28.2 解直角三角形及其应用-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

第2课时 余弦和正切 1.C 2.A 3.B 4.1 5.B 6.A 7.C 4. A 5. C 6. 30{*7.30{* 8. C 9. B 10. B B.解..'C=90*.AC-3,BC-4. $AB= AC+BC= +4- 13.解;如图,过点A作AC |:轴于点C,过点B作BE1:轴 于点E. 9.2或} 10.B11.C 12.3 13.2 'OA与:轴正半轴的夹角为30{,OA _6. 14.解:如图所示,过点B作BHICD于A $AC-3,0C-3v3.B0E-60 点H. :BC-BD-1.CBD-90{. 心点A的坐标为(33,3). “AB-10. A0B-90*. *.CD=BC+BD-2. .OB-8. '.OE-4,BE-43. :AC//BD...△APC△BPD .点B的坐标为(-4.43). 14.解:(1)'cos(a+g-cosacos}-sinasin. P_ '.cos75'-cos(30”+45°)-cos30'cos45'-sin30'sin45* .cP-3cD-32..PH-cP-CH-2 ##### BP-VPH+BH10 (2)1ta_. #0_ 2+ -2+3 (3)如图. 15.解;小观、小武的说法都正确,理由如下: 设BC-a,则AC-3a,AD=AB-2a. .tan75-tancBD-D_3a+2a_3+2. 取点M,N.如图. BC B -2; -- B 在Rt△CND中,tanCDN= 28.2 解直角三角形及其应用 -2. 28.2.1 解直角三角形 .CDN- BAM 1.D2.60* .ABM+ BAM-90”. '. ABM+CDN-90. 3.解:根据题意,得AB=BC+AC-12+(4③) .BED-90*. 144+48-83. tanA--2. ·.AB|CD.故小观的说法正确 AC43 ·根据题意可知,AC/BM. '.CDN-ACE,即tan CDN-tan ACE=2, '乙A-60”: '$ B-90*- A-90-60-30 4.C 5.D 6.7.5 '.AE一2CE.故小武的说法正确. 7.解:. ACB-90$CD |AB 第3课时 特殊角的三角函数值 ._CDB-/ACB. 1.B 2.D .乙B= B. 3.解:(1)原式-2×是+2、+4 '.△BDCo△BCA. 0 -1-3+23+4 '*.BC=BD·BA.即BC=(AB-AD)·AB -5+3. .(4③):-(AB-6③)·AB. (2)原式-1+2×是-+高-1+. 解得AB一8/3(负值已舍去). (3)原武-#()+\③×# : ' A-30. B-90- A-60”。 3#+#- 下册 参考答案 $AC=AB·cosA=83 cos30”-8/③-12. .20m/s<22m/s. &.小汽车从点A行驶到点B没有超速 8.23# 9.A 10.22T 11.2/② 8.解:(1)由题意,得DE)EC. 在 Rt△DEC中,CD=6m, DCE=30*$ 12.解:如图,过点D作DEIAB于点E. $.DE-CD=3m,即DE的长为3m. 则乙AED-90{,四边形BCDE是矩形. '.BE-CD-4m. (2)①由题意,得BA|EA. .$AE-AB-BE-11-4-7(m). 在 Rt△DEC中,DE=3m. DCE=30, '$CF-3DF-33m A Bh............ 在R△ABC中,AB=hm. BCA-45 . ..AD-2AE-2X7-14(m). *.AD+CD-14+4-18(m). 故管道A-D-C的总长为18m. '.线段EA的长为(33十h)m. 13.解;(1)在Rt△ABC中.'ABC=90 ②过点D作DF1AB,垂足为F,如图. 'AC-15.BC-AC-AB-12 在R△BCD中:'/BCD=90{. #.n C1 ..CD=5.即边CD的长是5. (2): ABC+ BCD=180”.*$AB/CD. 由题意,得DF=EA-(33+h)m,DE-FA-3m. .△CED△AEB. 'AB-hm,$BF=AB-AF-(h-3)m, 1 在Rt△BDF中,BDF=27”, 如图,过点E作EF |BC于点F,则EF '.BF-DF·tan27*-0.5(33+h)m. /AB. $-3=0.5(3 ③+h),解得h=3/3+6~11.'AB~11m. .△CEF△CAB. :.塔AB的高度约为11m. (# 第2课时 利用方向角、坡度解直角三角形 1.B 2.A 3.2.8 4.B _ 5.解:如图,过点C作CF)DE,交ED的延长线 -BnC·FEFr-×12x45-15. 于点F。 .Sr- ·斜坡CD的坡度为1:2.CD-3/5. 28.2.2 应用举例 ..CF+(2CF)-CD=(3/5). 第1课时 利用俯角、仰角解直角三角形 '.CF=3...DF-6. 1.B 2.10 3.(153+1) 4.1314 .AC+DF+DE-5+6+5-16. 5.解:过点E作EPIAB于点P,如图. 延长BA交ED的延长线于点G. *.BG-16×tan53~21.3. *AB-BG-3-21.3-3-18.3. 乙-45{,EP-BF-5. 故旗杆AB的高度约为18.3m. 'AP-EP.tan=5Xtan45*-5. 6.C 7.2②9 8.96 9.20.62 10.解:(1)如图,过点B作BH1AC于点H.由题意,得AB= 12nmile,AC-103nmile.BAC-90*-60-30” $PB-EP·tan60*=5X3-53. '.AB-AP+BP=(5+53)m 6.17 -6/3nmile. 7.解:(1)由题意,得 CAD=25 , EBF=60{,$CE-DF= '.CH-AC-AH-43nmile. 