双曲线中的定点问题、定值问题、向量问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦双曲线定点、定值、向量三大核心问题，以题载法构建从概念到应用的逻辑链条，强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点问题|3例+3变式|轨迹方程构建，斜率关系证明直线过定点|双曲线定义→方程求解→直线与曲线位置关系推导| |定值问题|3例+3变式|面积、斜率乘积、距离等定值证明|渐近线性质→代数运算→几何量不变性探究| |向量问题|2例+2变式|向量共线、数量积转化为代数关系|向量运算→坐标化处理→曲线方程联立应用|

双曲线中的定点问题、定值问题、向量问题专项训练 双曲线中的定点问题、定值问题、向量问题专项训练 考点目录 双曲线中的定点问题 双曲线中的定值问题 双曲线中的向量问题 考点一 双曲线中的定点问题 例1．（2026·湖北武汉·三模）已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分线性质得，结合Q在直线PE上，分Q在线段延长线和线段上两种情况，推导为定值，对照双曲线定义确定曲线类型，再计算参数得轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线方程，与曲线Γ的方程联立，得韦达定理关系；根据直线，的斜率之和为0，列出方程求得直线中参数，确定定点，证明结论；（ⅱ）设直线的方程，与曲线Γ联立，利用韦达定理可求出A点坐标，同理求B点坐标；结合直线斜率为2的条件，得到坐标满足的方程，即可得直线的方程，从而证明结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 线段的垂直平分线与直线交于点，故， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线，设其方程为， 则，则， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）设直线， 联立，得， 则，， ， 所以 ，解得， 故直线l的方程为，即直线过定点； （ii）设，则直线的方程为，其中， 联立，可得， 则，将以及代入可得： ， 则，所以，则， 同理， 设直线，代入点A的坐标得， 整理得，同理可得， 所以可知直线的方程为，即， 令，解得， 即直线过定点. 例2．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【答案】(1)实轴长，离心率 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）由双曲线方程求得，再根据实轴长及离心率的定义求解； （2）先求出弦长，再求出点到直线的最小距离，即可得到 面积的最小值，而点到直线的最小距离，可转化为平行于直线且与双曲线的右支相切的切点到直线的距离； （3）设，的坐标分别为，,由利用向量垂直分析确定直线的斜率不为，并设直线的方程为，与双曲线方程联立消去后，利用韦达定理结合条件，根据垂直向量数量积的性质求得，得到直线的方程即可求得其所经过的定点. 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 例3．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论． 【详解】（1）双曲线：的一条渐近线为：， ，即， 右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 双曲线的方程为． （2）证明：由题得，设，， 设的方程为， 联立消去并化简得， ，即， 且，， ， ，即 ， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点， 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 变式1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的离心率为是双曲线上关于原点对称的两个动点（在第一象限），当的斜率为1时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的右焦点，连接交双曲线于另一点，连接交双曲线于另一点． ①求证：直线恒过定点； ②记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）通过双曲线的基本量关系假设曲线方程，将曲线方程与直线联立，利用韦达定理，结合弦长公式求解. （2）①设为，则直线：，与曲线方程联立，利用韦达定理可得点坐标，同理可求得点坐标，再将直线表示出来，化简求解； ②由（i）知，，结合正切的两角和公式及基本不等式可求解. 【详解】（1）由题意知，，所以， 则双曲线为．设直线为， 由，得，解得 ，则， 故双曲线为． （2） （i）设为，则为， 设直线：，直线：， 由，得    又式可化简为 故，故， 代入直线得： 所以．同理， 则． 直线：，整理得， 故直线恒过定点． （ii）由（i）知，， 当且仅当时，即取等号． 故直线为． 变式2．（2026·安徽池州·二模）已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的性质和经过的点可得双曲线方程； （2）（ⅰ）先设各点的坐标，再结合向量的关系可求得直线经过的定点；（ⅱ）法一：通过设相关点，再结合向量关系可得，进而可证明定值；法二：通过设相关点，再结合向量关系及点差法可得，进而可证明定值；法三：先设直线的方程为，再利用根与系数关系可得及向量关系可得，从而证明定值；法四：直接设直线，再根据系数关系及向量关系可得，进而可证明定值. 【详解】（1）因为双曲线过点，所以点是双曲线的右顶点，得， 又因为双曲线过点，所以，解得. 所以双曲线的方程为. （2）（i）设点，，，，，如图： 因为， 由得，即. 又因为， 由得，即. 设直线过轴上的定点，则,, 所以直线过轴上的定点 （ⅱ）解法一：（设点法一相关点） 设点，，，由得① 因为点在上，所以，即②，如图： 由①②得 又点在上，所以，即 由题意知，所以③ 同理得④ 由③-④得， 因为，即⑤ 由得，即⑥ 联立⑤⑥解得， 所以 解法二：（设点法——定比点差） 设点，， 由得①，由得② 一方面，由得③ 将①②代入③得④ 另一方面，由得⑤ 将①代入⑤得⑦ 联立①⑦得⑧，同理得⑨ 联立⑧⑨得⑩ 由④⑩得 所以 . 解法三：（设线法一设线解点） 设点，，，一方面，由得① 另一方面，联立得（其中） 所以 所以② 由①②得，即③ 同理得④ 由得⑤ 由③-④得⑥ 联立⑤⑥得 所以 解法四：（设线法——韦达定理） 由（ⅰ）可设直线 联立得由韦达定理得③ 由①②得 ④ 将③代入④得⑤ 又因为点在上，所以⑥ 联立⑤⑥得,, ，解得⑦或（舍） 所以 . 所以. 变式3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、． ①证明：直线过定点； ②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②21或 【分析】（1）利用双曲线的定义可知动点轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹方程； （2）①先证明过双曲线上一点的切线方程为,设点的坐标为，切点，由切线方程结论及特征法求得直线的方程即可证明结论； ②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，将四边形的面积拆分为与的面积和即可； 情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，由，结合向量化简可得，从而得到，求出点和点到直线的距离，由四边形的面积为与的面积和：，即可求解. 【详解】（1）根据双曲线的定义，动点满足， 因此轨迹为双曲线的右支， 由得；由焦点得， 根据双曲线的基本关系，可得， 因此，曲线的方程为； （2）①先证明引理：过双曲线上一点的切线方程为． 当切线斜率存在时，设过双曲线上一点的切线方程为， 联立双曲线方程消去，得． 因为直线与双曲线相切，故，化简得切线斜率， 将代入点斜式并整理，得， 将代入得． 当切线斜率不存在时，切线为，代入上述方程得，等式成立； 综上所述，过双曲线上一点的切线方程为． 设点的坐标为，切点， 由引理，知双曲线在切点处的切线方程为， 由于点在切线、上，因此满足：， 上述两式表明，点、均在直线上，整理得直线的方程， 令，解得（与无关），故直线恒过定点． ②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，的方程为（过定点）， 将其代入双曲线方程得， 即、，中点， 由直线的方程，令得，即， 将四边形的面积拆分为与的面积和，因此，总面积为； 情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，联立双曲线方程，消去并整理，得， 设，中点， 由韦达定理得， 因此，中点的坐标为，， 由，向量，向量的方向向量为， 故，代入，并化简， 即，即， 又，代入，得，，因此，． 当时，由直线的方程与等价， 得，即，点到直线的距离为， 则，同理，点到直线的距离为，则， 四边形的面积为与的面积和：， 代入数值化简； 当时，由对称性，知面积仍为． 综上所述，四边形的面积为21或． 考点二 双曲线中的定值问题 例1．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是， 【分析】1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程; （2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程； （3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值. 【详解】（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． （3）的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 例2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)若与的面积相等，求出M的坐标； (3)直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的外接圆面积为定值，理由见解析 【分析】（1）点代入双曲线方程，点代入渐近线方程，求出得双曲线的方程； （2）与的面积相等，则M是BN的中点，利用中点坐标公式和双曲线方程求出M的坐标； （3）把直线l方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出P，Q两点，得到中点E的坐标， 可求的外接圆方程和面积. 【详解】（1）双曲线过点，则有， 双曲线的渐近线方程为，点为渐近线上一点，得，解得， 因此双曲线C的方程为. （2）由三点共线，和共顶点A，有公共边，底边都在直线l上， 两个三角形的高(点A到直线l的距离)相等，由面积相等可得底边长， 即M是BN的中点， 设，若M是BN中点，则N的坐标为， 将代入双曲线方程：，解得， 代入双曲线方程得，，即. （3）设过点的直线l方程为，设, 联立直线与双曲线方程得， 整理得， 由韦达定理得，， 直线AM的方程为，令得，同理得， 因为，， ， 所以PQ中点E的纵坐标恒为，即E为定点， 已知均为定点， 设外接圆方程为，代入三点坐标， 解得，所以外接圆方程为，即， 外接圆半径的平方，因此外接圆面积，为定值. 例3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 变式1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值，证明见解析 【分析】（1）根据离心率及焦点到渐近线的距离求解即可. （2）设出直线方程及，，与双曲线方程联立，求出和，求出直线、方程，联立求出，同理求得，即可得到直线的方程. （3）结合（2）求出、及点，分别求出、，结合韦达定理化简求解即可. 【详解】（1）由双曲线的离心率为2，得，即. 渐近线方程为， 则右焦点到其中一条渐近线的距离为，则. 又，即，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，，. 设过的直线方程为，，. 联立，整理得， 则，. 直线方程为，直线方程为， 联立解得 ， 即点的横坐标为. 同理可得，点的横坐标为. 所以直线的方程为. （3）为定值. 证明：由（2）知，，，则. 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即. . ， 所以. 而， 所以. 故为定值，该定值为2. 变式2．（2026·河南·二模）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线AM与直线BN交于点P，记直线AM，BN，PF的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）是定值2 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（ⅰ）【法一】考虑直线的斜率不存在时，检验直线符合题意；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，利用列方程求解即得；【法二】基本步骤同法一，利用列方程求解；【法三】设直线的方程为，与法一同法列方程求解；【法四】设直线的方程为，与法二利用列方程求解；（ⅱ）设，与双曲线方程联立，消去，写出韦达定理，分别写出直线，的方程，联立推得,利用斜率公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，知． 且，则得，又， 故双曲线的标准方程为； （2） （ⅰ）【法一】当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程， 求得，不妨设，，则，又， 故的面积,即直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将其与双曲线方程联立：，消元可得 则，设，， 则，， 故， 而点到直线的距离， 故的面积为： ， 整理得，化简得 解得， 所以直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 【法二】当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意； 当直线的斜率存在时，与上同法得到：， 因， 故的面积， 即， 整理得，解得，则得直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 【法三】由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设， 则，． 故 点到直线的距离， 故的面积， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． 【法四】由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，， 则，． 故的面积， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． （ⅱ） 由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得， 又因为直线与双曲线交于两点，则，， 设，， 则，， 所以直线，的方程分别为，， 联立得 得， 则可设点，故可得，， 所以， 所以为定值2． 变式3．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点，在双曲线上，列出方程组，联立求解，即可得到双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线联立，结合韦达定理，代入直线与的斜率之积，化简即可证明. 