28.1 第3课时 特殊角的三角函数值（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，通过“知识链接”回顾互余角三角函数关系，搭建学习支架，引导学生从已有知识过渡到自主推导特殊角函数值。 以合作探究为核心，让学生借助三角尺自主推导函数值，培养抽象能力与几何直观，分层设计典例、练一练及当堂检测，涵盖计算、角度求解与综合应用，提升推理能力与运算能力，发展应用意识。

第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数值 学习目标： 1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. 重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. 自主学习 1、 知识链接 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°，则sin A cos B，cos A sin B，tan A · tan B = . 合作探究 1、 要点探究 探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值 合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 【归纳总结】 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【典例精析】 例1 求下列各式的值： （1）cos260°+（sin60°）2； （2） 提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°). 练一练 计算： (1) sin30°+ cos45°； (2) （sin30°）2+ (cos30°)2－tan45°. 探究点2：通过三角函数值求角度 例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB =，BC =，求 ∠A 的度数； (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =OB，求 α 的度数. 练一练 求满足下列条件的锐角 α . (1) 2sin α－= 0； (2) tan α－1 = 0. 例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－|＝0，试判断 △ABC 的形状． 练一练 1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tan B－| ＋ (2 sin A－)2 ＝0，求∠A，∠B的度数. 2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)的值． 二、课堂小结 当堂检测 1. tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A.40° B.30° C.20° D. 10° 2. 已知∠A为锐角， sin A =，则下列正确的是 ( ) A.cos A = B.cos A = C. tan A =1 D.tan A = 3. 在 △ABC 中，若，则∠C = . 4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为_______. 5.求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) ； (4) 6.如图，在△ABC中，∠A=30°， ，求 AB的长度. 参考答案 自主学习 一、知识链接 = = 1 课堂探究 一、要点探究 探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值 合作探究 解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长 = ∴ ∴ 设含45°角的三角尺的两条直角边长为 a，则斜边长= ∴ 【典例精析】 例1 解：（1）cos260°+（sin60°）2 （2） 练一练 解：（1）原式 = （2）原式 = 探究点2：通过三角函数值求角度 例2 解：（1）在图中，∴∴∠A=45°. （2）在图中，∵ tan α =∴ α = 60°. 练一练 解：（1）sin α =，∴ α = 60°.（2）tan α =1，∴ α = 45°. 例3 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－|＝0，∴ tan A＝1，sin B＝． ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形． 练一练 1.解：∵| tan B－| ＋ (2 sin A－)2 ＝0， ∴ tan B＝，sin A＝， ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°. 2. 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ α为锐角，tan α ＞0，∴ tan α =1.∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α－tan(α+15°)=2sin245°+cos245°tan60° 当堂检测 1. D 2.B 3.120° 4. 5.解：(1) (2) (3)2 (4) 6. 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵∠A=30°， ， ∴∴ ∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5. 学科网（北京）股份有限公司 $