750m. '.BC-BH+CH-221nmile. 在Rt△ACD中,AD-14m. 即点B到点C之间的距离为2②Tnmile. '.CD-AD·tan25*~14×0.5-7(m). 行## 在Rt△BEF中,EF-CD-7m. *.AB=AD+DF-BF-14+750-4.1~760(m) (2)如图,过点C作CMIBE于点M,过点D作DN 1BE .A,B两点之间的距离约为760m. 于点N,则CM-AC=5V3nmile,四边形CMND是 (2)小汽车从点A行驶到点B没有超速 理由:由题意,得760-38-20(m/s). 矩形, 数学 九年级阳J版 '.DN-CM=53nmile .BDCD-25. DN 在Rt△BDN 中,sin DBN=sin37*= BD= toan7-_N~. ·BE ICE.'在Rt△CBE中.cosBCE= 20 解得BD-253 nmile.B203 nmile. 3 .我方军舰到达点D的时间为253-20~0.71(h). n_D 在Rt△CBM中,BM=BC-CM=3nmile,则CD= 12.解:(1)证明:' AED= B+ BAD, AED= B MN-203-3~8.33(n mile). +乙BDE. .BAD-/BDE. &.可疑船只到达点D的时间为8.33-10-0.833(h) ..ABD- DBE. ·0.71<0.833. .△ABD△DBE. &.我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截 (2)证明:. AED= B十 BAD,ADC=B$ 本章小结 十乙BAD, 1.C2.3.4.# .AED-ADC. :/ADE-/ACB-90*. .△ACDo/ADE. .AC_ :EGP- B- EPF-90*。 -A1 “. GEP+ GPE=90*, BPF+ .AD-AC.AE 乙GPE-90*. (3):△ACD△ADE .BPF- GEP. '. CAD= DAE. BAD= BDE,.CAD= DAE- BDE. .AC-6,tan BDE- _ △ABD△DBE 6.C 设AB-2r,则BD-x. .BC-r十3. _ '.AC+BC-AB,即6+(3+-)=(2)*. 解得x-5(负值已舍去),即BD-5. 13.42 (2)原式=()-+3 -3-2+2 '.BE-AB·sin58*~3X0. 85-2.55(m). (2):' tana-tan37*-BF _~2 OE-BE -3.4(m). '.AE-AB·cos58*~3X0.53-1.59(m). =2+23. *.OA-OE-AE-1.81m. 15.解.(1)如图①,过点A作AM1BC于点M ·OA-BD-40cm,OD-120 cm. 11.解:(1).在Rt△ABC中,ACB=90*,AC=15 co1) *.AD-OD-OA-80 cm. 15 .·BD-40cm. .AB-25. .AB-OD-120 cm. $BC-AB-AC-25-15-2 0. 在Rt△ABM中,AM-AB·sin ABC-AB 'D是Ri△ABC的斜边AB的中点v.CD-AB-25. .sin75~116cm. 故支架顶点A到地面BC的距离约为 图① (2)D是R△ABC的斜边AB的中点 116em. 下册参考答案28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 要点提示 1.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形， 2.如右图，在R1△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,C,则有(1)三边之间的 关系：+b=2(勾股定理)：(2)两锐角之间的关系：∠A十∠B=90°：(3)边角之间的关系： .cosA=b sinA=a an=8 O1因基础念 5.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6, 知识点1已知两边解直角三角函数 S咖∠DAC=5则边AB的长为 () 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√/5，AC= A.22B.42 C.35D.62 √T,则AB的长度为 6.在△ABC中，已知AB=5,BC=6,∠B A.16 B.8 C.42 D.4 30°，那么S△C的值为 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3, 知识点3锐角三角函数的综合运用 AB=2,则∠A的度数为 7.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD ⊥AB于点D,AD=63,BC=43,写出解 Rt△ABC的过程. 第2题图 第5题图 3.(教材第73页例1变式)在Rt△ABC中 ∠C=90°，BC=12,AC=43.求∠A,∠B 的度数及AB的长. 知识点2已知一边及一锐角（或锐角三角函 数值)解直角三角函数 4.在Rt△ABC中，∠C=90°.如果∠A=40° AC=b,那么BC等于 () A.bsin40 B.bcos40 C.btan40 D.bcot40 下册第二十八章 43 ◆易错点设有分类讨论等腰三角形的底 边和腰而出错 8.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作 cotA.若等腰三角形中有两条边长为4和 6,则底角的余切值为 02提能力 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，tanA=2, 直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB, AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别 。。 之O3拓思维 。 为15,12,0,1，则直尺宽BD的长为() 13.如下图，在Rt△ABC和Rt△BCD中， A.1cm B.1.5 cm ∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于 C.2cm D.2.5 cm 点E.AB=9.cos∠BAC-3ian∠DBC= D 2求： (1)边CD的长： 第9题图 第10题图 (2)△BCE的面积. 10.如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB 60°，∠B=∠D=90°，BC=1,CD=2,则对 角线AC的长为 11.(2024宝鸡扶风期末)如图，在△ABC中， AB=3,inB=号，∠C=45°，则AC的长为 第11题图 12.新趋梦·真实情境如下图，某工厂为了提 升生产过程中所产生废气的净化效率，需在 气体净化设备上增加一条管道A-D-C.已 知DC⊥BC,AB⊥BC,∠A=60°，AB 11m,CD=4m,求管道A-D-C的总长. 数学九年级R版 28.2.2应用举例 第1课时利用俯角、仰角解直角三角形 要点提示 1.仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角。 2.俯角：视线在水平线下方的是倍角， O1固基础● 知识点1①一般的实际问题 30y兴45 1.(教材第84页题10变式)如图，梯子AB斜 第3题图 第4题留 靠在墙上，端点A离地面的高度AC为1m, 4.如图，某校数学小组采用无人机辅助的方法测 ∠ABC=45°.当梯子底端点B水平向左移 量某大桥的长度.测量过程中，小组成员遥控 动到点B',端点A沿墙竖直向上移动到点 无人机飞到大桥AB的上方481m的点C处悬 A'时，设∠A'BC=a,则AA'的长为( 停，此时测得桥上A,B两处的俯角分别为30 A.√2 sina m B.(√/2sina-1)m 和45°，则大桥AB的长度约为 m C.(/2cosa-1)m D.(√2tana-1)m (结果保留整数，参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732. 5.(2024宝鸡扶风期末)数学实践课上，同学们 分组测量教学楼前国旗杆的高度.小明同学 C B'B 所在的组先设计了测量方案，然后开始测量 第】题图 第2题困 了，他们全组分成两个测量队，分别负责室 2.新趋势·真实情境如图，一条细绳系着一 内测量和室外测量（如下图）.室内测量组来 个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O 到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A 到球心的长度为50cm,小球在左右两个最 的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角B为 高位置时，相应的细绳所成的角为74°，那么 60°，室外测量组测得BF的长度为5m.求 小球在最高和最低位置时的高度差为 旗杆AB的高度. cm(参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 知识点2仰角、俯角问题 3.某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如 图，他们在建筑物前的平地上选择一个点 A,在点A和建筑物之间选择一个点B,测 得AB=30m.用高1m(AC=1m)的测角仪 在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在 B处测得仰角为60°，则该建筑物的高为 m. 下册第二十八章 02提能力 (2)若该隧道限速22m/s,则小汽车从点A 行驶到点B是否超速？通过计算说明理由 6.(2024盐城)如图，小明用 P 37 456 无人机测量教学楼的高度， 将无人机垂直上升距地面 30m的点P处，测得教学 第6题图 楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教 O3拓思维念…… 学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得 8.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的 教学楼页端点B的俯角为45°，则教学楼AB 高度.如下图，塔AB前有一座高为DE的观 的高度约为 m(结果精确到1m, 景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C, 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， A在同一条水平直线上.某学习小组在观景 tan37°≈0.75). 台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景 7.(2024济南历下区模拟)高速公路管理局在 台D处测得塔顶部B的仰角为27. 某隧道内安装了测速仪，如下图所示的是该 (1)求DE的长： 段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E (2)设塔AB的高度为hm. 到路面之间的距离CD=EF,测速仪C和E ①用含有h的式子表示线段EA的长（结果 之间的距离CE=750m.