【详解】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明：由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 考点三 双曲线中的向量问题 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为．设是上的动点，且不在轴上． (1)求的方程； (2)点分别在直线与上，且满足． ①证明：三点共线； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：设，，则．又，∴，，∵，∴，解得，∴．又，且，∴，解得，∴．∴直线的斜率，直线的斜率，∴三点共线． ②4 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程与参数关系即可求解； （2）①通过点的坐标，根据向量的运算计算、两点坐标，证明即可； ②通过两点间的距离公式，表示出，计算最值即可. 【详解】【小题1】∵双曲线的焦点分别为，其渐近线方程为， ∴， 解得， ∴双曲线的方程为 【小题2】①略 ②由①知，， ∴， ∵，∴， 令，则， 当且仅当，即，即时，取“”， ∴的最小值为． 例2．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出； （2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标； （3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得，则， . （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上， 这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，， 设，其中，， 解得，即， 综上所述：. （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，，延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 则，， 则， 因为，在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到， 得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上知，， 所以． 变式1．（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； （3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值. 【详解】（1）因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3）由双曲线的对称性不妨设，， 故，， 故 ，其中， 设，则， 故， 而，故， 注意到，故的最大值为. 变式2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）设C的方程为，其中．由C过A，B两点，代入解得，即可. （2）（ⅰ）设，，，其中，，．因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 联立结合韦达定理得到，． 同理，．再结合向量运算即可解决. （ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解. 【详解】（1）设C的方程为，其中． 由C过A，B两点，故，，解得，． 因此C的方程为． （2）（ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2．    因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 由，得， 所以， ． 因此． 同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为． 由，得， 所以， ， 因此 ． 则，即存在，满足． （ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为， 所以点P到直线MN的距离． 而， 所以的面积为定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $双曲线中的定点问题、定值问题、向量问题专项训练 双曲线中的定点问题、定值问题、向量问题专项训练 考点目录 双曲线中的定点问题 双曲线中的定值问题 双曲线中的向量问题 考点一 双曲线中的定点问题 例1．（2026·湖北武汉·三模）已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 例2．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 例3．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 变式1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的离心率为是双曲线上关于原点对称的两个动点（在第一象限），当的斜率为1时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的右焦点，连接交双曲线于另一点，连接交双曲线于另一点． ①求证：直线恒过定点； ②记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当取最小值时，求直线的方程． 变式2．（2026·安徽池州·二模）已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 变式3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、． ①证明：直线过定点； ②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 考点二 双曲线中的定值问题 例1．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 例2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)若与的面积相等，求出M的坐标； (3)直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 例3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 变式1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 变式2．（2026·河南·二模）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线AM与直线BN交于点P，记直线AM，BN，PF的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 变式3．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 考点三 双曲线中的向量问题 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为．设是上的动点，且不在轴上． (1)求的方程； (2)点分别在直线与上，且满足． ①证明：三点共线； ②求的最小值． 例2．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 变式1．（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 变式2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $