26.2 第2课时 其他学科中的反比例函数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“其他学科中的反比例函数”，通过杠杆原理等跨学科实例，引导学生从已学反比例函数概念出发，搭建数学与物理等学科的联系支架，掌握用函数观点解决实际问题的方法。 以“杠杆原理”“压强计算”“电学功率”等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察跨学科现象，发展推理能力与模型意识，习题设计层次分明，助力学生体会数学建模思想，提升学以致用的实践能力。

26.2 实际问题与反比例函数 第2课时 其他学科中的反比例函数 学习目标：1. 通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使体会数学建模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题. (重点) 2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的融合. (重点、难点) 自主学习 一、知识链接 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.试在下图中标出对应的量. 课堂探究 1、 要点探究 探究点1：反比例函数在其他学科中的应用 【典例精析】 例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 想一想：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 【针对训练】假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 例2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力F一定时，随着木板面积 S (m2)的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力F合计为 600 N，那么 (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？ (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ (3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 【针对训练】某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300 N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) （ ） A. 至少2 m2 B. 至多2 m2 C. 大于2 m2 D. 小于2 m2 例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? (2) 这个用电器功率的范围是多少? 【针对训练】1. 在公式中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为（ ） 2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (A) 和电阻R (Ω) 成反比例，当电阻R＝5 Ω时，电流 I ＝2A． (1) 求 I 与 R 之间的函数关系式； (2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值． 二、课堂小结 当堂检测 1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻)，通过电路的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函数关系为（ ） A. B. I=220R C. D. R=220I 2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应( ) A. B. C. D. 3. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为 1.2米 的撬棍，用了 500 牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有 300 牛顿的力量， 他应该选择动力臂至少为 的撬棍才能撬动这块大石头. 4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位： m3) 的反比例函数，它的图象如图所示，当 V =10 m3 时，气体的密度是 . 5. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的表达式； (2) 当 R =10Ω时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 6. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； (2) 当它所受牵引力为1200 N时，汽车的速度为多少千米每小时？ (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什么范围内？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：如图所示： 合作探究 一、要点探究 探究点1：反比例函数在其他学科中的应用 【典例精析】 例1 解：（1）根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，∴ F 关于l 的函数解析式为 对于函数，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N的力. （2）当F=400×=200 时，由200 =，得l=3，3－1.5 =1.5 (m). 对于函数，当 l ＞0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 【针对训练】解： 2000 千米 = 2×106 米， 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ， 变形，得： 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例2 解：（1）由，得， p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，就有唯一的一个 p 值和它对应，根据反比例函数定义，得出 p 是 S 的反比例函数． （2）当 S ＝0.2 m2 时，. 故当木板面积为0.2 m2时，压强是3000 Pa． （3）当 p=6000 时，由，得S=0.1. 对于函数，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2. （4）如图所示. 【针对训练】 C 例3 解：（1）根据电学知识，当 U = 220 时，得. （2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，得到功率的最大值W； 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，得到功率的最小值W 因此用电器功率的范围为220~440 W. 【针对训练】1. D 2. 解：(1) 设,∵ 当电阻 R = 5 Ω时，电流 I = 2 A，∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为 (2) 当I = 0.5 A时，，解得 R = 20 (Ω)． 当堂检测 1. A 2. C 3. 2 4. 1 kg/m3 5. 解：（1）设，把 M (4，9) 代入得k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的表达式为. （2）当 R=10 Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，∴电流不可能是4 A． 6. 解：（1） （2）把 F = 1200 N 代入求得的解析式,得 v = 50， ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. （3）F ≥ 2000 N. 学科网（北京）股份有限公司 $