一辆小汽车在水平 保留根号)： 的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处 ②求塔AB的高度(tan27取0.5，√3取1.7， 测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°， 结果取整数). 小汽车到测速仪C的水平距离AD=14m, 在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为 60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所 1279 用的时间为38s(图中所有点都在同一平面 内，参考数据：√5≈1.7，sin25°≈0.4，cos25 ≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈ 0.4,tan65°≈2.1) 250 60 隧道入口 (1)求A,B两点之间的距离（结果精确到 1m): 数学九年级R版 第2课时利用方向角、坡度解直角三角形 要点提示 1,正北方向线成正南方向线与目标方向线之问所成的锐角叫做方向角 2.坡面的粉直高度方与水年宽度1的北叫做被友（数比），用字球i表示，即=会(=后：0：(2)城面与水平面 的夹角叫做被角：(3)城度i与城角：之问的关系：=上 =tang. O1固基础 知识点2坡度、坡角问题 4.(2024漳州期末)如图，某河堤迎水坡AB的 知识点1方向角问题 1.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走 坡度为气，河堤高BC=5m,则坡面AB的 xm到达B处，再向正北方向走到C处，已 长为 () 知∠BAC=a,则A,C两处相距 A.5m B.10mC.5√3mD.10√3m B. m cosa 5.(2024六安期末)如下图，某数学研究小组测 C.x·sina m D.x·cosa m 量高台上旗杆AB的高度，在与高台底部D 在同一水平线上的点E处测得点B的仰角 东 为53°，斜坡CD的坡度为1：2，CD= P、60 B 35m,坡顶C与旗杆底部A之间的距离 第1题图 第2题因 AC=DE=5m.求旗杆AB的高度（结果精 2.(教材第76页例5变式)如图，有一艘轮船 确到0.1m,参考数据：sin53°≈0.80.cos53 由东向西航行，在A处测得北偏西75°方向 ≈0.60，tan53°≈1.33). 上有一灯塔P,继续航行20 n mile后到B 处，又测得灯塔P在北偏西60°方向上.若轮 船航向不变，则灯塔与轮船之间的最近距离 是 ( ) 人53 D A.10 n mile B.15 n mile C.13 n mile D.8 n mile 3.如图，在东西方向的海岸线上有A,B两个 港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以 4 n mile./h的速度出发，同时乙货船从B港 沿西北方向出发，两货船2h后在点P处相 遇，则乙货船每小时航行 n mile O2提能力】 (结果精确到0.1m,参考数据：2≈1.414). 6.如图，有一艘轮船在A处测得南偏东30°方向 上有一个小岛P,轮船沿正南方向航行至B 90 处，测得小岛P在南偏东45°方向上.按原方 第3题图 第4题图 向再航行10 n mile至C处，测得小岛P在正 下册第二十八高 东方向上，则A,B之间的距离是 一艘军舰在距离点A的正东方向12 n mile A.10√3 n mile B.(102-10)n mile 的点B处 C.(103-10)n mile D.10 n mile (I)求点B到点C之间的距离（结果保留根 号)： (2)当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着 与正东方向成37°夹角的BD方向前往拦 CH 第6题图 第7题图 截，军舰航行的速度为每小时20 n mile..请 7.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻 通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的 两棵树之间的水平距离)为10m.若在坡度 正前方的点D处成功拦截（参考数据：≈ 为i=1:2.5的山坡上种树，也要求株距为 10m,则相邻两棵树间的坡面距离为 1.7,sin37≈号，cos37≈专，ian37≈2)， 北 m. 东 8.如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离， 60 37 数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测 得点A,B均在点C的北偏东37°方向上，沿 正东方向行走90m至观测点D,测得点A 在点D的正北方向，点B在点D的北偏西 53°方向上，则A,B两点间的距离为 m(参考数据：sin37°≈0.60. cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 东 E:B 37 53 D 第8题图 第9题圈 9.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示 的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为 矩形，DE=10m,其坡度为1=1：3，将步 梯DE改造为斜坡AF,其坡度为2=1：4， 则斜坡AF的长度约为 m(结 果精确到0.01m). 03拓思维 10.(2024重庆南岸区模拟)如下图，边防雷达 站A处的工作人员测得在北偏东60°方向 的点C处有一艘可疑船只，该船正在以每 小时I0 n mile的速度向正东方向航行，点 A到点C的距离为l0√3 n mile,此时，我方 数学九年级R版