26.1.1 反比例函数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦反比例函数概念、解析式确定及实际应用，通过列车速度与时间等三个实际问题导入，链接已学函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生逐步理解反比例函数的本质。 以问题驱动探究，通过观察抽象（数学眼光）、推理运算（数学思维）、实际建模（数学语言），结合分层检测与能力提升，培养学生应用意识与创新意识，适合自主学习与合作探究，助力高效掌握重点难点。

第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 学习目标： 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) 自主学习 一、知识链接 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间t (单位：h)的变化而变化； (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：反比例函数的概念 问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 【要点归纳】一般地，形如 (k为常数，k≠0) 的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 思考1：反比例函数(k≠0) 的自变量x的取值范围是什么？ 思考2：反比例函数除了可以用(k≠0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 【要点归纳】反比例函数有三种表达方式：①(k≠0)；②(k≠0)； ③xy = k( k≠0). 【针对训练】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k的值. ① y = 3x - 1；②；③；④；⑤. 【典例精析】 例1 已知函数是反比例函数，求m的值. 【方法总结】已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0. 【针对训练】1. 当m = 时，是反比例函数. 2. 已知函数是反比例函数，则k必须满足 . 探究点2：确定反比例函数的解析式 例2 已知y是x的反比例函数，并且当 x = 2时，y = 6. (1) 写出y关于x的函数解析式； (2) 当 x = 4 时，求y的值. 【方法总结】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 【针对训练】已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 探究点3：建立简单的反比例函数模型 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时,视野的度数. 例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数. 二、课堂小结 当堂检测 1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A. B. C. D. 2. 下列实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m³；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x L/s，放满一桶水的时间 y s. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 填空： (1) 若是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若是反比例函数，则m的取值范围是 . (3) 若是反比例函数，则m的值是 . 4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？ 能力提升： 6. 已知 y = y1 + y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求： (1) y 关于 x 的关系式； (2) 当 x =时，求y 的值. 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：(1) (2) (3) 合作探究 一、要点探究 探究点1：反比例函数的概念 【针对训练】 解：②是，k = 3；④是. 【典例精析】 例1 解：因为是反比例函数，所以解得m =－3. 【针对训练】1. ±1 2. k≠2且k≠-1 . 探究点2：确定反比例函数的解析式 例2 解：（1）设. 因为当 x = 2时，y = 6，所以有，解得 k =12. 因此. （2）把 x = 4 代入，得. 【针对训练】解：(1) 设，因为当 x = 3 时，y = 4 ， 所以有，解得 k = 16，因此. (2) 当 x = 7 时，. 探究点3：建立简单的反比例函数模型 例3 解：设. 由题意知，当 v = 50时，f = 80，所以解得 k = 4000. 因此 ，当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为100 km/h 时视野为40度. 例4 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以. 所以变量 y与 x 之间的关系式为，它是反比例函数. 当堂检测 1. A 2.①④ 3.(1) m≠1 (2) m≠0且m≠-2 (3) -1 4. 解：(1) 设. 因为当 x = 3时，y =－4，所以有 ，解得 k =－12. 因此，y 关于 x 的函数解析式为 (2) 把 y = 6 代入，得 ，解得 x =－2. 5. 解：（1）(t>0)． （2）当 t＝25 时，；当 t＝8 时，， 125－40＝85 ( m/min )． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 能力提升： 6. 解：（1）设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)，(k2≠0)， 则 y = k1(x－1) +， . ∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1，∴， ∴ k1 = 1，k2 =－2. ∴ y = x－1 （2）把 x =代入 (1) 中函数关系式，得 y =. 学科网（北京）股份有限公司 $