游戏过程中累计得n分的两种情况可得，进而得到为常数列，从而得到与之间的递推关系，根据递推关系即可得到通项公式. 【小问1详解】 小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率， 小球落入袋中的概率. 故，，. 【小问2详解】 游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分， 故 ， 故为常数数列且，故即. ， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 所以的通项公式为. 17. 如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． （1）在三棱锥中，证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：由，得，且为的中点， 所以， 取中点为，连接，， 可得， 在中，， 在中，， 所以， 所以 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）构造线面垂直再证线线垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，交于点， 以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系． 则，，，， 在中，可得点到距离为， 故可得， ，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 平面与平面的夹角为， 由,取， 所以， 由,取， 所以， 所以 所以两平面的夹角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为分别为双曲线的左、右顶点，过的直线与的右支相交于点． （1）若直线分别与线段的垂直平分线相交于点，求的值． （2）当直线任意旋转时，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）0 （2）是定值，定值为2 【解析】 【分析】（1）根据题意设直线的方程，，设，联立方程组，再求出的坐标，利用数量积的坐标运算化简求值； （2）当直线的斜率不存在时，，则，当直线的斜率存在时，不妨设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，假设成立，证明假设成立，从而得解. 【小问1详解】 由题意，得， 所以线段的垂直平分线的方程为， 设直线的方程，，设， 由消去，可得． 则， ， ， 直线的方程为， 令，则，故， 同理可得． 则 ． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，， 对于，令，解得， 则，又，故， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，． 假设成立， 即， 则一定有， 即， 由，，， 得． 故假设成立，即成立． 综上所述，为定值，且定值为2． 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线中定值问题的常用方法：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，如本题第（2）问． 19. 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． （1）对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． （2）设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． （3）在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合“变换”，逐次计算，得出规律，即可求解； （2）由变换得到或，分类讨论，求得的值，即可求解； （3）有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到有序数对也是形如的有序数对，得出有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12，进而得出变换的规律，即可求解. 【小问1详解】 解：对于有序数对， 不断进行“变换”：，，， 得到的有序数对分别为，，，，， 以下重复出现，所以不能得到有序数对． 【小问2详解】 解：由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为2024，且，所以，， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，． 【小问3详解】 解：有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为，， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以的最小值为505． 【点睛】方法点睛：对于的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届河北省名校联盟高三质量检测 数学 限时120分钟 满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线过点，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速．如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图： 则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（ ） A. 45 B. 60 C. 80 D. 85 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 25 C. D. 5 4. 过点与圆相切的两条直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（ ） A. 6 B. 12 C. 14 D. 10 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数， ()(为虚数单位)，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限 C. D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是的图象的一条对称轴 C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D. 在内恰有3个零点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则实数的值为______． 13. 已知圆柱的底面周长为，高为15，为线段上一点，现从该圆柱中挖去一个顶点为、底面为圆柱的上底面、母线长为10的圆锥，则剩余几何体的体积为______，表面积为______． 14. 设为实数中最大的数．若，，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的斜率为1，求该切线方程； （2）讨论函数的单调性． 16. 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. （1）求，，. （2）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式. 17. 如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． （1）在三棱锥中，证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为分别为双曲线的左、右顶点，过的直线与的右支相交于点． （1）若直线分别与线段的垂直平分线相交于点，求的值． （2）当直线任意旋转时，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． （1）对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． （2）设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． （3）在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $