解析几何：定点问题、定值问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解析几何：定点问题、定值问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知曲线：经过椭圆：（，，）的左、右顶点，，圆：（）的圆心为的一个焦点. (1)求，的方程，并判断与的公共点个数. (2)若， （ⅰ）证明：上的点都在圆内； （ⅱ）已知圆与直线分别交于点，（点在轴左侧），点（），直线，分别与交于另外一点，，当变动时，证明直线，的斜率之积为定值，且直线过定点. 例2．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 例3．（2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线． (1)证明为定值，并求曲线的方程； (2)若直线与曲线相交于两点． ①求面积的最大值； ②已知点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为．证明：直线过定点． 变式1．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 变式2．（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点． 变式3．（2026·湖南常德·二模）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （i）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 考点二 定值问题 例1．（2026·陕西商洛·模拟预测）设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，. (1)求的方程. (2)证明：点的轨迹是圆. (3)过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 例2．（25-26高二下·上海·月考）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·云南昭通·二模）已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 变式2．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）. （i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； （ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式3．（2026·甘肃·二模）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程； (2)过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解析几何：定点问题、定值问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知曲线：经过椭圆：（，，）的左、右顶点，，圆：（）的圆心为的一个焦点. (1)求，的方程，并判断与的公共点个数. (2)若， （ⅰ）证明：上的点都在圆内； （ⅱ）已知圆与直线分别交于点，（点在轴左侧），点（），直线，分别与交于另外一点，，当变动时，证明直线，的斜率之积为定值，且直线过定点. 【答案】(1)的方程中，，的方程为，与只有2个公共点，. (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由圆：可知圆心为， 因为圆心为的一个焦点，所以，且， 又因为在曲线的方程中，，且经过的两个顶点， 所以，解得， 故的方程为， 则，的方程为， 将与联立，得， 即，解得， 所以与只有2个公共点，. （2）（ⅰ）由（1）知的方程为， 因为，所以， 即曲线上的点都在圆：内， 因为当时，圆是以为圆心，为半径的圆， 圆与圆的圆心距，两圆内切， 所以圆在圆内，则曲线上的点都在圆内. （ⅱ）由题意得，， 由得直线，的斜率分别为，， 易知为圆的直径，则，所以的斜率为， 所以，的斜率之积为，为定值， 由可知直线的斜率不为零，设，，：， 将直线与联立得， 所以，， 因为，的斜率之积为， 所以 ， 整理得， 即， 因为直线不过点， 所以，所以，， 代入，得，该直线过定点. 例2．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）直线与交于定点． 【详解】（1）当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为， 联立得，解得或，所以． 所以，解得． （2）由（1）知，设，直线． 联立与，得， 所以且． （i）设，如下图： 直线过点和，设直线的方程为， 联立，得，则， 整理可得．① 同理，对于直线，可得．② 因为，所以，③ 由①②作商，结合③，得，即． 所以， 所以． （ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线， 又因为，所以与的交点即直线与的交点． 由②③，得，所以． 直线的斜率， 直线的方程为． 在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点， 故直线与交于定点． 例3．（2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线． (1)证明为定值，并求曲线的方程； (2)若直线与曲线相交于两点． ①求面积的最大值； ②已知点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为．证明：直线过定点． 【答案】(1)证明见解析， (2)①1；②证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而， 所以，即为定值, 由题设得， 由椭圆的定义可得，所求曲线的方程为. （2）设， ①由可得， 因为直线与曲线相交于两点， 所以，则, 由根与系数的关系可得：，， 因为 ， 当且仅当时取等号，且满足， 所以面积的最大值为1. ②由题意知，直线的斜率存在，且直线的方程为， 由可得， 展开得， 所以 ， 所以， 所以， 同理， 设直线的方程为，则， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 因为直线的斜率为1，所以即， 所以直线的方程为， 所以过定点. 变式1．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的渐近线为， 联立，解得或，故， 由对称性可得，则， 故（负值舍去），即抛物线的方程为； （2）由（1）知，设、， 由以线段为直径的圆恰好经过，则， 由，， 则 ， 由，异于，故， 则， 设，，则， ，则， ，，即，， 故,即， 则， 当时，，故直线过定点. 变式2．（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）将代入中得，，则， 因为，所以， 又，得， 故C的方程为； （2）若直线斜率不为，则设直线，，， 联立，得， 则， 得，， 因为，则， 则直线的方程为， 令，得， 则直线HB过定点； 若直线斜率为，则直线HB为轴，过点； 故直线HB过定点. 变式3．（2026·湖南常德·二模）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （i）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【详解】（1）因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到，解得，所以抛物线的标准方程. （2）（i）由题可设，， 由，消得到，则，， 又，所以，令，得到， 所以，又轴，则，得到， 所以，解得，则，所以直线过定点. （ii）因为在抛物线上，则，解得，所以，由（i）知， 又点为抛物线的准线与轴的交点，则，又的面积与的面积相等， 则到直线的距离相等，所以，即，解得， 所以直线的方程为或. 考点二 定值问题 例1．（2026·陕西商洛·模拟预测）设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，. (1)求的方程. (2)证明：点的轨迹是圆. (3)过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【详解】（1）设（），由题意得，. 因为直线与的斜率之积为，所以， 即（），所以的方程为. （2）如图：    设.当，的斜率都存在时， 设的方程为， 的方程为. 由得 . 由， 得. 同理可得， 所以，是关于的方程的两个根， 因为，所以，即. 当或的斜率不存在时， 点的坐标为或或或， 此时点在圆上，所以点的轨迹是圆. （3）设直线与交于点，直线与交于点， 易得四边形为矩形，所以， 所以，即， 所以. 当直线，的斜率都存在时，设的方程为， 则的方程为，由解得， 则，所以， 同理可得，     所以； 当直线或的斜率不存在时，，， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 故，是定值. 例2．（25-26高二下·上海·月考）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，焦距为，故， 由，得，， 椭圆的标准方程为：． （2） 由（1）知椭圆的标准方程为：， 当斜率不存在时，设直线：，则，代入椭圆方程得， 解得，则， 由，则，解得，， 则面积为， 当直线斜率存在时，设方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，可得①， 且，则 ， 化简得，即，经检验满足①式. ， 令，，则，， ， 令，则，则， 二次函数，开口向下，对称轴，最大值为， 区间端点或时，，即，故， ， 综上可得，面积的范围为． （3） 由（1）得，则蒙日圆为， 设椭圆的切线方程为，由椭圆切线条件， 设切线与蒙日圆的交点， 联立切线与圆方程，得， 由韦达定理得，因， 则 ． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在定点 【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 变式1．（2026·云南昭通·二模）已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【详解】（1）设点，根据题意得：，两边平方并整理得： ，即，化简得：， 因此，点的轨迹方程为椭圆. （2）（i）设过的直线方程为，与椭圆方程联立：， 代入得：，整理得：， 设，由韦达定理：， 所以的面积为， 令，则，代入得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. （ii）设，则， 直线的斜率为，直线的斜率为， 且， 所以， 所以， 又因为，所以. 变式2．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）. （i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； （ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值， 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆， 设曲线C的方程为， 所以，，， 所以，，， 所以曲线C的方程为. （2）（i）设，则， 则； ， 所以在中，由角平分线定理得， 由，所以，所以t的取值范围为. （ii），，由，得，，其中，， 则. ①当时，，， 直线的方程为，求得点N坐标为， 则，所以； ②当时，同理可得：； ③当时，设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 所以，， 所以， 则； 所以，点M的坐标为， 联立，得， 所以，， 所以， 则； 所以，点N的坐标为， ， 所以， 综上所述，. 变式3．（2026·甘肃·二模）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程； (2)过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)是定值. 【详解】（1）由于过点，则， 所以抛物线的方程为； （2）由得， 所以过的切线的方程为，即， 设，可知， , 则， 在切线上，， 在直线上，， 又， ， 由得 ， 由可得： 同理， 所以是定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $