27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过知识链接回忆已学相似判定方法，类比全等SAS猜想新判定，搭建新旧知识学习支架。 资料以操作探究引导学生画图测量发现规律，结合逻辑证明深化理解，典例与检测分层设计，培养几何直观与推理能力，助力学生自主学习，便于教师评估，提升数学思维与应用意识。

27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 学习目标：1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理. 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (重点、难点) 自主学习 一、知识链接 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 合作探究 1、 要点探究 探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 操作 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 思考 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 证明 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，， 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥ B′C′，交 A′C′ 于点 E. 【补全后面的证明过程】 【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵，∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 思考 对于△ABC和 △A′B′C′，如果∠B= ∠B′，，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 【结论】如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似. 【典例精析】 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 【针对训练】在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. 例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 例3 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求 DE 的长. 例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证： ∠ACB=90°． 【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为90°等. 二、课堂小结 当堂检测 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC 第2题图 第3题图 3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求 AD 的长． 5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED. 拓展提升 6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8， AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. 解：三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有SAS和HL. 2. 解：能. 合作探究 一、要点探究 探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 证明 解：∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.∴. ∵ A′D=AB，，∴，∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. 【典例精析】 例1 解：∵ ，，∴， 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 【针对训练】证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，∴.又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 例2 证明：∵ △ABC 与 △ADE都是等腰三角形，∴ AD =AE，AB = AC，∴，又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. 例3 解：∵ AE=1.5，AC=2， ∴.又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC，∴，∴. 例4 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∵，∴△ADC ∽△CDB.∴ ∠ACD =∠B. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 当堂检测 1. (1) √ (2) × (3) × (4) × 2. D 3. 相似 4. 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴. 又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，∴，∴AD=. 5. 证明：∵ AB · AD = AE·AC，∴. 又∵ ∠DAB =∠CAE，∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED. 拓展提升 6. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似． 学科网（北京）股份有限公司 $